主題全等三角形復習學習目標復習全等三角形這一章節(jié)的重點題型重點：全等三角形的性質；全等三角形的判定方法；全等三角形的實際應用。難點：綜合題；知識梳理1全等三角形的性質全等三角形對應邊相等全等三角形對應角相等【例題精講】例1：如圖，A、D、E三點在同一直線上，且△BAD≌△ACE，試說明：

（1）BD=DE+CE；

（2）△ABD滿足什么條件時，BD∥CE？解：∵△BAD≌△ACE，

∴BD=AE，AD=CE，

∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，

即BD=DE+CE．

（2）解：△ABD滿足∠ADB=90°時，BD∥CE，

理由是：∵△BAD≌△ACE，

∴∠E=∠ADB=90°（添加的條件是∠ADB=90°），

∴∠BDE=180°-90°=90°=∠E，

∴BD∥CE．例2：如圖，△ADC≌△AFB，∠DAB=20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC=110°．

（1）求∠FAC的度數(shù)；

（2）AF平行于DC嗎？說明理由；

（3）求∠BAC的度數(shù)．解：（1）∵△ADC≌△AFB，

∴∠DAC=∠FAB．

∴∠DAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC．

∴∠FAC=∠DAB=20°；

（2）∵DA∥BF，

∴∠DAF+∠F=180°．

∵△ADC≌△AFB，

∴∠D=∠F．

∴∠DAF+∠D=180°．

∴AF∥DC．

（3）∵AF∥DC，

∴∠F=∠FEC=110°．

∵AD∥BF，

∴∠DAF+∠F=180°．

∴∠DAF=180°-110°=70°．

∠BAC=∠BAF-∠FAC=70°-20°=50°．【鞏固練習】1.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問：點P運動多少時間時，△PEC與QFC全等？請說明理由．解：設運動時間為t秒時，△PEC≌△QFC，

∵△PEC≌△QFC，

∴斜邊CP=CQ，

有四種情況：①P在AC上，Q在BC上，

CP=6-t，CQ=8-3t，

∴6-t=8-3t，

∴t=1；

②P、Q都在AC上，此時P、Q重合，

∴CP=6-t=3t-8，

∴t=；

③P在BC上，Q在AC時，此時不存在；

理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上時，P應也在AC上；

④當Q到A點（和A重合），P在BC上時，

∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，

∴t-6=6

∴t=12

∵t＜14

∴t=12符合題意

答：點P運動1或或12秒時，△PEC與△QFC全等．知識梳理2全等三角形的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）【例題精講】例1：已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．

求證：（1）△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關系，并證明．證明：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD

即∠BAD=∠CAE，

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD、CE特殊位置關系為BD⊥CE．

證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，

∴∠ADB=∠E．

∵∠DAE=90°，

∴∠E+∠ADE=90°．

∴∠ADB+∠ADE=90°．

即∠BDE=90°．

∴BD、CE特殊位置關系為BD⊥CE．例2：如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結AE、DE、DC．

①求證：△ABE≌△CBD；

②若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．①證明：在△ABE和△CBD中，AB＝CB∠ABC＝∠CBD＝90°BE＝BD，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

②解：∵△ABE≌△CBD，

∴∠AEB=∠BDC，

∵∠AEB為△AEC的外角，

∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，

則∠BDC=75°．例3：如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，

（1）寫出圖中一對全等的三角形，并寫出它們的所有對應角；

（2）設∠AED的度數(shù)為x，∠ADE的度數(shù)為y，那么∠1，∠2的度數(shù)分別是多少？（用含有x或y的代數(shù)式表示）

（3）∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，請找出這個規(guī)律．解：（1）△EAD≌△EA'D，其中∠EAD=∠EA'D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE；

（2）∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

（3）∵∠1+∠2=360°-2（x+y）=360°-2（180°-∠A）=2∠A．

規(guī)律為：∠1+∠2=2∠A．【鞏固練習】1.如圖，已知BD為△ABC的中線，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是小白說：“BE+BF=2BD”．你認為他的判斷對嗎？為什么？解：對．理由如下：

∵BD為△ABC的中線，

∴AD=CD，

∵CE⊥BD于E，AF⊥BD于F，

∴∠F=∠CED=90°，

在△AFD和△CED中，∠F＝∠CED＝90°∠CDE＝∠ADFAD＝CD，

∴△AFD≌△CED（AAS），

∴DE=DF，

∵BE+BF=（BD-DE）+（BD+DF），

∴BE+BF=2BD．2.如圖（1），在等邊△ABC的頂點B、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)分別以每分鐘1各單位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點s時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D，P處，請問：

（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等嗎？為什么？

（2）問蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小有無變化？請證明你的結論．

（3）若蝸牛沿著BC和CA的延長線爬行，BD與AP交于點Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過程中的∠DQA大小變化了嗎？若無變化，請證明．若有變化，請直接寫出∠DQA的度數(shù)．

解：（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等，

理由是：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

在△BDC和△APB中，BC＝AB∠C＝∠ABPCD＝BP，

∴△BDC≌△APB（SAS），

∴BD=AP．

（2）蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無變化，

理由：∵△BDC≌△APB，

∴∠CBD=∠BAP，

∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，

即蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無變化，始終是60°．

（3）蝸牛爬行過程中的∠DQA大小無變化，

理由是：根據題意得：BP=CD，

∵BC=AC，

∴CP=AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB，∠CAB=∠ACB=60°，

∵∠ACP+∠ACB=180°，∠DAB+∠CAB=180°，

∴∠ACP=∠BAD，

在△ABD和△ACP中，AB＝AC∠BAD＝∠ACPAD＝CP，

∴△ABD≌△ACP（SAS），

∴∠CAP=∠ABD，

∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB

=180°-∠CAB

=180°-60°

=120°，

即蝸牛爬行過程中的∠DQA無變化，等于120°．3.如圖，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD．圖中的CE、BD有怎樣的大小和位置關系？試證明你的結論．解：BD=CE，BD⊥CE；

理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠C