第五章基本分布

Oct20,2009第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量（randomvariable）

隨機(jī)現(xiàn)象，也稱不確定現(xiàn)象，指在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)可得到不同結(jié)果的現(xiàn)象。必然現(xiàn)象，也稱確定性現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)所得到的每一種可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件。數(shù)學(xué)上可用一個變量，如X來描述，稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的每一取值一般都有確定的概率，如P（治愈）=P（X=1）=0.60等。因此每一隨機(jī)變量都有一定的概率分布，其分布的類型有兩種，即離散型分布和連續(xù)型分布。Oct20,20091、離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)隨機(jī)變量X只能取有限個數(shù)值X1，X2，…，Xn或無限個可數(shù)數(shù)值X1，X2…，Xn…，則X定義為離散型隨機(jī)變量。當(dāng)X=Xk，概率為P（Xk）則有隨機(jī)變量的概率分布Oct20,20092、連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)像某地某年正常成年男子身高這樣的隨機(jī)變量，由于其可能取值不能一一列舉出來，而是在實(shí)數(shù)軸上的某一確定區(qū)間內(nèi)連續(xù)分布，稱之為連續(xù)分布型隨機(jī)變量，簡稱連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）為：概率密度函數(shù)f(x)：表示隨機(jī)變量X在取值X附近單位長度內(nèi)的概率的大小。為分布函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)。所以，對于連續(xù)型隨機(jī)變量來說，要掌握其概率分布規(guī)律，其關(guān)鍵是求出其概率密度函數(shù)。Oct20,2009第二節(jié)正態(tài)分布

Oct20,2009正態(tài)分布曲線的演變

頻率5-2a1251291331371411451491531571610.1.2.3.4身高（cm）5-2bOct20,2009正態(tài)分布的特性正態(tài)分布只有一個峰值，位于x=

處正態(tài)分布以x=

對稱軸左右對稱正態(tài)分布的兩個參數(shù)

和

決定分布位置和形狀正態(tài)分布曲線下面積分布有規(guī)律Oct20,2009Oct20,2009對于正態(tài)分布常用x~N（，）Oct20,2009標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)化變換：

Ｘ～Ｎ（μ，σ）標(biāo)準(zhǔn)化變換：令μ=0,

σ=1

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：ｕ～Ｎ（0，1）Oct20,2009Oct20,2009Oct20,2009Oct20,2009

D=0.6646-0.1989=0.4657=46.57%

（u1）=（-0.8511）=0.1989（u2）=（0.4255）=1-（-0.4255）=1-0.3354=0.6646

Oct20,2009三、參考值范圍定義：絕大多數(shù)正常人的解剖，生理，生化各種指標(biāo)的波動范圍，稱作為醫(yī)學(xué)參考值范圍(medicalreferenceranges)。正常人：并非指機(jī)體任何器官、組織的形態(tài)和機(jī)能都正常的人，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的人Oct20,2009正態(tài)分布法當(dāng)資料符合正態(tài)分布時雙側(cè)1－α正常值范圍公式為：單側(cè)上限1－α正常值范圍公式為：<單側(cè)下限1－α正常值范圍公式為：>Oct20,2009u界值的概念

uα/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下雙側(cè)尾部面積為α?xí)r的u值（絕對值）u2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下單側(cè)尾部面積為α?xí)r的u值（絕對值）特別地：u0.05/2＝1.96;

u0.01/2＝2.58;

u0.05＝1.64;

u0.01＝2.33;Oct20,2009Oct20,2009百分位數(shù)法用于任何分布的資料（n>150）。當(dāng)資料為偏態(tài)分布時，不能用正態(tài)分布法，而用百分位數(shù)法得到1－α正常值范圍雙側(cè)1－α正常值范圍：P100α/2～P

100(1-α/2)

單側(cè)1－α正常值范圍上限：<P

100(1-α)

單側(cè)1－α正常值范圍下限：>P

100αOct20,2009Oct20,2009樣本均數(shù)分布和抽樣誤差大小的估計Oct20,2009抽樣試驗(yàn)?zāi)呈?999年18歲男生身高服從均數(shù)μ=167.7cm,σ=5.3cm的正態(tài)分布；從X～N(167.7,5.32)的正態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，樣本含量nj=10,g=100;共抽100次；Oct20,2009圖3.11999年某市18歲男生身高

