（優(yōu)選）計算方法插值法課件2023/2/81第一頁，共一百一十四頁。2023/2/82Chapter2插值法

表示兩個變量x,y內(nèi)在關(guān)系一般由函數(shù)式y(tǒng)=f(x)表達。但在實際問題中的函數(shù)是多種多樣的,有下面兩種情況：（1）由實驗觀測而得的一組離散數(shù)據(jù)(函數(shù)表)，顯然這種函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)存在且連續(xù)，但未知。（2）函數(shù)解析表達式已知，但計算復雜，不便使用。通常也列函數(shù)表，如y=sin(x),y=lg(x)2.1引言第二頁，共一百一十四頁。2023/2/83

辦法是：根據(jù)所給的y=f(x)的函數(shù)表，構(gòu)造一個簡單的連續(xù)函數(shù)P(X)近似替代f(x)。Chapter2插值法2.1引言

近似代替即逼近的方法有很多種：插值方法、最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲線擬合。

由于問題的復雜性,直接研究函數(shù)f(x)可能很困難,但為了研究函數(shù)的變化規(guī)律,有時要求不在表上的函數(shù)值，怎么辦？？

簡單連續(xù)函數(shù)P(x)指可用四則運算計算的函數(shù):如有理函數(shù)(分式函數(shù)),多項式或分段多項式。第三頁，共一百一十四頁。2023/2/84Chapter2插值法2.1引言插值問題的數(shù)學提法：

已知函數(shù)y=f(x)在n+1個點x0,x1,…,xn上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，求一個簡單函數(shù)y=P(x)，使其滿足P(xi)=yi,（i=0,1,…,n）。即要求該簡單函數(shù)曲線要經(jīng)過y=f(x)上已知的這n+1個點(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同時在其它x∈[a,b]上要估計誤差R(x)=f(x)-P(x)。第四頁，共一百一十四頁。2023/2/85Chapter2插值法2.1引言重要術(shù)語

對于n+1個基點的插值問題，我們稱：f(x)為被插值函數(shù)；P(x)為插值函數(shù)；x0,x1,…,xn為插值基點或插值節(jié)點；P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n為插值條件；[a,b]為插值區(qū)間。注釋：對于早期的插值問題來說，f(x)通常是已知的，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等，這些問題現(xiàn)在已經(jīng)不用插值法來計算了；對于現(xiàn)在的許多實際問題來說，我們并不知道f(x)的具體形式，所對應(yīng)的函數(shù)值可能是由測量儀器或其他物理設(shè)備中直接讀出來的，f(x)只是一個概念中的函數(shù)。第五頁，共一百一十四頁。2023/2/86Chapter2插值法2.1引言多項式插值

對于n+1個基點的插值問題，如果要求插值函數(shù)是次數(shù)不超過n的多項式，記為Pn(x)，則相應(yīng)的問題就是多項式插值，并且把Pn(x)稱為插值多項式。

實際上，我們所考慮的插值函數(shù)通常都是多項式函數(shù)或分段多項式函數(shù)。由于次數(shù)不超過n的多項式的一般形式為：Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

所以只要確定了n+1個系數(shù)a0，a1，…，a2，an，我們便確定了一個插值多項式。第六頁，共一百一十四頁。2023/2/87Chapter2插值法yx2.1引言x0x1x2…xn-1xny0y1y2多項式插值的幾何意義：

多項式Pn(x)，其幾何曲線過給定的y=f(x)的n+1個點(xi,yi)i=0,1,2,…,n。ynyn-1第七頁，共一百一十四頁。2023/2/88Chapter2插值法2.2拉格朗日插值Lagrange插值第八頁，共一百一十四頁。2023/2/89Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多項式的唯一性已知y=f(x)的函數(shù)表，且xi(i=0,1,…,n)兩兩互異，xi∈[a,b]。求次數(shù)不超過n的多項式使得Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n此問題中Pn(x)是否存在？存在是否唯一？如何求？顯然關(guān)鍵是確定多項式Pn(x)的系數(shù)a0,a1,…,an。第九頁，共一百一十四頁。2023/2/810Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多項式的唯一性定理：在n+1個互異的插值節(jié)點x0,x1,…,xn

