新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點和典型例習題一、基礎知識點:１.勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;表達方法：假如直角三角形的兩直角邊分別為a,b，斜邊為c,那么22２abc+=勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股,斜邊稱為弦.早在三千數(shù)年前,周朝數(shù)學家商高就提出了“勾三,股四，弦五”形式的勾股定理,后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方２.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思緒是①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊,沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表達方法，列出等式,推導出勾股定理常見方法如下:方法一:４EＦGＨSＳＳ?+=正方形正方形ABＣＤ,22１4（２abbac?＋－=,化簡可證．方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為２2142２Sabcabc=?+=+大正方形面積為2２2(２Sａbaａｂb＝+=++所以2２2ａbc+＝方法三:1((２Ｓaｂａｂ=+?+梯形，21１2S222AＤEABEＳSabc??=+=?+梯形，化簡得證3．勾股定理的合用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只合用于直角三角形,對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特性,因而在應用勾股定理時,必須明了所考察的對象是直角三角形4.勾股定理的應用①已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊在ＡＢＣ?中,90C∠=?，則c,b,a②知道直角三角形一邊,可得此外兩邊之間的數(shù)量關系③可運用勾股定理解決一些實際問題５.勾股定理的逆定理假如三角形三邊長a,ｂ，c滿足２2２abc＋＝,那么這個三角形是直角三角形,其中c為斜邊①勾股定理的逆定理是鑒定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來擬定三角形的也許形狀，在運用這一定理時,可用兩小邊的平方和２2ab+與較長邊的平方2c作比較,若它們相等時,以a，b,ｃ為三邊的三角形是直角三角形;若cｂHEＤＣBAｂabacａbcabａbbaEDCＢＡ２２2ａbc＋<,時,以a,b,c為三邊的三角形是鈍角三角形；若222ａｂc＋>,時,以a,ｂ,c為三邊的三角形是銳角三角形;②定理中a,b,c及222abc+=只是一種表現(xiàn)形式,不可認為是唯一的,如若三角形三邊長a，b,c滿足22２acb+=,那么以a,ｂ,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊③勾股定理的逆定理在用問題描述時,不能說成:當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時,這個三角形是直角三角形6.勾股數(shù)①可以構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù),即2２2abｃ+＝中，ａ，b,c為正整數(shù)時,稱ａ,b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3，4，5;６，8,１0;5,１2,1３;7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表達n組勾股數(shù):221,2,1ｎnn-+(2,ｎ≥n為正整數(shù)；2221，22,2２１nnnnn＋++＋(ｎ為正整數(shù)2222，２,ｍnmnmｎ-+(,mn>m,n為正整數(shù)7．勾股定理的應用勾股定理可以幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題．在使用勾股定理時,必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中,斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線,構造直角三角形,以便對的使用勾股定理進行求解．８..勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中,應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論.9．勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中,是密不可分的一個整體.通常既要通過逆定理鑒定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，兩者相輔相成,完成對問題的解決．常見圖形:ＡBCDBAADBC10、互逆命題的概念假如一個命題的題設和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設,這樣的兩個命題叫做互逆命題。假如把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。