1．2簡(jiǎn)單多面體學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：棱柱、棱錐及棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．難點(diǎn)：準(zhǔn)確運(yùn)用多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念作出判斷．新知初探思維啟動(dòng)1.多面體的概念若干個(gè)平面多邊形圍成的_________叫作多面體．其中棱柱、棱錐、棱臺(tái)是簡(jiǎn)單多面體．幾何體做一做判斷下列說(shuō)法是否正確．(1)多面體是由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，多面體只有棱柱、棱錐、棱臺(tái)三類，沒(méi)有其他情況(

)(2)多面體可以有2個(gè)面，3個(gè)面，4個(gè)面，5個(gè)面(

)答案：(1)×

(2)×2.幾種簡(jiǎn)單多面體的比較名稱圖形結(jié)構(gòu)特征側(cè)面的形狀分類棱柱兩個(gè)面___________，其余各面是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行平行四邊形三棱柱四棱柱五棱柱?n棱柱正棱柱底面是____________的直棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)矩形互相平行正多邊形名稱圖形結(jié)構(gòu)特征側(cè)面的形狀分類棱錐有一個(gè)面是_________，其余各面是______________的三角形的多面體三角形三棱錐四棱錐五棱錐?n棱錐正棱錐底面是__________，且各側(cè)面_______的棱錐_______的等腰三角形多邊形有一公共頂點(diǎn)正多邊形全等全等名稱圖形結(jié)構(gòu)特征側(cè)面的形狀分類棱臺(tái)用一個(gè)________棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的幾何體，上、下底面是相似圖形梯形三棱臺(tái)四棱臺(tái)五棱臺(tái)?n棱臺(tái)正棱臺(tái)由_________截得的棱臺(tái)全等的_________平行于正棱錐等腰梯形想一想棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面均為平行四邊形，反之，是否正確？為什么？提示：不正確．如圖所示中的幾何體，是由兩個(gè)等底面的四棱柱組合而成的，它有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊并不都平行，因而這個(gè)幾何體不是棱柱．典題例證技法歸納

下列說(shuō)法：(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；(2)棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；(3)棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)；題型探究例1題型一簡(jiǎn)單多面體的概念(4)各側(cè)面都是全等的等腰三角形的三棱錐必是正三棱錐；(5)底面是正三角形的棱錐是正三棱錐．其中，正確的有__________．【解析】根據(jù)棱柱、棱錐的定義，可以判斷(1)(2)正確；對(duì)于(3)，棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線就是截得原棱錐側(cè)棱所在的直線，而棱錐的側(cè)棱都有一個(gè)公共的點(diǎn)，它便是棱錐的頂點(diǎn)，于是棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線均相交于同一點(diǎn)，因此(3)是正確的；正三棱錐必須滿足兩個(gè)條件：一是底面是正三角形，二是各側(cè)面是全等的等腰三角形，二者缺一不可，因此(4)(5)是錯(cuò)誤的，只有(1)(2)(3)正確．【答案】

(1)(2)(3)【名師點(diǎn)評(píng)】只有理解并掌握好各種簡(jiǎn)單多面體的概念，以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征，才能不被各個(gè)命題的表面假象所迷惑，從而對(duì)問(wèn)題做出正確的判斷．變式訓(xùn)練1.(2012·西安交大附中月考)下列說(shuō)法：(1)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；(2)四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面；(3)棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等；(4)用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；(5)多面體至少有四個(gè)面．其中，錯(cuò)誤的是(

)A．(2)(5)

B．(1)(3)(5)C．(1)(3)(4) D．(2)(3)(5)解析：選C.由棱錐的定義可知，棱錐的各側(cè)面都是三角形．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，則這個(gè)幾何體就不是棱錐，故(1)錯(cuò)．四面體就是由四個(gè)面所圍成的幾何體，因此，四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故(2)對(duì)．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，但各側(cè)棱必須有一個(gè)公共頂點(diǎn)，故(3)錯(cuò)．對(duì)(4)，如圖，當(dāng)截面不平行于底面時(shí)棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)．對(duì)(5)，顯然一個(gè)圖形要成為空間幾何體，至少需要四個(gè)頂點(diǎn)，而三個(gè)頂點(diǎn)能圍成一個(gè)三角形，當(dāng)有四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，易知它圍成四個(gè)面，因而一個(gè)多面體至少應(yīng)有四個(gè)面，而且這樣的面必為三角形，故(5)是正確的．綜上可知，(2)(5)是正確的，而(1)(3)(4)是錯(cuò)誤的，故選C.例2題型二空間幾何體的識(shí)別與辨認(rèn)

