2023/2/61第二章平面

2.1平面的投影2.1.1平面的投影圖2.1.2各類平面的投影特性2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖22.1.1平面的投影圖用幾何元素表示平面(a)三點表示平面(b)一點一直線(c)兩相交直線(d)兩平行直線(e)平面圖形不垂直與軸2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖31、已知空間一直線的投影，包含該直線作一個平面的投影。2、已知空間一點和直線的一個投影，包含該點和直線作一個平面的投影。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖5

2.1.2各類平面的投影特性按照空間平面相對于投影面的位置，可將平面分為：一般位置平面特殊位置平面投影面傾斜面投影面平行面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫鎮(zhèn)绕矫嫱队懊娲怪泵?023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖6一般位置平面

投影特性:(1)三個投影均為的類似形；

(2)投影圖不反映、、

的真實角度；動畫2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖7垂直于投影面

投影面垂直面投影特點：投影在某一平面內(nèi)積聚為一直線，且該直線與投影軸的夾角反映了空間平面與投影面的夾角，在另兩個平面的投影為類似形，2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖9跡線表示鉛垂面（了解）跡線表示鉛垂面簡化表示:僅畫出積聚的投影

國標規(guī)定兩端用粗短劃線和細實線表示2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖10正垂面投影特性：(1)正面投影積聚為一條線；(2)水平投影和側(cè)面投影為類似形；(3)正面投影與OX、OZ的夾角反映α、角的真實大小；動畫2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖11側(cè)垂面投影特性：(1)側(cè)面投影積聚為一條線；(2)水平投影和正面投影為類似形；(3)側(cè)面投影與OY、OZ的夾角反映α、β角的真實大小；2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖13水平面投影特性：(1)水平投影反映平面實形；

(2)正面投影、側(cè)面投影積聚為一條直線，且分別平行于相應(yīng)的OX、OY1

投影軸；動畫2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖14正平面

投影特性：(1)正面投影反映實形；

(2)水平投影、側(cè)面投影積聚為一條直線，分別平行于相應(yīng)的OX、OZ投影軸；yy動畫2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖15正平面的跡線表示2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖172.2平面上的點和直線2.2.1平面上取直線和點2.2.2平面上的特殊直線2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖182.2.1.1平面上取直線

經(jīng)過屬于該平面的一已知點且平行于屬于該平面的一已知直線

經(jīng)過屬于該平

面的已知兩點2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖192.2.1.2平面上取點如點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖21例2：已知ABC上的點S的正面投影s’；求其水平投影s。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖22例3：完成六邊形的水平投影。返回2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖232.2.2.1平面上的投影面平行線正平線水平線側(cè)平線2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖252.2.2.2平面上的最大斜度線平面P上對投影面的最大斜度線與投影面傾角α最大1

2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖26平面上對H投影面的最大斜度線平面上對H投影面的最大斜度線α平面對H投影面的傾角a

平面對投影面的傾角等于

平面對該投影面最大斜度線

與投影面的傾角。

用平面對某投

影面的最大斜度

線與投影面的傾

角度量平面對該

投影面的傾角

2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖29例：求ABC平面上對V面最大斜度線以及ABC平面對V面的傾角。Y解題步驟：1.作屬于平面的正平線BF

2.作平面對V面的最大斜度線AG

3.采用直角△方法

求作平面(即AE)的β2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖30平面上對W投影面的最大斜度線平面上對W投影面的最大斜度線γ-平面對W投影面的傾角γ2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖31例：求ABC平面上對W面最大斜度線以及ABC平面對W面的傾角。解題步驟：1.作屬于側(cè)平線AD

2.作平面對W面的最大斜度線BF

3.采用直角△方法

求作平面(即BF)的γγ返回2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖322.3直線、平面與平面的相對位置2.3.1平行2.3.2相交2.3.3垂直2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖332.3.1.1直線與平面平行

若平面外一直線平行于平面上的一條直線，則直線與該平面平行。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖34例1試判斷已知直線AB是否平行于平面CDE答案：不平行2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖35例2過已知點K作一水平線平行于已知平面ABCEF即為所求2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖362.3.1.2兩平面平行

若一平面上的兩相交兩直線對應(yīng)地平行于另一平面上的相交兩直線，則此兩平面平行。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖37例3試判斷兩已知平面ABC和DEF是否平行答案：平行2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖38例4已知由平行兩直線AB和CD給定的平面。試過定點K作一平面平行于已知平面。兩相交直線GH、EF即為所求返回2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖392.3.2.1重影法(直線與特殊位置平面相交及投影面垂線與一般位置平面相交)

由于特殊位置平面的某些投影具有積聚性，交點的投影可直接得出。當(dāng)平面采用多邊形表示時，需要判別直線的可見性。求交點的空間分析2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖40作圖步驟幾何元素表示平面跡線表示平面（投影面垂直面與一般位置直線相交）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖41判別可見性2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖42例6特殊位置直線與一般位置平面相交，求交點K（投影面垂線與一般位置平面相交）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖43求作兩平面的交線MN。解:1.取屬于ABC的直線AC、BC分別與平面P求交點,即可求得