上滿足插值條件Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n的次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式Pn(x)存在且唯一。分析：為求主要考慮插值條件第十頁，共一百一十四頁。2023/2/811Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多項式的唯一性證明：由插值條件，有其系數(shù)矩陣的行列式為關(guān)于未知量a0,a1,…,an的非齊次線性方程組第十一頁，共一百一十四頁。2023/2/812Chapter2插值法2.2拉格朗日插值例給定f(x)的函數(shù)表，求f(x)的次數(shù)不超過3的插值多項式。x-1125y-77-435解：設(shè)則，解方程組得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2即P3(x)=10+5x-10x2+2x3當n=20,在109次/秒的計算機上計算需幾萬年?。〉谑?，共一百一十四頁。2023/2/813Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-2線性插值與拋物插值問題的提法：已知函數(shù)y=f(x)的函數(shù)表求次數(shù)不超過1的多項式L1(x)=a0+a1x滿足插值條件L1(xk)=yk,L1(xk+1)=yk+1。xxkxk+1yykyk+1分析:過兩點(xk,yk),(xk+1,yk+1)作直線y=L1(x)——線性插值解:由點斜式方程稱為線性插值基函數(shù),而L1(x)是它們的線性組合。第十三頁，共一百一十四頁。2023/2/814Chapter2插值法2.2拉格朗日插值L1(X)L1(X)∴l(xiāng)g2.718≈L1(2.718)=0.43428第十四頁，共一百一十四頁。2023/2/8152.2拉格朗日插值Chapter2插值法2-2線性插值與拋物插值

利用線性插值法對函數(shù)y=f(x)進行逼近時，即用直線y=L1(x)代替曲線y=f(x)。

顯然當插值區(qū)間較大或曲線[x0,x1]凸凹變化大時，線性插值的誤差很大。

為了減小這種誤差，我們用簡單的曲線(拋物線)去近似代替復雜曲線y=f(x)。二次多項式函數(shù)的曲線為拋物線，所以我們構(gòu)造插值函數(shù)L2(x)，即n=2。第十五頁，共一百一十四頁。2023/2/8162.2拉格朗日插值Chapter2插值法問題的提法：已知y=f(x)的函數(shù)表，x0,x1,x2為互異節(jié)點，求一個次數(shù)不超過2的多項式L2(x)=a0+a1x+a2x2

：L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2xx0x1x2yy0y1y2幾何意義:L2(x)為過三點(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的拋物線。方法：基函數(shù)法，構(gòu)造基函數(shù)l0(x),l1(x),l2(x)

(三個二次式)

使L2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)滿足插值條件。第十六頁，共一百一十四頁。2023/2/8172.2拉格朗日插值Chapter2插值法求二次多項式l0(x)：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0<=>l0(x)=C(x-x1)(x-x2)只須求C=?由l0(x0)=1

得C(x0-x1)(x0-x2)=1∴C=1/(x0-x1)(x0-x2)同理求得l1(x),l2(x),即拋物插值的插值基函數(shù)如下:拋物插值問題的解:第十七頁，共一百一十四頁。2023/2/8182.2拉格朗日插值Chapter2插值法2-3拉格朗日插值多項式已知y=f(x)在兩兩互異節(jié)點x0,x1,…,xn的函數(shù)值y1,y2,…,yn,求n次多項式Ln(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,滿足插值條件Ln(xi)=yi.i=0,1,2,3,…,n?；瘮?shù)法：求n+1個n次多項式l0(x),l1(x),…,ln(x)使

Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)。Ln(x)須滿足插值條件Ln(xi)=yii=0,1,2,3,…,n即y0l0(xi)+y1l1(xi)+…+yili(xi)…+ynln(xi)=yi第十八頁，共一百一十四頁。2023/2/8192.2拉格朗日插值Chapter2插值法∵li(x0)=0,…,li(xi-1)=0,li(xi+1)=0,…,li(xn)=0即li(x)有n個零點，x0,x1,…,xk-1,xk+1,…,xn。求插值基函數(shù)li(x)與節(jié)點有關(guān)，而與f無關(guān)第十九頁，共一百一十四頁。2023/2/8202.2拉格朗日插值Chapter2插值法