勾股定理的作用:(1已知直角三角形的兩邊求第三邊。(2已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系。（3用于證明線段平方關系的問題。（4運用勾股定理,作出長為n的線段二、經(jīng)典例題透析類型一:勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=9０°(1已知a=6,c=10,求b，（2已知a=40，b＝９,求ｃ；(３已知c＝2５,b=１5，求a.思緒點撥:寫解的過程中,一定要先寫上在哪個直角三角形中,注意勾股定理的變形使用。解析:(１在△ABC中,∠Ｃ=90°,a=６,c=1０，ｂ=（2在△ＡBC中,∠C=90°,a=40,b=９,ｃ=(3在△ABC中,∠C＝9０°，c＝25，b=15,a=舉一反三【變式】:如圖∠B＝∠ACD=90°,AD=13,CD=１2，BＣ=3,則AB的長是多少?【答案】∵∠ＡCD=90°AD＝１３,CＤ=１2∴AC2=ＡD2－CD2=132-122=25∴AC=5又∵∠ABC=9０°且BC=3∴由勾股定理可得AB2＝AC2-BC２＝5２-３2＝１6∴AＢ＝4∴AB的長是4.類型二:勾股定理的構造應用2、如圖,已知：在中,,,.求：BC的長.思緒點撥:由條件,想到構造含角的直角三角形,為此作于D,則有,，再由勾股定理計算出ＡＤ、ＤC的長，進而求出ＢC的長.解析:作于D,則因,∴(的兩個銳角互余∴(在中,假如一個銳角等于,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.CＢDA根據(jù)勾股定理，在中,.根據(jù)勾股定理,在中,.∴.舉一反三【變式１】如圖,已知:,，于Ｐ．求證:.解析:連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理,在中,.而在中,則根據(jù)勾股定理有.∴又∵(已知，∴．在中,根據(jù)勾股定理有，∴．【變式2】已知：如圖，∠Ｂ=∠D＝90°,∠A=60°,AB=4，CD=2。求:四邊形ABＣＤ的面積。分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵,可以連結(jié)AＣ,或延長AB、ＤC交于F,或延長AD、ＢＣ交于點Ｅ，根據(jù)本題給定的角應選后兩種,進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡樸。解析:延長AD、BＣ交于E?！摺希?∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°?！郃E=2ＡB＝8,CE＝２ＣD=4,∴BＥ２=AE2-ＡB2=82－４２＝48,ＢE==?！逥E2=CE2－CD2=４２－22=１２,∴DE==。∴S四邊形ＡＢCＤ=Ｓ△AＢE－S△CDE=AB2BE-CD2ＤE=類型三：勾股定理的實際應用(一用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示,在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā),沿北偏東60°方向走了到達B點,然后再沿北偏西30°方向走了5０0m到達目的地C點。（1求A、Ｃ兩點之間的距離。(２擬定目的地Ｃ在營地A的什么方向。解析:(１過B點作BE／/AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°＋∠CBA+∠ABE＝180°∴∠CＢA＝90°即△ＡＢC為直角三角形由已知可得:BC=5００m,AB=由勾股定理可得:所以(2在Rｔ△ＡＢC中，∵BC＝５00ｍ,AC=1000m∴∠ＣAB＝３0°∵∠DAB=60°∴∠DＡC＝30°即點Ｃ在點Ａ的北偏東3０°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨品的卡車,其外形高２.5米，寬1.６米,要開進廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過,只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CＨ．如圖所示,點D在離廠門中線０.８米處,且CD⊥AB,與地面交于H.解:OＣ=1米(大門寬度一半,ＯD=０.8米(卡車寬度一半在Rｔ△OＣＤ中,由勾股定理得:CD==＝0.6米，CH=０.6+２．3=2.9（米>2.5(米.因此高度上有0.４米的余量，所以卡車能通過廠門.(二用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造,某地有四個村莊A、B、C、Ｄ，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分.請你幫助計算一下,哪種架設方案最省電線.思緒點撥：解答本題的思緒是:最省電線就是線路長最短,通過運用勾股定理計算線路長,然后進行比較,得出結(jié)論.解析:設正方形的邊長為1,則圖(1、圖(2中的總線路長分別為ＡB+BＣ＋CD=３,AB+BＣ+CD＝3圖（3中,在Rt△ABC中同理∴圖（3中的路線長為圖(4中,延長ＥF交ＢＣ于H,則FH⊥BＣ,BH=CH由∠FBH=及勾股定理得:ＥA=ＥD=ＦB=FC=∴EF=１-２FH＝１-∴此圖中總線路的長為４EA＋EＦ＝3＞２．828>2.73２∴圖(4的連接線路最短，即圖(4的架設方案最省電線.舉一反三【變式】如圖,一圓柱體的底面周長為２0cｍ,高AB為４ｃm,BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點Ａ出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.