學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE65學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點十四：利用導數(shù)解決綜合問題【考綱要求】（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)。（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.（3）會利用導數(shù)解決某些實際問題。【命題規(guī)律】導數(shù)綜合問題是高考中的難點所在，題型變化較多，尤其是利用導數(shù)證明不等式等相關知識。熟練掌握利用導數(shù)這一工具，將試題進行分解，逐一突破,靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題，這也是2018年考試的熱點問題.【典型高考試題變式】（一）構(gòu)造函數(shù)在導數(shù)問題中的應用例1.【2015全國2卷（理）】設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A。B.C。D.【答案】A【解析】試題分析:考慮取特殊函數(shù),是奇函數(shù)，且，,當時，〉0，滿足題設條件.直接研究函數(shù),圖象如下圖，可知選B答案.【方法技巧歸納】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應用和導數(shù)在研究函數(shù)的極值中的應用,考查學生綜合知識能力，滲透著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,屬中檔題.其解題的方法運用的是特值法，將抽象問題具體化，找出與已知條件符合的特殊函數(shù),分析其函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，進而得出所求的結(jié)果，其解題的關鍵是特值函數(shù)的正確選取.【變式1】【改編例題條件,利用導數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)求最值】【2017河南鄭州三質(zhì)檢】設函數(shù)滿足，，則時，的最小值為（）A.B。C。D.【答案】D【解析】對于等式,因為，故此等式可化為：，且。令，.。當時，，單調(diào)遞增，故，因此當時,恒成立。因為，所以恒成立。因此，在上單調(diào)遞增，的最小值為.故本題正確答案為D?！咀兪?】【改編例題條件，利用導數(shù)運算法則構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【2017河南息縣第一高級中學三質(zhì)檢】已知函數(shù)的定義域為，其圖象關于點中心對稱，其導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（)A。B.C.D.【答案】C【解析】由題意設，則,當時，，當時，，則在上遞增,函數(shù)的定義域為,其圖象關于點中心對稱，函數(shù)的圖象關于點中心對稱,則函數(shù)是奇函數(shù)，令是上的偶函數(shù)，且在遞增,由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)在上遞減，不等式化為：，即，解得，不等式解集是，故選C?！咀兪?】【改編例題條件，利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【2017江西省鷹潭市高三第一次模擬考試數(shù)學（理）】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A。B。C。D.【答案】D【變式4】【改編例題條件，構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考(文）】已知對任意實數(shù)，關于的不等式在上恒成立，則的最大整數(shù)值為(）A。0B.C。D.【答案】B【解析】令，依題意,對任意，當時，圖象在直線下方,∴列表得的大致圖象則當時,∵,∴當時不成立；當時，設與相切于點.則，解得?！?故成立,∴當時，。故選B。（二）方程解（函數(shù)零點）的個數(shù)問題例2?！?015全國1卷（理）】已知函數(shù)，．（1)當為何值時，軸為曲線的切線;（2）用表示中的最小值,設函數(shù)，討論零點的個數(shù)．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)當或時，由一個零點；當或時,有兩個零點；當時,有三個零點.【解析】試題分析：(Ⅰ)先利用導數(shù)的幾何意義列出關于切點的方程組，解出切點坐標與對應的值;（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點個數(shù),若零點不容易求解，則對再分類討論.試題解析:(Ⅰ)設曲線與軸相切于點，則，，即，解得。因此，當時，軸是曲線的切線。（Ⅱ）當時，，從而,∴在（1，+∞）無零點.當=1時，若，則，，故=1是的零點;若，則,,故=1不是的零點。當時,，所以只需考慮在(0,1）的零點個數(shù)。（ⅰ)若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當時，在(0，1)有一個零點；當0時，在(0，1)無零點。（ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1)單調(diào)遞增，故當=時,取的最小值，最小值為=.①若＞0，即＜＜0，在（0，1）無零點.②若=0,即，則在（0，1）有唯一零點;③若＜0，即，由于，，所以當時，在(0，1）有兩個零點；當時,在（0,1)有一個零點?！?0分綜上，當或時,由一個零點；當或時,有兩個零點；當時，有三個零點.【方法技巧歸納】1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜,可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.2。