于是，滿足插值條件Ln(xi)=yi.i=0,1,2,3,…,n的插值多項式為：

上式即為拉格朗日（Lagrange）插值多項式。當n=1，或n=2時分別就是線形插值與拋物插值公式?；瘮?shù)的等價形式第二十頁，共一百一十四頁。2023/2/8212.2拉格朗日插值Chapter2插值法2-4插值余項函數(shù)y=f(x)與其Lagrange插值多項式Ln(x)：(1)Ln(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,…,n；(2)而對于插值區(qū)間[a,b]內(nèi)插值節(jié)點xi(i=1,2,…,n)以外的點x,一般Ln(x)≠f(x)，存在誤差。Def:對于一般的n+1個基點的多項式插值問題，設(shè)f(x)為被插值函數(shù),Ln(x)為相應(yīng)的插值多項式,記Rn(x)為f(x)與Ln(x)的差,即

Rn(x)=f(x)-Ln(x)

則Rn(x)就是用Ln(x)近似替代f(x)的誤差,我們稱它為插值余項。顯然，由插值多項式的唯一性可以導出插值余項的唯一性。第二十一頁，共一百一十四頁。2023/2/8222.2拉格朗日插值Chapter2插值法利用Lagrange插值公式Ln(x)來計算，結(jié)果是否可靠，要看余項Rn(x)是否足夠小。Rn(x)=？

設(shè)a≤x0<x1<…<xn≤b，且滿足條件f∈cn[a,b],f(n+1)在[a,b]內(nèi)存在,考察插值誤差，Rn(x)=f(x)-Ln(x)

。Rn(x)至少有個n+1根把x看作是（任意）固定的點，作輔助函數(shù)(t)有n+2個不同的根x0,…,xn,x根據(jù)Rolle定理注意：此處是對t求導第二十二頁，共一百一十四頁。2023/2/823Chapter2插值法2.2拉格朗日插值定理：設(shè)a≤x0<x1<…<xn≤b，且滿足條件f∈cn[a,b],f(n+1)在[a,b]內(nèi)存在,Ln(x)為相應(yīng)的插值多項式，Rn(x)為插值余項，則對任意固定的x∈(a,b)，有其中ξ∈(a,b),ξ依賴于x，ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)注：通常不能確定，而是估計將作為誤差上限。當f(x)為任一個次數(shù)≤n的多項式時,可知，即插值多項式對于次數(shù)≤n的多項式是精確的。第二十三頁，共一百一十四頁。2023/2/824Chapter2插值法線性插值的截斷誤差為二次插值的截斷誤差為:2.2拉格朗日插值2-4插值余項第二十四頁，共一百一十四頁。2023/2/8252.2拉格朗日插值Chapter2插值法L2(x)第二十五頁，共一百一十四頁。2023/2/826例．求過點(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項式。2.2拉格朗日插值Chapter2插值法解：用4次插值多項式對5個點插值。x0=2，x1=4，x2

=6，x3=8，x4=10，y0=0，y1

=3，y2

=5，y3

=4，y4

=1;第二十六頁，共一百一十四頁。2023/2/8272.2拉格朗日插值Chapter2插值法解:第二十七頁，共一百一十四頁。2023/2/828Chapter2插值法2.2拉格朗日插值程序設(shè)計:程序流程圖第二十八頁，共一百一十四頁。2023/2/8292.2拉格朗日插值Chapter2插值法高度(m)0100300100015002000壓強(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

試用二次插值法求1200米處的壓強值。

實際應(yīng)用：已測得某地大氣壓強隨高度變化的一組數(shù)據(jù)，

第二十九頁，共一百一十四頁。2023/2/830解：設(shè)x為高度，y為大氣壓強的值，選取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三點構(gòu)造二次插值多項式代入已知的數(shù)值，得L2(1200)=0.829802.2拉格朗日插值Chapter2插值法第三十頁，共一百一十四頁。2023/2/831Newton插值2.3均差與牛頓插值Chapter2插值法第三十一頁，共一百一十四頁。2023/2/8322.3均差與牛頓插值Chapter2插值法

拉格朗日插值多項式形式對稱，計算較方便，但由于Ln(x)依賴于全部節(jié)點，若算出所有Ln(x)后精度不滿足要求，又需要增加節(jié)點，則必須全部重新計算,為了克服這個缺點，我們引進牛頓插值多項式（Newton插值——具有承襲性）。不具有承襲性第三十二頁，共一百一十四頁。2023/2/833Chapter2插值法2.3均差與牛頓插值

