§2.5連續(xù)型隨機(jī)變量定義

設(shè)

X

是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱(chēng)X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概念1分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義xF(x)2p.d.f.

f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)

在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處，f(x)描述了X在

x

附近單位長(zhǎng)度的區(qū)間內(nèi)取值的概率3注意:對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P(X=a)=0這里a

可以是隨機(jī)變量

X

的一個(gè)可能的取值命題

連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零強(qiáng)調(diào)

概率為1(零)的事件未必發(fā)生(不發(fā)生)事實(shí)上5對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量Xbxf(x)a6xf(x)a7解(1)c=1000(2)設(shè)事件A

表示一只晶體管的壽命小于1500小時(shí)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y9(1)均勻分布(a,b)上的均勻分布記作常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布若X

的密度函數(shù)為，則稱(chēng)X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為10xf(x)abxF(x)ba11例3秒表的最小刻度差為0.01秒.若計(jì)時(shí)精度是取最近的刻度值,求使用該秒表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X的概率密度,并計(jì)算誤差的絕對(duì)值不超過(guò)0.004秒的概率.解

由題設(shè)知隨機(jī)誤差X等可能地取得區(qū)間上的任一值，則所以13(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱(chēng)X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)141xF(x)0xf(x)015例4假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為

t

的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的Poisson分布,求相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的概率分布解(1)17即18(3)

正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，19f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱(chēng)：f(+x)=f(-x)在x=

時(shí),f(x)取得最大值

(2)曲線

y=f(x)以x軸為漸近線(3)曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀2122f(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同的,對(duì)應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則附近值的概率更大.前者取23應(yīng)用場(chǎng)合若隨機(jī)變量

X受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個(gè)別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.各種測(cè)量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績(jī)；可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多25一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為(x)，其值有專(zhuān)門(mén)的表可查(x)

是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì):26對(duì)一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換29例5

設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解P364附表330例6

已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一31解二圖解法0.2由圖0.332例

3原理設(shè)

X~N(,2),求解在一次試驗(yàn)中,X

落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間的可能性很小由3原理知，當(dāng)33標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱(chēng)滿足的點(diǎn)z

為X的分位數(shù)

z常用的幾個(gè)數(shù)據(jù)34例7

設(shè)測(cè)量的誤差X~N(7.5,100)(單位：米),問(wèn)要進(jìn)行多少次獨(dú)立測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米的概率大于