解:如圖,在Rｔ△ABＣ中,ＢC=底面周長的一半＝10cm，根據(jù)勾股定理得(提問:勾股定理∴AC===≈1０.7７(cm(勾股定理.答:最短路程約為10.７７ｃm．類型四:運用勾股定理作長為的線段5、作長為、、的線段。思緒點撥:由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于,直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是,類似地可作。作法:如圖所示(1作直角邊為１(單位長的等腰直角△ACB，使ＡB為斜邊;(2以AB為一條直角邊,作另一直角邊為1的直角。斜邊為；(3順次這樣做下去,最后做到直角三角形,這樣斜邊、、、的長度就是、、、。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表達的點。解析:可以把看作是直角三角形的斜邊,，為了有助于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù),而1０又是９和1這兩個完全平方數(shù)的和，得此外兩邊分別是3和1。作法:如圖所示在數(shù)軸上找到Ａ點，使ＯA＝3,作ＡＣ⊥ＯA且截?。罜=1,以ＯC為半徑,以O為圓心做弧,弧與數(shù)軸的交點B即為。類型五:逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否對的1.原命題:貓有四只腳.(對的２.原命題:對頂角相等（對的3.原命題:線段垂直平分線上的點,到這條線段兩端距離相等．（對的4．原命題：角平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.（對的思緒點撥：掌握原命題與逆命題的關系。解析:1．逆命題:有四只腳的是貓（不對的2.逆命題：相等的角是對頂角(不對的３.逆命題:到線段兩端距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.?(對的4．逆命題:到角兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上．(對的總結(jié)升華:本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備。７、假如ΔAＢC的三邊分別為a、ｂ、c,且滿足a2+b2+c2+５０=6ａ+8ｂ+10ｃ，判斷ΔABＣ的形狀。思緒點撥:要判斷ΔABC的形狀,需要找到a、ｂ、c的關系,而題目中只有條件a2+b2+c２+50=6a+8ｂ+10ｃ,故只有從該條件入手,解決問題。解析:由ａ2+b2+ｃ2+50=6a＋８ｂ+10ｃ,得:a2-6a＋９＋b2－8b+16+ｃ2-10ｃ＋２５=０,∴(a－32+（b-4２＋（ｃ-５2=0?！?a-３２≥0,（b－4２≥0,(c-52≥0?！郺=３，b=4,ｃ＝5。∵32+42＝5２,∴a2+b２=ｃ2。由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華:勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關系來研究圖形的位置關系的,在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠Ｂ=9０°,AＢ＝3,BC＝４,CD=1２,AD=13，求四邊形ＡBCD的面積?！敬鸢浮?連結(jié)ＡC∵∠B=90°，AB=3,BC=4∴AC2＝ＡB２+BC２=2５(勾股定理∴AC=5∵AC2+ＣD２＝1６９,AＤ2=１6９∴AC2＋CＤ２=AD2∴∠AＣD=90°（勾股定理逆定理【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2-n2，２ｍn,m2+n２(ｍ,n為正整數(shù),且ｍ＞ｎ,判斷△AＢC是否為直角三角形．分析:本題是運用勾股定理的的逆定理,只要證明：a２+ｂ2＝c2即可證明:所以△ABＣ是直角三角形．【變式3】如圖正方形ABCD，Ｅ為BC中點,Ｆ為AＢ上一點,且BF=ＡＢ。請問ＦE與DE是否垂直?請說明?！敬鸢浮看?DＥ⊥ＥF。證明:設ＢF=a,則BE＝EＣ=2ａ,AF=3a,ＡB=４a,∴EＦ2=BF2+BE2=a２+4a2=5a2；ＤE2＝CE2+CD２=4a２+１6a２=２0a2。連接DF（如圖ＤＦ2＝ＡF2+AD2=9a2+16a2=2５ａ2?！郉Ｆ2=EF2+DE2,∴FE⊥DE。經(jīng)典例題精析類型一:勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是2０,求此直角三角形的面積。思緒點撥:在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度,求面積,可以先通過比值設未知數(shù),再根據(jù)勾股定理列出方程,求出未知數(shù)的值進而求面積。解析:設此直角三角形兩直角邊分別是3x,４x,根據(jù)題意得:(3x2＋(4ｘ2＝202化簡得x2＝16；∴直角三角形的面積＝33x34x＝6x2=96總結(jié)升華:直角三角形邊的有關計算中,經(jīng)常要設未知數(shù),然后用勾股定理列方程（組求解。舉一反三【變式１】等邊三角形的邊長為2,求它的面積。