假設(shè)對于具有k+1(k≥0)個插值節(jié)點的多項式插值問題，已經(jīng)得到了相應(yīng)的插值多項式，如果它不能滿足我們的精度要求，則希望通過增加一個插值節(jié)點，并利用已得到的來構(gòu)造新的，具有k+2個插值節(jié)點的插值多項式，為此,把表為與一個修正項的和的形式是合理的,即

從而只要確定了，我們即可寫出。此時我們稱上面的式子是具有承襲性的插值多項式。承襲性的含義：第三十三頁，共一百一十四頁。2023/2/834Chapter2插值法2.3均差與牛頓插值

由線性代數(shù)的知識可知，任何一個n次多項式都可以表示成共n+1個多項式的線性組合。那么，是否可以將這n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？顯然，多項式組線性無關(guān)，因此，可以作為插值基函數(shù)。第三十四頁，共一百一十四頁。2023/2/835Chapter2插值法2.3均差與牛頓插值第三十五頁，共一百一十四頁。2023/2/8362.3均差與牛頓插值Chapter2插值法有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜為此引入差商的概念第三十六頁，共一百一十四頁。2023/2/8372.3均差與牛頓插值Chapter2插值法設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間內(nèi),取連續(xù)變量值或離散變量值的實值函數(shù)，且已知f(x)在在n+1個互異的離散點x0,x1,,xn處的函數(shù)值f(x0)，f(x1)，，f(xn),稱為f(x)在xk處的零階差商。均差(差商)為f(x)在xi,xj處的一階差商。注:(1)差商的幾何意義：BAx0x1XY0f[x0,x1]為弦AB的斜率。(2)顯然，f[x0,x1]=f[x1,x0]/*divideddifference*/第三十七頁，共一百一十四頁。2023/2/8382.3均差與牛頓插值Chapter2插值法為f(x)在xi,xj,xk處的二階差商。均差(差商)/*divideddifference*/稱一般地,如果定義了f(x)的k-1階差商,則可以定義f(x)的k階差商為:這里,k可取值2,…,n。第三十八頁，共一百一十四頁。2023/2/8392.3均差與牛頓插值Chapter2插值法差商具有如下性質(zhì)(請同學們自證)：可用歸納法證明例：這個性質(zhì)也表明均差與節(jié)點的排列順序無關(guān)(均差的對稱性）第三十九頁，共一百一十四頁。2023/2/8402.3均差與牛頓插值Chapter2插值法第四十頁，共一百一十四頁。2023/2/8412.3均差與牛頓插值Chapter2插值法性質(zhì)2

差商具有對稱性,即任意調(diào)換節(jié)點的次序,差商的值不變。依對稱性，對調(diào)定義公式左端k階均差中x0與xk-1的位置，第四十一頁，共一百一十四頁。2023/2/8422.3均差與牛頓插值Chapter2插值法性質(zhì)4：若f(x)是x的n次多項式，則一階均差，f[x,x0]是x的n-1次多項式，二階均差f[x,x0,x1]是x的n-2次多項式；

一般地，函數(shù)f(x)的k階均差f[x,x0,,xk-1]是x的n-k次多項式（k<n），而k>n時，k階均差為零。第四十二頁，共一百一十四頁。2023/2/8432.3均差與牛頓插值Chapter2插值法差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表第四十三頁，共一百一十四頁。2023/2/844

計算規(guī)律：任一個k(≥1)階均差的數(shù)值等于一個分式的值，其分子為所求均差左側(cè)的數(shù)減去左上側(cè)的數(shù)，分母為所求均差同一行最左邊的節(jié)點值減去由它往上數(shù)第k個節(jié)點值。2.3均差與牛頓插值Chapter2插值法xif(xk)1階2階3階4階x0f(x0)

x1f(x1)f(x0,x1)

x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)

x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)

x4f(x4)f(x3,x4)f(x2,x3,x4)f(x1,x2,x3,x4)f(x0,x1,x2,x3,x

)