方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題,可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理。3.與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題,往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系,進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．【變式1】【改編例題的條件，依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值】【2015江蘇卷】已知函數(shù)。（1）試討論的單調(diào)性；（2）若（實數(shù)c是a與無關的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值。【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時,在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）【解析】試題分析（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點大小討論函數(shù)單調(diào)性，注意需分三種情況討論，不要忽略相等的情況（2）首先轉(zhuǎn)化條件:函數(shù)有三個不同的零點，就是零在極大值與極小值之間，然后研究不等式以及解集情況，令，則當時且當時，因此確定，然后再利用函數(shù)因式分解驗證滿足題意(2）由(1)知,函數(shù)的兩個極值為，，則函數(shù)有三個零點等價于，從而或．又,所以當時,或當時，．設,因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此．此時，，因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根，所以,且，解得．綜上．【變式2】【改編例題的條件，依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)證明不等式】【2015天津卷（理）】已知函數(shù),其中.(Ⅰ）討論的單調(diào)性；(Ⅱ）設曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（Ⅲ）若關于的方程有兩個正實根，求證：【答案】（Ⅰ）當為奇數(shù)時，在,上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ)見解析；(Ⅲ）見解析?！窘馕觥浚á瘢┯?，可得，其中且，下面分兩種情況討論:(1)當為奇數(shù)時：令,解得或，當變化時，的變化情況如下表:所以，在，上單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增。（Ⅱ）證明：設點的坐標為,則，，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減,又因為，所以當時，，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有，即對任意的正實數(shù)，都有。（Ⅲ)證明:不妨設,由（Ⅱ）知，設方程的根為，可得,當時，在上單調(diào)遞減，又由（Ⅱ）知可得.類似的，設曲線在原點處的切線方程為,可得，當，，即對任意，設方程的根為,可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此。由此可得。因為,所以，故,所以?！咀兪?】【改編例題的條件和結(jié)論，函數(shù)零點與充要條件綜合】【2016北京卷（文)】設函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）設，若函數(shù)有三個不同零點,求c的取值范圍;（Ⅲ）求證:是有三個不同零點的必要而不充分條件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.【解析】試題分析:（Ⅰ)求函數(shù)f（x)的導數(shù)，根據(jù)，求切線方程；（Ⅱ）根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù)f（x)的單調(diào)性，由函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍;(Ⅲ)從兩方面必要性和不充分性證明,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點個數(shù).試題解析:（Ⅰ）由，得．因為,,所以曲線在點處的切線方程為．（Ⅱ）當時，，所以．令，得,解得或．與在區(qū)間上的情況如下:所以，當且時，存在，，，使得．由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點．綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有．故是有三個不同零點的必要條件．當,時，，只有兩個不同零點，所以不是有三個不同零點的充分條件．因此是有三個不同零點的必要而不充分條件．（三)函數(shù)中的隱零點問題例3?！?017全國1卷(理）】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點,求的取值范圍?！窘馕觥?1）由于，故。當時，，．從而恒成立．在上單調(diào)遞減。當時,令，從而,得．極小值綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。（2)由（1）知，當時,在上單調(diào)減，故在上至多一個零點,不滿足條件．當時，．令．令，則．從而在上單調(diào)增，而．當時，．當時．當時若,則，故恒成立,從而無零點，不滿足條件．若，則,故僅有一個實根,不滿足條件．若，則，注意到．．故在上有一個實根，而又．且．故在上有一個實根．