2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角所對的邊分別為，已知，．當變化時，若存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)3．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位4．已知函數(shù)，，則的極大值點為()A． B． C． D．5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A． B． C． D．6．設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，點.已知動點在雙曲線的右支上，且點不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸8．設(shè)點，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件9．已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，過點的動直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題：①在拋物線上滿足條件的點僅有一個；②若是拋物線準線上一動點，則的最小值為；③無論過點的直線在什么位置，總有；④若點在拋物線準線上的射影為，則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．12．一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是______.14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______，的最大值是______.15．已知四棱錐，底面四邊形為正方形，，四棱錐的體積為，在該四棱錐內(nèi)放置一球，則球體積的最大值為_________．16．已知公差大于零的等差數(shù)列中，、、依次成等比數(shù)列，則的值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.18．（12分）已知x∈R，設(shè)，，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最小值時x的取值范圍；（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.19．（12分）已知函數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.20．（12分）管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.21．（12分）已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)得到（）.點為斜邊上一點.點為線段上一點，且.（1）證明：平面；（2）當直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

因為，，所以根據(jù)正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因為存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正數(shù)的取值范圍為，故選C．2．D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到，故選D4．A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.5．D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.6．A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.7．B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應(yīng)用問題；2.圓臺的體積.8．C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

①：由拋物線的定義可知，從而可求的坐標；②：做關(guān)于準線的對稱點為，通過分析可知當三點共線時取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值；③：設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理，可知焦點坐標的關(guān)系，進而可求，從而可判斷出的關(guān)系；④：計算直線的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解：對于①，設(shè)，由拋物線的方程得，則，故，所以或，所以滿足條件的點有二個，故①不正確；對于②，不妨設(shè)，則關(guān)于準線的對稱點為，故，當且僅當三點共線時等號成立，故②正確；對于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設(shè)方程為：，設(shè)與拋物線的交點坐標為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補，所以，故③正確.對于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點在同一條直線上，故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.10．A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對應(yīng)點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由余弦定理，正弦定理得出，從而得出，推出的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍，再利用二倍角公式化簡，即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形，則，，.故答案為【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.14．【解析】

利用等差數(shù)列前項和公式，列出方程組，求出首項和公差的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式，可求出的表達式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，數(shù)列的通項公式為；（2），，令，則且，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，當或時，取得最大值為.故答案為：；.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．15．【解析】

由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設(shè)，由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知，設(shè)，用和表示四棱錐的體積，解得和的關(guān)系，進而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè)，，由球O內(nèi)切于四棱錐可知，，，則，球O的半徑，，，，當且僅當時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.16．【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項的性質(zhì)，化簡求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于、、依次成等比數(shù)列，則，即，，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及等比中項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.18．（1）；（2）【解析】

(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f（x）=，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】（1）.令，k∈Z，即時，，取最小值，所以，所求的取值集合是；（2）由，得，因為，所以，所以，.在中，由余弦定理，得，即，當且僅當時取等號，所以的面積，因此的面積的最大值為.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題.19．(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性．（Ⅱ）分析題意可得對任意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則有對任意，恒成立，然后通過求函數(shù)的最值可得所求．試題解析：（I）由題意得，，∴.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，令，解得；令，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）由題意知.，當時，函數(shù)單調(diào)遞增．不妨設(shè)，又函數(shù)單調(diào)遞減，所以原問題等價于：當時，對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立.記，由題意得在上單調(diào)遞減.所以對任意，恒成立.令，，則在上恒成立.故，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最大值為.由，解得.故實數(shù)的最小值為．20．（1）；（2）.【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，，所以，同理，.（2）設(shè)，則，令，則，即.設(shè)，且，則當時，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大