2．3等腰三角形的性質(zhì)定理(一)1.等腰三角形的周長為16，其中一邊長為6，則另兩邊長為5，5或6，4．2．如果等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，那么它的頂角為70°或40°．(第3題)3．如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC至點D，使AB＝CD，連結(jié)AD，則∠BAD＝90°．4．一個等腰三角形的頂角是底角的4倍，則其頂角的度數(shù)為(D)A．20°B．30°C．80°D．120°5．等腰三角形的頂角為80°，則一腰上的高與底邊的夾角為(B)A．10°B．40°C．50°D．80°6．等腰三角形的一個外角為140°，則頂角的度數(shù)為(D)A．40°B．40°或70°C．70°D．40°或100°7．如圖，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分線交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E.若BD＋CE＝9，則線段DE的長為(A)A.9B.8C.7D.6(第7題)(第8題)8．如圖，△ABC內(nèi)有一點D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的大小是(A)A．100°B．80°C．70°D．50°(第9題)9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC＝BD，求∠DCE的度數(shù)．【解】∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝90°－eq\f(1,2)∠A.∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝90°－eq\f(1,2)∠B，∴∠DCE＝∠ACE＋∠BCD－∠ACB＝90°－eq\f(1,2)∠A＋90°－eq\f(1,2)∠B－90°＝90°－eq\f(1,2)(∠A＋∠B)＝90°－eq\f(1,2)×90°＝45°.(第10題)10．如圖，已知AB∥EF，CE＝CA，∠E＝65°，求∠CAB的度數(shù)．【解】∵CE＝CA，∴∠EAC＝∠E＝65°.∵AB∥EF，∴∠EAB＝180°－∠E＝115°，∴∠CAB＝∠EAB－∠EAC＝50°.(第11題)11．如圖，已知D是等腰三角形ABC的底邊BC上一點，它到兩腰AB，AC的距離分別為DE，DF，請指出當(dāng)D在什么位置時，DE＝DF，并加以證明．【解】當(dāng)D在BC的中點時，DE＝DF.證明：當(dāng)BD＝CD時，∵∠B＝∠C，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴△DBE≌△DCF(AAS)，∴DE＝DF.(第12題)12．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE且∠DAB＝∠EAC，則DE∥BC嗎？為什么？【解】DE∥BC.理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠D＝∠E.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠B＋∠DAB＝∠C＋∠EAC，∴∠AFG＝∠AGF，∴∠AFG＝eq\f(1,2)(180°－∠EAD)．又∵∠D＝eq\f(1,2)(180°－∠EAD)，∴∠AFG＝∠D，∴DE∥BC.(第13題)13．如圖，已知AB＝AC＝BD，那么∠1與∠2之間滿足的關(guān)系是(D)A．∠1＝2∠2B．∠1＋3∠2＝180°C．2∠1＋∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°【解】∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠1，∴∠B＝180°－∠1－∠BDA＝180°－2∠1.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝180°－2∠1.∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴180°－2∠1＋180°－2∠1＋∠1＋∠2＝180°，∴3∠1－∠2＝180°.(第14題)14．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，交BC于點D，BE⊥AE于點E，請你猜想AD與BE的大小關(guān)系，并說明理由．【解】分別延長BE，AC交于點F.∵∠ACD＝90°，∴∠BCF＝90°，∠CAD＋∠ADC＝90°.∵BE⊥AE，∴∠BED＝90°，∴∠CBF＋∠BDE＝90°.∵∠BDE＝∠ADC，∴∠CAD＝∠CBF.又∵∠ACD＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACD≌△BCF(ASA)，∴AD＝BF.∵AE平分∠BAC，AE⊥BE，∴BE＝FE＝eq\f(1,2)BF，∴BE＝eq\f(1,2)AD，即AD＝2BE.15．在△ABC中，AB＝AC.(1)如圖①，若∠BAD＝30°，AD是BC邊上的高線，AD＝AE，則∠EDC＝15°；(2)如圖②，若∠BAD＝50°，AD是BC邊上的高線，AD＝AE，則∠EDC＝25°；(3)通過以上兩題可以發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？請用式子表示：∠BAD＝2∠EDC；(4)如圖③，若AD不是BC邊上的高線，AD＝AE，是否仍有上述關(guān)系？如有，請說明理由．(第15題)【解】(4)仍有．理由如下：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠BAD.同理，∠AED＝∠EDC＋∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∴∠EDC＋∠C＋∠EDC＝∠C＋∠BAD.∴∠BAD＝2∠EDC.(第16題)16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，BD與CE交于點O，∠BOC的大小與∠A的大小有什么關(guān)系？若∠1＝eq\f(1,3)∠ABC，∠2＝eq\f(1,3)∠ACB，則∠BOC與∠A的大小有什么關(guān)系？若∠1＝eq\f(1,n)∠ABC，∠2＝eq\f(1,n)∠ACB，則∠BOC與∠A的大小有什么關(guān)系？【解】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠1＝∠2.∴∠BOC＝180°－2∠1，∠A＝180°－2∠ABC，即∠1＝eq\f(1,2)(180°－∠BOC)＝90°－eq\f(1,2)∠BOC，∠ABC＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A，∴90°－eq\f(1,2)∠A＝2×(90°－eq\f(1,2)∠BOC)，∴∠BOC＝eq\f(1,2)∠A＋90°.同理，當(dāng)∠1＝e