【答案】如圖,等邊△AＢＣ，作ＡD⊥BＣ于Ｄ則：BD＝BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合∵AB=AＣ=BC=2(等邊三角形各邊都相等∴BD=1在直角三角形ＡＢＤ中，ＡB２=AD２+BD2，即：AD２=AB2－BD2=4-1=3∴AD=S△ABC＝ＢC2ＡD＝注:等邊三角形面積公式:若等邊三角形邊長為a,則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長為12ｃm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O此直角三角形兩直角邊長分別是x,ｙ，根據(jù)題意得:由(1得:ｘ＋y=７,（x+y２=49,ｘ２+2ｘy+ｙ２=49(3（３-(2,得:xｙ=12∴直角三角形的面積是ｘy=312=6(cm2【變式３】若直角三角形的三邊長分別是n+1,n+2，n+3,求n。思緒點撥：一方面要擬定斜邊(最長的邊長n+3,然后運用勾股定理列方程求解。解:此直角三角形的斜邊長為n+3,由勾股定理可得:(ｎ+１2+（n+22=（n+32化簡得：ｎ2=4∴n＝±2，但當n=-2時,n＋１=-１<0，∴n＝2總結(jié)升華:注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方,在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下,一方面要先擬定斜邊,直角邊。【變式4】以下列各組數(shù)為邊長,能組成直角三角形的是(A、８，15,１7B、4，5,6C、5,８,１0D、８,３9,40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷,對數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+ｂ2的變形:b2=c2-a2=(c－a（c+a來判斷。例如：對于選擇D,∵８2≠(4０+３93（40-39,∴以８,３9，40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項?！敬鸢浮浚篈【變式5】四邊形ＡBCD中,∠B=９０°,AＢ=3,BC=4,CD＝１2,AD=１３,求四邊形ＡＢCD的面積。解:連結(jié)AC∵∠Ｂ＝90°，ＡB=3,BＣ＝4∴AC２=AＢ2+ＢＣ2=2５(勾股定理∴AC＝５∵AC２+CＤ2＝1６9,AＤ2=16９∴AC2+CD2=AD2∴∠ＡＣD＝9０°(勾股定理逆定理）∴S四邊形AＢＣD=S△ABＣ+S△ＡCD＝AB2ＢＣ+ＡC2CD=36類型二:勾股定理的應用２、如圖,公路MN和公路ＰQ在點Ｐ處交匯,且∠QPN=３0°,點A處有一所中學,AP=160ｍ。假設拖拉機行駛時,周邊100m以內(nèi)會受到噪音的影響,那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時,學校是否會受到噪聲影響?請說明理由,假如受影響，已知拖拉機的速度為18kｍ/h，那么學校受影響的時間為多少秒？思緒點撥:（１）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校Ａ,實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100ｍ，小于10０m則受影響，大于10０ｍ則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）規(guī)定出學校受影響的時間，實質(zhì)是規(guī)定拖拉機對學校Ａ的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結(jié)束影響學校。解析:作ＡＢ⊥MN,垂足為B。在ＲtΔＡBP中，∵∠ＡBP=90°，∠APＢ=30°，AP＝1６0,∴AB＝ＡP=80。(在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半）∵點A到直線MＮ的距離小于1０0m，∴這所中學會受到噪聲的影響。如圖,假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么ＡC=１00（m,由勾股定理得:BC２=1０02-８0２＝3６00,∴BC＝60。同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，ＡD=100（m,BＤ=６0(m,∴CD=1２0(m。拖拉機行駛的速度為：18km/h＝5m/ｓt＝１20ｍ÷5ｍ／s=24s。答：拖拉機在公路MN上沿ＰN方向行駛時，學校會受到噪聲影響,學校受影響的時間為24秒?？偨Y(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構造直角三角形以便運用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學校有一塊長方形花園,有很少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_＿_＿＿____＿步路（假設２步為1m）,卻踩傷了花草。解析：他們本來走的路為３+４＝7(m設走“捷徑”的路長為ｘm，則故少走的路長為7－5=2（m又由于2步為1m，所以他們僅僅少走了4步路。【答案】4【變式２】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(２)圖中的平行四邊形ABＣＤ具有多少個單位正三角形？平行四邊形ＡBCD的面積是多少?(3)求出圖中線段ＡC的長（可作輔助線）。【答案】(１）單位正三角形的高為，面積是。(2)如圖可直接得出平行四邊形ＡBCD具有２4個單位正三角形,因此其面積。(3)過A作ＡＫ⊥ＢC于點Ｋ(如圖所示