學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第8練函數(shù)的奇偶性和周期性訓(xùn)練目標（1）函數(shù)奇偶性的概念；(2)函數(shù)周期性．訓(xùn)練題型(1）判定函數(shù)的奇偶性；（2)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求函數(shù)值，求參數(shù))；(3）函數(shù)周期性的應(yīng)用．解題策略（1）判斷函數(shù)的奇偶性首先要考慮函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱；（2）根據(jù)奇偶性求參數(shù)，可先用特殊值法求出參數(shù)，然后驗證；（3)理解并應(yīng)用關(guān)于周期函數(shù)的重要結(jié)論：如f(x)滿足f（x＋a)＝－f(x),則f(x）的周期T＝2|a｜。一、選擇題1．(2016·江西贛州于都實驗中學(xué)大考三)若奇函數(shù)f（x)＝3sinx＋c的定義域是［a，b］，則a＋b＋c等于()A．3 B．－3C．0 D．無法計算2．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（－2,1]上的圖象，則f(2014)＋f(2015）等于()A．3 B．2C．1 D．03．函數(shù)f(x）是周期為4的偶函數(shù)，當x∈［0，2］時，f(x)＝x－1,則不等式xf（x）>0在[－1,3]上的解集為(）A．（1，3) B．(－1,1)C．(－1，0）∪（1，3） D．（－1,0)∪(0,1)4．若定義在R上的偶函數(shù)f（x)和奇函數(shù)g（x)滿足f（x)＋g（x）＝ex，則g（x)等于()A．ex－e－x B.eq\f（1，2)（ex＋e－x)C.eq\f（1,2)(e－x－ex) D.eq\f（1，2）（ex－e－x）5．定義在R上的函數(shù)f（x)滿足f(－x)＝－f（x)，f（x－2）＝f(x＋2），且當x∈（－1，0）時,f(x)＝2x＋eq\f（1,5),則f（log220)等于(）A．－1B .eq\f（4，5)C．1 D．－eq\f(4，5）6．（2016·開封二模）已知函數(shù)f（x）定義在R上,對任意實數(shù)x有f(x＋4)＝－f（x）＋2eq\r（2），若函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，f（－1）＝2，則f(2015)等于()A．－2＋2eq\r（2) B．2＋2eq\r(2）C．2－2eq\r(2) D．27．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2－x？x≥0?，，2x－1？x〈0？,））則該函數(shù)是()A．偶函數(shù)且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)且單調(diào)遞減C．奇函數(shù)且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)且單調(diào)遞減8．對任意實數(shù)a、b,定義兩種運算：a？b＝eq\r（a2－b2）,a?b＝eq\r(a－b2）,則函數(shù)f（x）＝eq\f（2?x,2－x?2）()A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)二、填空題9．(2015·課標全國Ⅰ）若函數(shù)f（x）＝xln(x＋eq\r(a＋x2）)為偶函數(shù)，則a＝________.10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f（1)＝1,f（x＋2）＝eq\f(1，f？x?)對任意x∈R恒成立，則f(2015)＝________。11．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－2x,x≥0，,－x2＋ax，x〈0））是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為________．12．（2016·山東乳山一中月考）定義在(－∞,＋∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f(x＋1）＝－f(x），且在［－1，0]上是增函數(shù),下面是關(guān)于f(x）的判斷：①f（x)的圖象關(guān)于點Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），0））對稱;②f（x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；③f（x)在[0,1］上是增函數(shù)；④f（2）＝f（0）．其中正確的是________．（把你認為正確的判斷序號都填上)