N(167.7,5.32)的抽樣示意μ=167.7cmσ=5.3cmX1,X2,X3…Xj…,

167.41,2.74165.56,6.57168.20,5.36:165.69,5.09100個Oct20,2009樣本均數(shù)組成一個新的分布特點(diǎn)各樣本均數(shù)未必等于總體均數(shù)；各樣本均數(shù)間存在差異；樣本均數(shù)的分布很有規(guī)律；，100個樣本均數(shù)的均數(shù)為167.69cm，而原總體均數(shù)為167.7cm樣本均數(shù)的變異范圍較原變量的變異范圍大大縮?。粯?biāo)準(zhǔn)差為1.69(5.3)；

Oct20,2009中心極限定理若服從正態(tài)分布，則服從正態(tài)分布；；若不服從正態(tài)分布，n較大則服從正態(tài)分布；；n較小，為非正態(tài)分布；Oct20,2009標(biāo)準(zhǔn)誤：估計抽樣誤差大小的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderror，SE):樣本統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)差；樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderrorofmean，SEM):；樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值：Oct20,2009例2000年某研究者隨機(jī)調(diào)查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白含量的均數(shù)為125g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為15g/L。試估計該樣本均數(shù)的抽樣誤差。Oct20,2009均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的含義反映均數(shù)抽樣誤差大小的一個指標(biāo)；均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與原分布的標(biāo)準(zhǔn)差成

正比，與抽樣樣本量n開根號成反比；欲減少抽樣誤差，可增加樣本量；利用均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤可以進(jìn)行總體均數(shù)的可信區(qū)間的估計和假設(shè)檢驗(yàn)。Oct20,2009二、t分布(t—distribution)t分布的由來t分布的圖形和特征t界值表Oct20,2009

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換X0,1ut變換0t抽樣實(shí)驗(yàn)

t分布的由來XOct20,2009t分布圖形的演變Oct20,2009

t分布圖形的演變Oct20,2009t分布圖形的特征單峰分布，以0為中心，左右對稱只有一個參數(shù)ν(自由度n-1),

ν越小，則t值越分散，峰部越矮而尾部翹得越高當(dāng)ν逼近∞時，t分布逼近u分布Oct20,2009t分布圖形下面積具有規(guī)律性總面積為1；任意兩區(qū)間的面積都可以用積分的方法求出；當(dāng)單雙側(cè)確定時，自由度ν確定時，尾部面積(α)與橫軸t值之間有一一對應(yīng)的關(guān)系；tα/2,ν表示雙側(cè)尾部面積為α，自由度為ν時的t界值；tα,ν表示單側(cè)尾部面積為α，自由度為ν時的t界值；Oct20,2009Oct20,2009t界值表的特點(diǎn)表示在單雙側(cè)確定時，自由度ν確定時，t界值越大，外圍面積(P)越小；反之亦然；單雙側(cè)確定時，外圍面積(α或P)確定時，自由度ν越大，t界值越小，當(dāng)ν→∞時，t=u;t0.05/2,∞=1.96；t0.01/2,∞=2.58Oct20,2009第四節(jié)二項(xiàng)分布(binomialdistribution)Oct20,2009Bernoulli試驗(yàn)以A表示所感興趣的事件，A事件發(fā)生稱為“成功”，不出現(xiàn)稱為“失敗”。相應(yīng)的這類試驗(yàn)稱作為“成一敗型”試驗(yàn)或Bernoulli試驗(yàn)。Oct20,2009Bernoulli試驗(yàn)滿足條件（1）每次試驗(yàn)結(jié)果只能是兩個互斥結(jié)果之一（A或非A）。（2）每次試驗(yàn)的條件不變，每次試驗(yàn)結(jié)果A事件發(fā)生的概率為常數(shù)。（3）各次試驗(yàn)獨(dú)立，即每次試驗(yàn)出現(xiàn)事件A的概率與前面各次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果無關(guān)。Oct20,2009二項(xiàng)分布的概念n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（Bernoulli試驗(yàn)），當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽性概率”保持不變時，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)k=0，1，2…，n的一種概率分布。，k=0，1，2，…n

