第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.1復數(shù)虛數(shù)單位

是兩個實數(shù)

稱為復數(shù)

為的實部

為的虛部

的共軛復數(shù)

時

為實數(shù)

時

為純虛數(shù)

1.復數(shù)的定義

1例如2.復數(shù)的幾何表示任何一個復數(shù)對應(yīng)平面上的一個點軸上的點軸稱為實軸軸上的點軸稱為虛軸整個平面或z平面O任何一個復數(shù)一一對應(yīng)一個向量可以用向量來表示向量的長度

稱為z的?；蚪^對值記為時,以正實軸為始邊

向量為終邊

的角的弧度數(shù)稱為z的輻角記為任何一個非零復數(shù)有無窮多個輻角把滿足的稱為輻角的主值記為為整數(shù)對應(yīng)一個實數(shù),對應(yīng)一個純虛數(shù),稱為復平面23.輻角主值的算法零沒有輻角,O時時時時時時3歐拉公式為實數(shù)為整數(shù)44.復數(shù)的三角指數(shù)表示設(shè)復數(shù)O模輻角主值稱為復數(shù)稱為復數(shù)例1設(shè)求解的三角式和指數(shù)式的三角表示式的指數(shù)表示式三角式為指數(shù)式為5例1.復數(shù)的三角式求下列指數(shù)式65.無窮遠點與擴充復平面球面S與復平面切于原點O,ON為球面的直徑,南極北極復平面對于復平面內(nèi)任何一點z,直線段Nz必相交于球面一點P對于球面上異于N的一點P，直線NP必相交于復平面一點z任何一個復數(shù)可以用復平面內(nèi)一個點表示因此復平面內(nèi)的點z一一對應(yīng)球面上也可以用球面上若則我們規(guī)定模為的復數(shù)∞對應(yīng)著復平面的無窮遠點∞對應(yīng)著球面上的點N用球面上的點N表示復數(shù)∞含有無窮遠點∞的平面稱為擴充復平面不含有無窮遠點∞的平面稱為有限復平面,簡稱為復平面不同于N的點P不同于N的點P表示76.復數(shù)的運算設(shè)(1)相等若兩個復數(shù)分別相等則稱這兩個復數(shù)相等且(2)加法(3)減法的實部和虛部注意：兩個復數(shù)沒有大小之分或且8(4)乘法設(shè)容易證明例如9乘法的幾何意義設(shè)任何兩個復數(shù)等于它們模任何兩個復數(shù)等于它們輻角的和特別設(shè)則則復數(shù)z得到復數(shù)旋轉(zhuǎn)特別乘積的模的乘積乘積的輻角10課本第4頁例1.3已知正三角形的兩個頂點為求其第三個頂點解或第三個頂點為或11(5)除法設(shè)例1設(shè)則12除法的幾何意義設(shè)任何兩個復數(shù)商的模等于它們模的商任何兩個復數(shù)商的輻角等于它們輻角的差13課本第6頁例1.6

設(shè)求的三角式指數(shù)式解三角式指數(shù)式146.乘方設(shè)為正整數(shù)則特別即DeMoivre公式15例1

求解例2

求解167.開方設(shè)的n次方根則其中時的n次方根共有n個不同的值5頁例1.417補充例

若試求n的值解同樣由條件得到其中k為整數(shù)18例1.5設(shè)n為自然數(shù)，課本第6頁證明證根據(jù)所以DeMoi