┊┊

┊

┊

┊

┊……對角線上的均差是構(gòu)造牛頓型插值公式的重要數(shù)據(jù)。第四十四頁，共一百一十四頁。2023/2/845

例已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)如表，試構(gòu)造均差表，并求f[2,4,5]及f[2,4,5,6]的值。

x02456f(x)159-413解

n=4,構(gòu)造均差表

xif(xi)1階2階3階4階0245621159-4132-13170-515-15f[2,4,5]=-5f[2,4,5,6]=52.3均差與牛頓插值Chapter2插值法第四十五頁，共一百一十四頁。2023/2/8462.3均差與牛頓插值Chapter2插值法例：計算三階均差解：第四十六頁，共一百一十四頁。2023/2/847均差表的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個矩陣F：F00=f(x0)F10=f(x1),F11=f[x0,x1]F20=f(x2),F21=f[x1,x2],F22=f[x0,x1,x2]F30=f(x3),F31=f[x2,x3],F32=f[x1,x2,x3],F33=f[x0,x1,x2,x3]Fi,j-1=f[xi-j+1,…,xi]Fi-1,j-1=f[xi-j,,…,xi-1]計算機上計算均差表的公式

一般有Fi,j=f[xi-j,xi-j+1,…,xi-1,xi]2.3均差與牛頓插值Chapter2插值法第四十七頁，共一百一十四頁。2023/2/8482.3均差與牛頓插值Chapter2插值法牛頓插值/*Newton’sInterpolation*/根據(jù)線性插值的點斜式可得牛頓均差型線性插值多項式：牛頓均差型二次插值多項式：第四十八頁，共一百一十四頁。2023/2/8492.3均差與牛頓插值Chapter2插值法牛頓插值公式的構(gòu)造第四十九頁，共一百一十四頁。2023/2/850Chapter2插值法2.3均差與牛頓插值只要把后一式代入前一式，得:牛頓插值公式的構(gòu)造第五十頁，共一百一十四頁。2023/2/851Chapter2插值法2.3均差與牛頓插值最后一項中,均差部分含有x,是余項部分,記為Rn(x);牛頓插值公式的構(gòu)造

前面n+1項中,均差部分都不含有x,因而前面n+1項是關(guān)于x的n次多項式,記作Nn(x)___牛頓插值公式。由于Rn(xi)=0i=0,1,2,,n;所以Nn(xi)=f(xi)i=0,1,2,…,n第五十一頁，共一百一十四頁。2023/2/852計算牛頓均差插值多項式的步驟：2.3均差與牛頓插值Chapter2插值法（1）作均差表（2）根據(jù)公式計算牛頓型插值多項式（表中對角線上各均差值就是Nn(x)的各項系數(shù)）。

第五十二頁，共一百一十四頁。2023/2/853Chapter2插值法2.3均差與牛頓插值例2:已知121520f(xi)7421xi求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。-1.25-3.5-112741315412301三階均差二階均差一階均差f(xi)x則牛頓三次插值多項式為第五十三頁，共一百一十四頁。2023/2/854拉格朗日插值與牛頓插值的比較2.3均差與牛頓插值Chapter2插值法1、Ln(x)與Nn(x)均是n次多項式,且均滿足插值條件由多項式的唯一性,因而,兩個公式的余項是相等的,即2、當插值多項式從n-1次增加到n次時,拉格朗日型插值必須重新計算所有的基本插值多項式;而對于牛頓型插值,只需用表格再計算一個n階均差,然后加上一項即可。第五十四頁，共一百一十四頁。2023/2/8552.4埃爾米特插值

許多實際問題不僅要求插值函數(shù)在節(jié)點上與原來的函數(shù)相等(滿足插值條件)，而且還要求在節(jié)點上的各階導數(shù)值也相等。滿足這些條件的插值，稱為埃爾米特(Hermite)插值。本節(jié)討論已知兩個節(jié)點的函數(shù)值和一階導數(shù)的情形。Chapter2插值法第五十五頁，共一百一十四頁。2023/2/8562.4埃爾米特插值Chapter2插值法第五十六頁，共一百一十四頁。2023/2/8572.4埃爾米特插值基函數(shù)函數(shù)值一階導數(shù)X0X1X0X11000010000100001Chapter2插值法第五十七頁，共一百一十四頁。2023/2/8582.4埃爾米特插值Chapter2插值法第五十八頁，共一百一十四頁。2023/2/8592.4埃爾米特插值Chapter2插值法第五十九頁，共一百一十四頁。2023/2/8602.4埃爾米特插值Chapter2插值法第六十頁，共一百一十四頁。2023/2/8612.4埃爾米特插值Chapter2插值法第六十一頁，共一百一十四頁。2023/2/862Chapter2插值法2.5分段低次插值/*Piecewisepolynomialapproximation*/多項式插值對于y=f(x)a≤x≤b