又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個實根．又在及上均至少有一個實數(shù)根,故在上恰有兩個實根．綜上，．【方法技巧歸納】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.【變式1】【改編例題的條件,根據(jù)零點個數(shù)不同，確定參數(shù)取值范圍】【2018山西孝義高三入學摸底考試】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;（2）已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?)見解析(2）試題解析：解:(1）由題得，所以.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時,，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。綜上所述,當時,在上單調(diào)遞增;當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，所以在上單調(diào)遞減.(2），，設為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由，可知在區(qū)間上不單調(diào),則在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理，在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點。由(1）知，當時,在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意.當時,在上單調(diào)遞減,故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意，所以，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因此，，,必有,。由，得，。又，，解得。極值點偏移問題例4?！?016全國1卷(理）】已知函數(shù)有兩個零點。(Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設x1，x2是的兩個零點，證明:?！敬鸢浮?Ⅰ)；（Ⅱ）見解析【解析】試題分析:（Ⅰ）求導，根據(jù)導函數(shù)的符號來確定（主要要根據(jù)導函數(shù)零點來分類)；（Ⅱ)借助（Ⅰ）的結(jié)論來證明，由單調(diào)性可知等價于，即．設,則．則當時，，而，故當時,．從而,故．試題解析：（Ⅰ）．（Ⅲ)設，由得或．若,則，故當時，，因此在單調(diào)遞增．又當時，所以不存在兩個零點．若,則,故當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當時，,所以不存在兩個零點．綜上,的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設，由(Ⅰ）知,,在單調(diào)遞減,所以等價于，即．由于,而，所以．設，則．所以當時，，而，故當時，．從而，故．【方法技巧歸納】對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡.解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.【變式1】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明參數(shù)的大小】【2018廣東深圳高三入學摸底考試（文）】已知函數(shù).（1)求函數(shù)的極小值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求證：?！敬鸢浮浚?)極小值為（2）見解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)。再根據(jù)導函數(shù)是否變號進行分類討論：當時，導函數(shù)不變號，無極小值；當時，導函數(shù)先負后正,有一個極小值（2）先用分析法轉(zhuǎn)化要證不等式:因為。令，所以只要證，即證,利用導數(shù)易得為增函數(shù)，即得所以原命題成立。試題解析：解：（1)。當時，在上為增函數(shù)，函數(shù)無極小值；當時，令，解得.若,則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.故函數(shù)的極小值為.（2）證明：由題可知。要證，即證，不妨設，只需證，令,即證，要證，只需證，令,只需證，∵，∴在內(nèi)為增函數(shù),故，∴成立。所以原命題成立。【變式2】【改編例題的條件,由極值點偏移思想證明不等式】【2018廣東珠海高三9月摸底考試（理）】函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求證：【答案】(1）時，在上單減，在上單增；時，在上單減，在和上單增;時，在上單增；(2)見解析.【解析】試題分析：（1)，分類討論,研究的符號情況，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設函數(shù)有兩個極值點，且，、是的二根，若證成立，只需證對恒成立.設，研究其最值即可.試題解析：解：的定義域是，(1)由題設知，令，這是開口向上,以為對稱軸的拋物線．在時,當,即時，，即在上恒成立．2）當時，即,即時時，，即或時，，即綜上：時,在上單減，在上單增;時，在上單減,在和上單增；時，在上單增．（2）若函數(shù)有兩個極值點，且則必是,則,則，且在上單減，在和上單增，則、是的二根，即，若證成立，只需證即證對恒成立設當時，,，故,故在上單增故對恒成立【變式3】【改編例題的條件，由極值點偏移思想證明不等式（乘積型）】【2018安徽六安市壽縣第一中學第一次月考】已知函數(shù)．(Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有兩個相異實根,，且，證明：?！敬鸢浮浚á?在(0,1)遞增，在（1，+遞減(Ⅱ在此處鍵入公式。）