書山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)崖苦作舟少小不學(xué)習(xí)，老來(lái)徒傷悲成功=艱苦的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！絕對(duì)值三角不等式（一）絕對(duì)值的定義：

對(duì)任意實(shí)數(shù)a，

復(fù)習(xí)問(wèn)題我們已學(xué)過(guò)積商絕對(duì)值的性質(zhì)，哪位同學(xué)能回答？或.當(dāng)時(shí)，有：

（二）絕對(duì)值的幾何意義：

實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|，表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離（圖1）。

如：|-3|或|3|在數(shù)軸上分別等于點(diǎn)A或點(diǎn)B到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。|a|OAx

由絕對(duì)值的幾何意義可知，A、B之間的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3，可表示為：

即實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3

同理，與原點(diǎn)距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可表示為：

如圖

設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么|a-b|

的幾何意義是什么？x|a-b|abAB探究

用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來(lái)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關(guān)系？

定理1

如果a,b是實(shí)數(shù)，則

|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。絕對(duì)值三角不等式

如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換為向量，能得出什么結(jié)論？你能解釋其幾何意義嗎？探究？(1)當(dāng)不共線時(shí)有(2)當(dāng)共線且同向時(shí)有絕對(duì)值三角不等式如何證明定理1?探究

你能根據(jù)定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之間的其它關(guān)系嗎?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|結(jié)論:為了更好地理解定理1，我們?cè)購(gòu)拇鷶?shù)推理的角度給出它的證明.證明:(1)當(dāng)ab≥0時(shí)，

(2)當(dāng)ab<0時(shí)，綜合(1)(2)知定理成立.注意：1

左邊可以“加強(qiáng)”同樣成立，即

2

這個(gè)不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3

同號(hào)時(shí)右邊取“=”，

異號(hào)時(shí)左邊取“=”推論1：

推論2：

證明：在定理中以

即：

推論1

||a|-|b||≤|a+b|.證明：因?yàn)閨a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=|a+b|+|b|,所以||a|-|b||≤|a+b|.同理可證|b|-|a|≤|a+b|.所以||a|-|b||≤|a+b|.推論2||a|-|b||≤|a-b|.證明：由推論1知||a|-|-b||≤|a+(-b)|,所以||a|-|b||≤|a-b|.定理探索當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，要證只要證，即證而顯然成立．

從而證得.

定理探索還有別的證法嗎？

由與，得.用可得什么結(jié)論？當(dāng)我們把看作一個(gè)整體時(shí)，上式逆定理探索證明嗎？能用已學(xué)過(guò)得的可以表示為

即即.就是含有絕對(duì)值不等式的重要定理，

定理2

如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí),等號(hào)成立你能給出定理2的幾何解釋嗎?如何證明定理2?推論:例題求證.例4

已知，證明：例題例5

求證.證明：在時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，左邊