n為試驗(yàn)例數(shù)，k為陽性次數(shù)，

π為陽性率，

Oct20,2009當(dāng)n和不同時，二項(xiàng)分布的概率是不同的，所以說n和是二項(xiàng)分布的兩個重要參數(shù)。如果隨機(jī)變量x服從以n和為參數(shù)的二項(xiàng)分布，則記作x~B（n，）。Oct20,2009二項(xiàng)分布的概率計算

恰好有k例陽性數(shù)的概率為最多發(fā)生k例，即xk的累計概率為最少發(fā)生k例，即xk的累計概率二項(xiàng)分布概率的遞推公式為Oct20,2009二項(xiàng)分布的概率計算例題例5－7據(jù)報道，對某藥有10%的人有胃腸道反應(yīng)。為考察某藥廠產(chǎn)品質(zhì)量隨機(jī)抽取5人服用此藥，試求：（1）3人有反應(yīng)的概率（2）最多2人有反應(yīng)的概率（3）有人有反應(yīng)的概率Oct20,2009二項(xiàng)分布的性質(zhì)

Oct20,20092、二項(xiàng)分布的正態(tài)近似(normalapproximation)

Oct20,2009概率論中的中心極限定理證明：當(dāng)n足夠大時，且不接近于0也不接近于1時，且n和n（1－）≥5，二項(xiàng)分布x～B(n,)近似于正態(tài)分布N（n，）。Oct20,2009樣本率的分布和正態(tài)近似

Oct20,2009樣本率的分布和正態(tài)近似例5－9從陽性率樣本率=0.6的總體中隨機(jī)抽取樣本量為16的樣本，求樣本率p的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。同樣樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差也稱為率的標(biāo)準(zhǔn)誤，它描述了樣本率抽樣誤差的大小。Oct20,2009樣本率的分布和正態(tài)近似樣本率分布的正態(tài)近似當(dāng)樣本量n較大，總體率不接近于0也不接近1時，且n和n（1－）≥5，樣本陽性率也近似服從正態(tài)分布p～N（，）。事實(shí)上，總體率，一般是不知道的，往往用p來估計，用樣本率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值來估計。

Oct20,2009Oct20,2009第四節(jié)泊松分布（poissondistribution）

是一種典型的離散型隨機(jī)變量的分布，主要用于描述事件出現(xiàn)概率很小而樣本含量或試驗(yàn)次數(shù)很大的隨機(jī)變量的概率分布。當(dāng)n->∞，P≤0.05時，這時二項(xiàng)分布向泊松分布逼近；泊松分布用來分析醫(yī)學(xué)上人群中遺傳缺陷、癌癥等發(fā)病率很低的非傳染性疾病的發(fā)病或患病人數(shù)的分布；也可用于研究單位時間、空間、容積內(nèi)某罕見時間發(fā)生次數(shù)的分布；Oct20,2009Poisson分布是二項(xiàng)分布的特例，由于這時n特別大，p特別小，在數(shù)學(xué)上用二項(xiàng)分布計算n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（Bernoulli試驗(yàn)），出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)X=0，1，2…，n的概率變得十分困難，所以，可以通過Poisson分布近似計算出現(xiàn)“陽性”次數(shù)X概率值如已知２０００年上海市１０萬婦女人群中乳腺癌的發(fā)病人數(shù)為４０人(=0.0004)，計算某小區(qū)１０萬人中剛好出現(xiàn)５０人的概率？Oct20,2009二項(xiàng)分布的概率公式可推導(dǎo)出泊松分布的概率計算公式為：

為單位時間(空間)稀有事件的發(fā)生數(shù)(陽性數(shù))的總體均數(shù).二項(xiàng)分布當(dāng)n很大而很小時即逼近于參數(shù)λ=n×的泊松分布，記做xP（）Oct20,2009Oct20,2009泊松分布的概率計算

泊松分布概率計算的遞推公式：Oct20