下題中的各圖是不是棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)、圓錐等幾何體？請(qǐng)說(shuō)明原因．【解】圖(1)中的六個(gè)三角形沒(méi)有一個(gè)公共點(diǎn)，故不是棱錐，只是一個(gè)多面體；圖(2)也不是棱臺(tái)，因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能相交于同一點(diǎn)；圖(3)不是圓柱，因?yàn)樯?、下兩底面不平?或不是由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)而成的)；圖(4)不是由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)而成，故不是圓錐；圖(5)截圓錐的平面與底面不平行，故截面與底面之間的幾何體不是圓臺(tái)．【名師點(diǎn)評(píng)】在識(shí)別空間幾何體時(shí)，要全面抓住概念及幾何體的結(jié)構(gòu)特征，而不要僅根據(jù)概念的某一個(gè)結(jié)論去判斷幾何體，判斷的依據(jù)不充分，被假象所迷惑，作出錯(cuò)誤的判斷．變式訓(xùn)練2.觀察下列各圖的結(jié)構(gòu)特征，指出其中的棱柱、棱錐和棱臺(tái)，并進(jìn)行分類和符號(hào)表示．解：圖中(1)(2)(3)均為棱柱，其中(1)為四棱柱，記作四棱柱ABCD－A1B1C1D1；(2)為六棱柱，記作六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1；(3)為五棱柱，記作五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1.圖中(4)(5)(6)均為棱錐，其中(4)為三棱錐，記作三棱錐P－ABC；(5)為四棱錐，記作四棱錐P－ABCD；(6)為五棱錐，記作五棱錐P－ABCDE.圖中(7)(8)均為棱臺(tái)，其中(7)為四棱臺(tái)，記作四棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′；(8)為三棱臺(tái)，記作三棱臺(tái)ABC－A1B1C1.例3題型三空間幾何體的計(jì)算問(wèn)題

【解】將三棱錐V－ABC沿側(cè)棱VA剪開(kāi)，將其側(cè)面展開(kāi)圖平鋪在一個(gè)平面上，如圖所示，則AE＋EF＋FA＝AE＋EF＋FA1，3分因?yàn)锳E＋EF＋FA≥AA1，則線段AA1(即A，E，F(xiàn)，A、四點(diǎn)共線時(shí))的長(zhǎng)即為所求△AEF周長(zhǎng)的最小值.7分過(guò)點(diǎn)V作VD⊥AA1，垂足為D，由VA＝VA1，知D為AA1的中點(diǎn)．名師微博沿側(cè)棱VA剪開(kāi)展平如圖，即將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決是立體幾何的基本思想方法.【名師點(diǎn)評(píng)】求幾何體表面上兩點(diǎn)間最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某條棱剪開(kāi)后展開(kāi)，畫(huà)出其側(cè)面展開(kāi)圖；(2)將所求曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問(wèn)題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．互動(dòng)探究3．本例中的條件“∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°”變?yōu)椤啊螦VB＝∠BVC＝∠CVA＝60°”，此時(shí)截面△AEF周長(zhǎng)是否存在最小值？若有，請(qǐng)求出；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：將三棱錐V－ABC沿側(cè)棱VA剪開(kāi)，將其側(cè)面展開(kāi)圖平鋪在一個(gè)平面上，如圖所示：由于∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，所以展開(kāi)圖中A，V，A1在一條直線上，因?yàn)锳E＋EF＋FA1≥AA1，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，E，F(xiàn)都與V點(diǎn)重合，但此時(shí)A，E，F(xiàn)都在棱VA上，形不成三角形．所以，此時(shí)截面△AEF的周長(zhǎng)不存在最小值．1.如圖所示，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是(

)備選例題A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1解析：選C.根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，A、B中對(duì)應(yīng)邊不成比例，D中對(duì)應(yīng)邊相等，故A、B、D一定不是棱臺(tái)，C中對(duì)應(yīng)邊成比例，可能是棱臺(tái)，故應(yīng)選C.2.正方體的截面可能是什么形狀的圖形？解：可能有如下各種答案：①截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形．截面三角形是銳角三角形，但不能是直角三角形、鈍角三角形；②截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形，截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形中至少有一組對(duì)邊平行．截面不能是直角梯形；③截面可以是五邊形，截面五邊形必有平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等．截面五邊形不可能是正五邊形；④截面可以是六邊形，截面六邊形必有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等．截面六邊形可以是等角的六邊形，特別地，可以是正六邊形．對(duì)應(yīng)截面圖形如圖所示．方法技巧方法感悟1．柱體、錐體、臺(tái)體之間的關(guān)系2.識(shí)別簡(jiǎn)單幾何體的步驟3.要畫(huà)一個(gè)多面體的表面展開(kāi)圖，可以先用硬紙做一個(gè)相應(yīng)的多面體的實(shí)