見解析【解析】試題分析：（1）求出，可得函數(shù)得的增區(qū)間，得可得函數(shù)得的減區(qū)間；（2）由（1）可設的兩個相異實根分別為滿足，只需證明.即可.試題解析：(1）的定義域為當時所以在遞增當時所以在遞減（2）由(1)可設的兩個相異實根分別為，滿足且，由題意可知又有(1）可知在遞減故所以，令令,則．當時，，是減函數(shù),所以．所以當時，，即因為，在上單調(diào)遞增，所以，故．綜上所述:一元函數(shù)不等式的證明例4?！?016山東（理）】已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明對于任意的成立?！窘馕觥浚?)的定義域為，。當時，時，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當時，.（ii)若，則，在內(nèi)，,單調(diào)遞增；（iii)若，則，當或時,，單調(diào)遞增；當時，,單調(diào)遞減.綜上所述，當時,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;當時，在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.（2)由（1）知，時,，，令,。則,由可得，當且僅當時取得等號.又，設，則在單調(diào)遞減，因為，所以在上存在使得時,時，,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于,因此當時,，當且僅當時取得等號,所以，即對于任意的恒成立.【方法技巧歸納】本題主要考查導數(shù)的計算、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題。解答本題，準確求導數(shù)是基礎，恰當分類討論是關鍵,易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯誤百出。本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.【變式1】【改編例題的條件，證明不等式】【2018廣東省廣州市海珠區(qū)高三測試一(理)】已知函數(shù)。（1)若函數(shù)有零點,求實數(shù)的取值范圍；(2）證明:當時,?！敬鸢浮?1);（2)見解析?！窘馕觥吭囶}分析:（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論兩種情況,分別研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，結(jié)合函數(shù)的圖象和零點定理即可求出的取值范圍；（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論求出函數(shù)的最值，即可證明.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為。由,得.①當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,所以函數(shù)在定義域上有個零點。②當時,則時，時，。所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當.當，即時，又，所以函數(shù)在定義域上有個零點.綜上所述實數(shù)的取值范圍為。(2）要證明當時，，即證明當時，,即,令，則，當時，；當時,.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。當時，.于是,當時，。①令，則。當時,；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當時,.于是，當時，.②顯然，不等式①、②中的等號不能同時成立。故當時，)?！咀兪?】【改編例題的條件，證明不等式（不等式右側(cè)是常數(shù)）】【2017吉林省松原市實驗高級中學等三校聯(lián)考（文）】設函數(shù)，（1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2）當,時，求證：?！敬鸢浮浚?）增區(qū)間為：，。減區(qū)間為，。(2)見解析。試題解析:(1)函數(shù)的定義域為,當時，,令：，得：或，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為:，.,得：，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，。(2）若證，成立,只需證:，即：當時成立.設.∴，顯然在內(nèi)是增函數(shù)，且，，∴在內(nèi)有唯一零點，使得：，且當,;當，.∴在遞減，在遞增.,∵，∴.∴，∴成立?！咀兪?】【改編例題的條件，證明參數(shù)不等式】【2017黑龍江省哈爾濱市第九中學高三二模（文）】已知,函數(shù)，．(的圖象連續(xù)不斷）(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時,證明：存在，使；(3）若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：．【答案】答案見解析【解析】試題分析：（1）求的單調(diào)區(qū)間，由于函數(shù)含有對數(shù)函數(shù),因此求的單調(diào)區(qū)間,可用導數(shù)法,因此對函數(shù)求導得，，令，解得，列表確定單調(diào)區(qū)間；(2）當時，證明：存在，使，可轉(zhuǎn)化為在上有解,可令，有根的存在性定理可知，只要在找到兩個，是得即可,故本題把代入得，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減,，故,取,則，即可證出；（3）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故,且在上的最小值為,而，，只有，由單調(diào)性可知，，從而可證得結(jié)論.試題解析:(1）（1分)令，解得（2分)當變化時，的變化情況如下表：