答案精析1．C[因為函數(shù)f（x)＝3sinx＋c的定義域是[a，b］，并且是奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即3sin0＋c＝0，得c＝0，而奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a＋b＝0,所以a＋b＋c＝0.故選C。]2．A[因為f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，所以f(2014)＋f(2015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1）＝f(1）＋f(－1），而由圖象可知f（1）＝1,f（－1)＝2,所以f（2014）＋f(2015)＝1＋2＝3。]3．C［f（x）的圖象如圖．當x∈（－1，0)時，xf（x）>0；當x∈(0，1)時,xf（x）<0；當x∈(1,3）時，xf(x）〉0.所以x∈(－1，0)∪（1，3)．］4．D［由f(x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，得f（－x)＝f(x)，g（－x）＝－g(x）,因為f（x）＋g(x)＝ex,所以f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f（x)－g（x）＝e－x，所以g(x)＝eq\f(1,2）（ex－e－x）．故選D.]5．A[因為f（－x)＝－f（x)，所以f(x)是奇函數(shù)．當x∈（0,1）時,－x∈(－1，0），則f(x）＝－f（－x）＝－2－x－eq\f（1,5)。因為f(x－2)＝f(x＋2)，所以f（x）＝f(x＋4)，所以f(x）是周期為4的周期函數(shù)．而4〈log220〈5，所以f（log220）＝f（log220－4）＝－－eq\f(1，5）＝－－eq\f(1，5）＝－1,故選A.］6．D［依題意得f(－1）＝2，f(x＋4)＋f(x)＝2eq\r（2）,f(x＋8)＋f（x＋4）＝2eq\r（2)，因此f(x＋8)＝f(x)．注意到2015＝8×251＋7,因此f（2015)＝f（7)＝f（－1）＝2，故選D.］7．C［當x>0時，f(x）＝1－2－x，這時－x〈0，所以f(－x)＝2－x－1,于是f(－x)＝－f(x)；當x〈0時，f（x)＝2x－1，這時－x>0，所以f（－x）＝1－2x，于是也有f（－x）＝－f(x）．又f（0)＝0,故函數(shù)f（x)是一個奇函數(shù)．又因為當x>0時,f（x）＝1－2－x單調(diào)遞增，當x〈0時，f(x)＝2x－1也單調(diào)遞增，所以f（x)單調(diào)遞增．故選C。］8．A[由題意可得f（x)＝eq\f(2？x,2－x?2）＝eq\f(\r(4－x2），2－\r（（x－2）2)），則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4－x2≥0,，(x－2）2≥0,,2－\r(（x－2）2）≠0））?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－2≤x≤2，，x∈R,,x≠4且x≠0））?－2≤x≤2且x≠0。即此函數(shù)的定義域為[－2,0）∪(0,2]．所以－4≤x－2<－2或－2〈x－2≤0，所以eq\r（（x－2)2)＝｜x－2|＝2－x，所以f（x）＝eq\f(\r（4－x2)，2－\r(（x－2)2)）＝eq\f(\r(4－x2)，2－(2－x）)＝eq\f（\r(4－x2)，x）。因為f（－x）＝eq\f（\r(4－(－x）2),－x）＝－eq\f(\r(4－x2）,x)＝－f（x)≠f(x），所以函數(shù)f(x）＝eq\f（2？x,2－x?2)是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)．］9．1解析f(x)為偶函數(shù),則ln(x＋eq\r（a＋x2)）為奇函數(shù)，所以ln(x＋eq\r（a＋x2）)＋ln(－x＋eq\r（a＋x2))＝0,即ln（a＋x2－x2）＝0，所以a＝1。10．1解析由f（x＋2）＝eq\f（1，f(x）)，得f（－1＋2)＝eq\f(1，f(－1)），即f（1)f(－1)＝1，而f(1）＝1，故f(－1)＝1,又因為f(x＋4)＝eq\f（1,f（x＋2）)＝f(x），所以f（2015)＝f(504×4－1）＝f（－1）＝1.11．－2解析因為f(x）是奇函數(shù)，所以f（0)＝0，當x>0時，－x〈0,由f(－x）＝－f（x），得－(－x)2＋a（－x)＝－(x2－2x）,則a＝－2;當x〈0時，－x>0，由f（－x）＝－f（x)，得（－x）2－2(－x)＝－(－x2＋ax）,得x2＋2x＝x2－ax,則a＝－2.所以a＝－2.12．①②④解析根據(jù)題意有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，2)）)＝－feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2））），結(jié)合偶函數(shù)的條件，可知feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)＋x)）＝－feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)－x))，所以函數(shù)圖象關(guān)于點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co