給定插值節(jié)點x0,x1,…,xn

，構(gòu)造插值多項式Pn(x)，為使Pn(x)更好地逼近f(x)，我們已經(jīng)知道插值有多種方法：Lagrange

插值、Newton插值等多種方式。插值的目的就是數(shù)值逼近，而數(shù)值逼近，為的是得到一個數(shù)學問題的足夠精確的數(shù)值解。分段插值第六十二頁，共一百一十四頁。2023/2/863Chapter2插值法

高次插值使Pn(x)在較多點上與f(x)相等，但在插值節(jié)點外，誤差如何？

節(jié)點間距較小=>節(jié)點多(n較大)=>插值多項式Pn(x)的次數(shù)很高(高次插值)

我們已經(jīng)知道：f(x)在n+1個節(jié)點xi(i=0,1,2,…,n)

上的n次插值多項式Pn(x)

的余項設(shè)想當節(jié)點數(shù)增多時會出現(xiàn)什么情況?是否插值多項式Pn(x)的次數(shù)越高越好?2.5分段低次插值第六十三頁，共一百一十四頁。2023/2/864Chapter2插值法例并作圖比較。

定義在區(qū)間[-5，5]上，這是一個光滑函數(shù)，它的任意階導數(shù)都存在。分析：龍格(Runge)現(xiàn)象2.5分段低次插值第六十四頁，共一百一十四頁。2023/2/865Chapter2插值法解：龍格(Runge)現(xiàn)象2.5分段低次插值第六十五頁，共一百一十四頁。2023/2/866%lagrangen.mfunctiony=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;

fork=1:nL=1;

forj=1:n

ifj~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

endend

s=s+L*y0(k);

end

y(i)=s;endy;Chapter2插值法龍格(Runge)現(xiàn)象2.5分段低次插值第六十六頁，共一百一十四頁。2023/2/867%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2);plot(x,z,'k',x,y,'r')axis([-55-1.52]);pause,holdonforn=2:2:10x0=linspace(-5,5,n+1);y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y1=lagrangen(x0,y0,x);plot(x,y1),pauseendy2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x);plot(x,y,'k'),holdoffgtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6')gtext('n=8'),gtext('n=10')gtext('f(x)=1/(1+x^2)')Chapter2插值法龍格(Runge)現(xiàn)象2.5分段低次插值第六十七頁，共一百一十四頁。2023/2/868Chapter2插值法不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖2.5分段低次插值第六十八頁，共一百一十四頁。2023/2/869Chapter2插值法

結(jié)果表明,并不是插值多項式的次數(shù)越高,插值效果越好,精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高,這種現(xiàn)象在上個世紀初由Runge發(fā)現(xiàn),故稱為Runge現(xiàn)象.

從圖中，可見，在靠近-5或5時，余項會隨n值增大而增大；在0附近插值效果是好的，即余項較??；另一種現(xiàn)象是插值多項式隨節(jié)點增多而振動更多。龍格(Runge)現(xiàn)象2.5分段低次插值第六十九頁，共一百一十四頁。2023/2/870

上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項式是不妥當?shù)?，從?shù)值計算上可解釋為高次插值多項式的計算會帶來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因此，實踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次插值多項式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。Chapter2插值法

這個任意階可導的光滑函數(shù)之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，跟它在復平面上有x=±1是奇點有關(guān)。2.5分段低次插值第七十頁，共一百一十四頁。2023/2/8712.5分段低次插值Chapter2插值法

隨著插值節(jié)點數(shù)增加，插值多項式的次數(shù)也相應(yīng)增加，而對于高次插值容易帶來劇烈振蕩，帶來數(shù)值不穩(wěn)定。為了既要增加插值節(jié)點，減小插值區(qū)間，以便更好的逼近被插值函數(shù)，又要不增加插值多項式的次數(shù)，以減小誤差，我們可以采用分段插值的辦法。

