第2課時(shí)

正方形的判定19.3正方形第19章

矩形、菱形與正方形1課堂講解正方形面積的性質(zhì)正方形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升（1）正方形是怎樣的平行四邊形？（2）正方形是怎樣的矩形？（3）正方形是怎樣的菱形？1知識(shí)點(diǎn)正方形面積的性質(zhì)知1－講正方形面積等于邊長的平方或?qū)蔷€平方的一半.知1－講例1〈山西〉如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為(

)A.B.

C.

D.D知1－講導(dǎo)引：作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，△EPM≌△EQN,利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．如圖，過E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°.又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°.∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，知1－講∴∠PEM＝∠NEQ.∵CA是∠BCD的平分線，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四邊形PCQE是正方形．在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN(ASA)．∴S△EQN＝S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積．∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC＝

∵EC＝2AE，∴EC＝

知1－講∴EP＝PC＝

∴正方形PCQE的面積＝

∴四邊形EMCN的面積＝本例解法在于巧用割補(bǔ)法，將分散的圖形拼合在一起，將不規(guī)則的陰影面積集中到一個(gè)規(guī)則的正方形中，再利用正方形的性質(zhì)求出，解答過程體現(xiàn)了割補(bǔ)法及轉(zhuǎn)化思想．總結(jié)知1－講1

(中考·南京)如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為________．知1－練2如圖，正方形ABCD的邊長為2，H在CD的延長線上，四邊形CEFH也為正方形，則△BDF的面積為(

)A．4B.C．

D．2知1－練2知識(shí)點(diǎn)正方形的判定知2－導(dǎo)討論老師給學(xué)生一個(gè)任務(wù)：從一張彩色紙中剪出一個(gè)正方形.小明剪完后，這樣檢驗(yàn)它：比較邊的長度，發(fā)現(xiàn)四條邊是相等的，于是就判定自己完成了這個(gè)任務(wù).這種檢驗(yàn)可信嗎？小兵用另一種方法檢驗(yàn)：他量的不是邊，而是對(duì)角線，發(fā)現(xiàn)對(duì)角線是相等的，于是就認(rèn)為自己正確地剪出了正方形.這種檢驗(yàn)對(duì)嗎？知2－導(dǎo)小英剪完后，比較了由對(duì)角線相互分成的4條線段，發(fā)現(xiàn)它們是相等的.按照小英的意見，這說明剪出的四邊形是正方形.你的意見怎樣？你認(rèn)為應(yīng)該如何檢驗(yàn)，才能又快又準(zhǔn)確呢？知2－講1.判定方法：(1)從四邊形出發(fā)：①有四條邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形；②對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形；(2)從平行四邊形出發(fā)：①有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；②對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；(3)從矩形出發(fā)：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；(4)從菱形出發(fā)：①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；②對(duì)角線相等的菱形是正方形．知2－講2.四邊形間的關(guān)系：(1)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形間的包含關(guān)系如圖.知2－講(2)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖：知2－講例2如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：四邊形CFDE是正方形．要證四邊形CFDE是正方形，首先要確定這個(gè)正方形建立在哪種四邊形的基礎(chǔ)上，即先證它是什么四邊形；再證這種四邊形是正方形需要補(bǔ)充的條件．導(dǎo)引：知2－講∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.同理DF∥CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴CFDE是菱形．∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，∴四邊形CFDE是矩形．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．證法一：證法二：證明條件中不含對(duì)角線的四邊形是正方形的四種方法：方法1：證：“四邊形＋四邊相等＋四個(gè)直角”；方法2：證：“平行四邊形＋一組鄰邊相等＋一個(gè)直角”；方法3：證：“矩形＋一組鄰邊相等”；方法4：證：“菱形＋一個(gè)直角”．

說明：在判定四邊形是正方形時(shí)，四邊形常常是建立在矩形或菱形的基礎(chǔ)上，采用方法3、方法4進(jìn)行證明；如證明中的證法一、證法二；本例也可采用方法1、方法2，請(qǐng)讀者去試一試．總結(jié)知2－講知2－講例3如圖，已知在ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD的延長線上的點(diǎn)，且EA＝EC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求證：四邊形ABCD是正方形．知2－講要證ABCD是正方形有三種途徑可走：即在平行四邊形、菱形、矩形的基礎(chǔ)上，找各需補(bǔ)充的對(duì)角線的條件進(jìn)行證明；若要證明ABCD是菱形，由于題中條件與對(duì)角線相關(guān)，則需證AC⊥BD.(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO，再由EA＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EO⊥AC，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可證出結(jié)論；(2)首先根據(jù)角的關(guān)系得出AO＝DO，進(jìn)而得到AC＝BD，再根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形可得到結(jié)論．導(dǎo)引：知2－講(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO.又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形．證明：證明條件中含對(duì)角線的四邊形是正方形的方法：(1)證：“四邊形＋對(duì)角線互相垂直、平分且相等”；(2)證：“平行四邊形＋對(duì)角線互相垂直且相等”；(3)證：“矩形＋對(duì)角線互相垂直”；(4)證：“菱形＋對(duì)角線相等”．證明一個(gè)四邊形是正方形的方法：結(jié)合條件選擇合理的判定方法，一般先證明是矩形，然后找出一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明是菱形，然后找一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等．總結(jié)知2－講知2－講例4已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC＝BD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是正方形．要證四邊形EFGH是正方形，以四邊形、平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)都可以證出所要證的結(jié)論；若以四邊形為基礎(chǔ)，則只需證明四條邊相等，四個(gè)角是直角即可．導(dǎo)引：知2－講∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴EF∥GH∥AC，F(xiàn)G∥EH∥BD，且EF＝GH＝AC，F(xiàn)G＝EH＝BD.又∵AC⊥BD，AC＝BD，∴∠HEF＝∠EFG＝∠GHE＝∠FGH＝90°，EF＝FG＝GH＝HE.∴四邊形EFGH是正方形．證明：幾種常見的中點(diǎn)四邊形的命題：(1)連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；(2)連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形是矩形；(3)連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形是菱形；(4)連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；(5)連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是菱形；(6)連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)的四邊形是矩形．總結(jié)知2－講知2－講中點(diǎn)四邊形的形狀是由外圍四邊形的對(duì)角線之間的關(guān)系確定的．任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形；對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.1把一張矩形紙片如圖那樣折一下就可以裁出正方

形紙片，為什么？知2－練知2－練2

(中考·蘭州)ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：________，使得ABCD為正方形．3

(中考·益陽)下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形B．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C．四條邊都相等的四邊形是菱形D．兩條對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是正方形知2－練4

(中考·日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列