交線。（兩投影面垂直面相交，其交線一定是投影面垂直線）。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖44求作兩平面的交線MN。解:1.取屬于ΔABC的直線AC、BC分別與平面P求交點,即可求得

交線。（投影面垂直面與一般位置平面相交）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖452.3.2.2輔助平面法針對一般位置直線和一般位置平面與一般位置平面相交的情況，通常采用輔助平面法，其作步驟如下：1、含直線作輔助平面（通常是投影面垂直面）；2、求輔助平面與已知平面的交線；3、求交線與已知直線的交點；4、然后判斷可見性。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖46空間分析以鉛垂面為輔助平面作圖2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖471.含直線DE作輔助平面P2.求輔助平面P與平面ABC的交線MN3.求交線MN與已知直線DE的交點K作圖過程2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖48空間分析以正垂面為輔助平面作圖2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖491.含直線DE作輔助平面S2.求輔助平面S與平面ABC的交線MN3.求交線MN與已知直線DE的交點K作圖過程2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖50兩個一般位置平面相交，用直線與平面求交點的方法求兩平面的交線空間分析2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖51作圖步驟2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖52判別可見性返回2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖532.3.3.1直線與平面垂直

直線與平面垂直，則該直線必垂直于平面上的任何直線。

LK⊥平面P則：LK⊥水平線AB

LK⊥正平線CD2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖54

線面垂直定理:直線垂直于平面上任意兩相交直線，則直線垂直于該平面。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖552.3.3.2兩平面垂直如直線垂直于一平面，則包含這直線的一切平面都垂直于該平面；反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面上的任意一點向第二平面所作的垂線必定在第一平面內(nèi)并垂直于交線。兩平面相垂直兩平面不垂直2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖56

過定點S作平面垂直于平面△ABC.兩相交直線FS、SN即為所求（解不唯一）返回2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖57a’b’c’abcd’e’f’fed例：平面ABC與平面DEF是什么位置關(guān)系垂直2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖58a’b’c’abcd’e’f’fde例：平面ABC與平面DEF是什么位置關(guān)系斜交2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖59垂直2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖60如何對兩個一般位置平面的位置進行判斷如果點在平面上，那么點一定在面內(nèi)的一條直線上線垂直于面則必垂直面內(nèi)的兩條相交直線，線平行于面這線平行于面內(nèi)的一條直線。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖61a’b’c’abckk’m’n’nm2-6(1)2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖622-7(1)a’b’c’abcd’e’f’g’defgmnm’n’2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖63點、線、面綜合題解法解題步驟：1、審題分清已知條件和所求問題，所求問題是思考方向。應(yīng)注意已知問題中的關(guān)鍵詞，如平行、相交、垂直，實長、傾角、等腰三角形、矩形等。2、作空間分析分析已知條件和所求問題之間的相對位置關(guān)系。常用的方法有：可假設(shè)問題已求出，尋找在已知條件中可利用的條件；還可采用軌跡法，利用平行、垂直、相交等手段求解。3、利用所學(xué)的知識（如求實長、傾角、交點、交線、垂直、平面取點、平面取線等）作投影圖。4、檢查結(jié)果是否合理，討論結(jié)果是否唯一。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖642-2（2）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖65a’b’c’abckk’2-2（2）20242023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖66a’b’abm’m分析：到A、B兩點距離相等的點的軌跡是中垂面。2—8（3）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖672-10（2）分析：（1）與C、D等距的點的軌跡是沿C、D連線的中垂面上；（2）這個點又在AB上，因此，這個點是AB與中垂面的交點。c’a’b’d’dcabm’mk’kPV2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖682-10（1）分析：（1）過一點作平面的平行線有無數(shù)條，其軌跡是與已知平面平行的平面；（2）作直線EF與軌跡所組成的平面的交點L；（3）KL即為所求。a’b’c’abck’kl’lf’e’ef2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖69例：已知平面ΔEFG與平面ΔABC垂直，畫全ΔEFG

的水平投影。分析：（1）ΔABC是鉛垂面，與ΔABC垂直的線一定是水平線，且在水平投影反映直角；（2）ΔEFG與ΔABC垂直，在ΔEFG中取水平線作ΔABC垂線，該線一定在ΔEFG中；（3）用面上取點的方法就可作出ΔEFG的水平投影。2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖70作業(yè)：2—3（1）a’b’c’d’e’ebcdak’k2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖71a’b’c’abcm’m3001’解不唯一2—3（4）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖72分析：ΔABC是鉛垂面，與ΔABC平行的一定是鉛垂面，所以ΔDEF是鉛垂面，并且具有積聚性的投影平行。與鉛垂面垂直的是水平線，所以在水平投影反映實長和直角。a’b’c’abcd’f’e’efd202-4（4）2023/2/6重慶交通大學(xué)畫法幾何與工程制圖