在區(qū)間[a,b]上取n=1個節(jié)點x0=a，x1，…，xn=b，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)=y0，f(x1)=y1，…，f(xn)=yn，構(gòu)造函數(shù)Ih(x)滿足：（1）插值條件：Ih(xk)=yk,(k=0,1,…,n);（2）在每個區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，Ih(x)是低次多項式；（3）在整個區(qū)間[x0,xn]上Ih(x)連續(xù)。Ih(x)稱為分段低次插值函數(shù)。第七十一頁，共一百一十四頁。2023/2/872Chapter2插值法2.5分段低次插值分段線性插值

所謂分段線性插值就是通過插值點，用折線段連接起來逼近函數(shù)f(x)。設(shè)已知節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b上的函數(shù)值f0,…,fn，記hk=xk+1-xk，h=maxhk,求一折線函數(shù)Ih(x)，滿足：（1）插值條件：Ih(xk)=yk,(k=0,1,…,n);（2）在每個區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，Ih(x)是線性函數(shù)；（3）在整個區(qū)間[x0,xn]上Ih(x)連續(xù)。

幾何上看，Ih(x)是由點(xi,fi)(i=0,1,…,n)連成的一條折線，在整個區(qū)間連續(xù)，在節(jié)點處1階導數(shù)不連續(xù)。第七十二頁，共一百一十四頁。2023/2/8732.5分段低次插值Chapter2插值法由定義可得Ih(x)在每個小區(qū)間[xk,xk+1]上的表達式為:

在每個區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，Ih(x)是線性函數(shù)；且I(xk)=fk，I(xk+1)=fk+1。第七十三頁，共一百一十四頁。2023/2/8742.5分段低次插值Chapter2插值法第七十四頁，共一百一十四頁。2023/2/8752.5分段低次插值Chapter2插值法

為了緊湊，也可通過分段插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,2,…,n)的線性組合將分段線性插值函數(shù)表示為一個表達式。每個插值結(jié)點上所對應(yīng)的插值基函數(shù)li(x)應(yīng)當滿足：(1)

li(x)是分段線性函數(shù)；第七十五頁，共一百一十四頁。2023/2/8762.5分段低次插值Chapter2插值法每個插值結(jié)點上所對應(yīng)的插值基函數(shù)li(x)應(yīng)當滿足：YX1x0x1x2xn-1xn(3)YX1x0x1xn-1xnxi+1xixi-1YX1x0x1x2xn-1xn第七十六頁，共一百一十四頁。2023/2/8772.5分段低次插值Chapter2插值法

分段線性插值基函數(shù)li(x)

只在xi

附近不為零，在其他地方均為零，這種性質(zhì)稱為局部非零性質(zhì)。

在區(qū)間[xk,xk+1]上，只有l(wèi)k(x),lk+1(x)是非零的，其它基函數(shù)均為零，即因此：表達式與表達式是相同的。第七十七頁，共一百一十四頁。2023/2/8782.5分段低次插值Chapter2插值法--------(1)--------(2)顯然我們稱由(1)(2)式構(gòu)成的插值多項式為分段線性Lagrange插值多項式第七十八頁，共一百一十四頁。2023/2/8792.5分段低次插值Chapter2插值法內(nèi)插外插外插第七十九頁，共一百一十四頁。2023/2/8802.5分段低次插值Chapter2插值法例:已知函數(shù)在區(qū)間[0,5]上取等距插值節(jié)點（如下表），并利用它求出的近似值。0.038460.058820.10.20.51yi543210xi解：在每個分段區(qū)間上，第八十頁，共一百一十四頁。2023/2/8812.5分段低次插值Chapter2插值法分段線性插值的誤差估計

根據(jù)拉格朗日一次插值函數(shù)的余項,可以得到分段線性插值函數(shù)的插值誤差估計。定理：設(shè)f(x)在[a,b]上有二階連續(xù)導數(shù)f″(x)

，且|f″(x)|≤M2,記,h=max|xi+1-xi|,就有估計：證明：n次Lagrange插值多項式的余項為第八十一頁，共一百一十四頁。2023/2/8822.5分段低次插值Chapter2插值法分段線性插值的誤差估計第八十二頁，共一百一十四頁。2023/2/883收斂性證明：2.5分段低次插值Chapter2插值法當x∈[xk,xk+1]

時另一方面，這時現(xiàn)在證明考慮：

這里ω(h)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)模，即對任意兩點xˊ，x〞∈[a,b]，只要|xˊ?x〞|≤h，就有稱ω(h)為f(x)在[a,b]上的連續(xù)模，當f(x)∈C[a,b]時，就有第八十三頁，共一百一十四頁。2023/2/8842.5分段低次插值Chapter2插值法由前式可知，當x∈[a,b]時有收斂性證明：因此，只要f(x)∈C[a,b]，就有在[a,b]上一致成立，故Ih(x)在[a,b]上一致收斂到f(x)。第八十四頁，共一百一十四頁。2023/2/8852.5分段低次插值Chapter2插值法例：設(shè)-1

≤x≤1(1)將[-1，1]10等份，用分段線性插值近似計算f(-0.96)。(2)將[-1，1]n等份，用分段線性插值近似計算,問如何選擇步長h可使近似計算誤差R<10-4?解：(1)插值節(jié)點為xi=-1+i/5(i=0,1,…,10),h=1/5因為-0.96∈[-1,-0.8],取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為所以f(-0.96)≈

Ih(-0.96)=0.04253第八十五頁，共一百一十四頁。2023/2/8862.5分段低次插值Chapter2插值法(2)插值節(jié)點為xi=-1+ih(i=0,1,…,n),h=(b-a)/n=2/n由分段線性插值的余項估計：

|f(x)-Ih(x)|=|R(x)|≤M2h2/8第八十六頁，共一百一十四頁。2023/2/8872.6三次樣條插值Chapter2插值法Spline樣條插值第八十七頁，共一百一十四頁。2023/2/888Chapter2插值法2.6三次樣條插值什么是樣條:是指飛機或輪船等的制造過程中為描繪出光滑的外形曲線(放樣)所用的工具。它是有彈性的細長木條,繪圖時,用細木條連接相近的幾個節(jié)點,然后再進行拼接,連接全部節(jié)點,使之成為一條光滑曲線,且在節(jié)點處具有連續(xù)的曲率。

當曲線上每一點處都具有切線，且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣的曲線稱為光滑曲線。第八十八頁，共一百一十四頁。2023/2/889Chapter2插值法2.6三次樣條插值1946年,Schoenberg將樣條引入數(shù)學,即所謂的樣條函數(shù)。樣條函數(shù)就是對這樣的曲線進行數(shù)學模擬得到的。它除了要求給出各個結(jié)點處的函數(shù)值外,只需提供兩個邊界點處導數(shù)信息,便可滿足對光滑性的不同要求。

樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項式拼合而成的曲線，在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導數(shù)也是連續(xù)的。第八十九頁，共一百一十四頁。2023/2/890Chapter2插值法2.6三次樣條插值三次樣條的應(yīng)用第九十頁，共一百一十四頁。2023/2/891Chapter2插值法2.6三次樣條插值三次樣條插值函數(shù)定義設(shè)給定區(qū)間[a,b]上n+1個點a=x0<x1<…<xn=b，以及相應(yīng)的函數(shù)值yi=f(xi),i=0,1,…,n。如果函數(shù)S(x)滿足:(1)在每個子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，S(x)是不超過三次的多項式，且S(xi)=yi,i=0,1,…,n；則稱S(x)是f(x)在基點x0,x1,x2,…,xn上的三次樣條插值函數(shù).稱xoy平面上的點(xi,yi)(i=0,1,…,n)為樣點。第九十一頁，共一百一十四頁。2023/2/892Chapter2插值法2.6三次樣條插值第九十二頁，共一百一十四頁。2023/2/893Chapter2插值法2.6三次樣條插值第九十三頁，共一百一十四頁。2023/2/894Chapter2插值法2.6三次樣條插值

例給定區(qū)間[0,3]上3個點的函數(shù)值f(0)=0，f(1)=2，f(3)=4,試求數(shù)a,b,c,d,使函數(shù)S(x)為給定點上的三次樣條插值函數(shù)。解設(shè)

根據(jù)定義，由得d=0，故則由

由由由求得

第九十四頁，共一百一十四頁。2023/2/8952.6三次樣條插值Chapter2插值法一般使用第一、二類邊界條件,常用第二類邊界條件。第九十五頁，共一百一十四頁。2023/2/896Chapter2