＋

0

－

遞增

極大值

遞減

所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（5分）（2）證明：當時，,由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減．令．(6分）由于在內(nèi)單調(diào)遞增,故，即（7分)取，則.所以存在，使，即存在，使．(9分）（說明:的取法不唯一,只要滿足，且即可．)(3）證明:由及（1）的結(jié)論知，從而在上的最小值為，（10分）又由，，知（11分）故即（13分）從而（14分)(六)多元函數(shù)不等式的證明例6【2017天津卷(理）】設，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點,為的導函數(shù).（Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設,函數(shù)，求證：；（Ⅲ)求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且滿足?！敬鸢浮?Ⅰ）增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是。（Ⅱ）見解析;（III)見解析。試題解析：（Ⅰ）解:由，可得，進而可得。令，解得,或。當x變化時，的變化情況如下表：x+-+↗↘↗所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是,，單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅱ）證明：由，得,.令函數(shù)，則。由（Ⅰ）知,當時，，故當時,，單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增.因此，當時，，可得.令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，故當時，,單調(diào)遞增；當時,，單調(diào)遞減.因此，當時，，可得.所以，。（III）證明：對于任意的正整數(shù)，，且，令，函數(shù).由（II）知，當時,在區(qū)間內(nèi)有零點；當時，在區(qū)間內(nèi)有零點。所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設為，則.由（I）知在上單調(diào)遞增，故,于是.因為當時，，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故.又因為，,均為整數(shù)，所以是正整數(shù),從而。所以.所以,只要取，就有?！痉椒记蓺w納】判斷的單調(diào)性，只需對函數(shù)求導,根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關函數(shù)的零點問題,先利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對極值點作出相應的要求，可控制零點的個數(shù)?！咀兪?】【改編例題的條件，雙元不等式的證明】【2018江蘇省南京市溧水高級中學開學考試】已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（3)設為正實數(shù)，且，求證:．【答案】(1)；（2）;(3）證明見解析?！窘馕觥吭囶}分析:(1）求出導數(shù)，由題意可得代入可得，可得切線的斜率和切點，進而得到切線的方程；(2)由函數(shù)在上為增函數(shù)，可得恒成立，既有，當時,，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到范圍；（3）運用分析法證明，要證，只需證，即證，設，求出導數(shù)判斷單調(diào)性，運用單調(diào)遞增,即可得證。試題解析：（1)由題意知，代入得，經(jīng)檢驗，符合題意.從而切線斜率，切點為,切線方程為（3）要證，只需證,即證只需證設，由（2）知在上是單調(diào)函數(shù)，又，所以,即成立，所以。【變式2】【改編例題的條件，雙元不等式的證明（乘積形式）】【2017江西師范大學附屬中學（文）】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）。(1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，當時,求函數(shù)的最大值;(3)若且,求證：.【答案】(1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。（2)（3）見解析【解析】試題分析：（1）求出，得增區(qū)間，得減區(qū)間；(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的最大值；（3）化簡已知得,即，然后利用分析法證明原不等式.試題解析:（1）的定義域為,且，令，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。（2）,，當時,,，當時,，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減..(3）,即.由（1）知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,則要證,即證,即證,即證,即證,由于，即證.令恒成立在遞增，在恒成立,原不等式成立?！咀兪?】【改編例題的條件,證明長串不等式】【2017江西省新余市第一中學模擬（理）】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2）若任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;（3）設，,證明：．【答案】(1）（2）（3）見解析【解析】試題分析:（1）本問考查導數(shù)的幾何意義，，，于是可得切線方程為；（2)本問考查利用導數(shù)研究恒成立問題，不等式恒成立,設函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，對函數(shù)求導，，再令，對求導,,通過對分區(qū)間討論，使得恒成立，從而得到的取值范圍；（3）首先通過微積分定理求出，則，由(2)知，當時，，即，構(gòu)造函數(shù)，通過證明該函數(shù)的單調(diào)性，易得出在上恒成立,令，于是通過不等式的放縮，可以得到待證明的結(jié)論.②當即時，遞減,∴，∴，∴遞減∴（符合題意）③當，即時，由，∴在上，,使且時，,∴遞增，∴（不符合題意）綜上:。（3）∴,由（2）知，當時,，∴，又令，,∴遞減即在上恒成立，令∴原不等式∴左式右式∴得證.【數(shù)學思想】分類討論思想1。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想,同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用,因此，有關分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位。

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點,將對象區(qū)分為不同種類,然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決,這一思想方法,我們稱之為“分類討論的思想”．2.分類討論思想的常見類型

⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的；

⑵問題中的條件是分類給出的；

⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述,必須分類討論的;

⑷涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.【處理證明不等式問題注意點】解答此類問題，構(gòu)造合理的函數(shù)非常重要，要對具體的條件加以剖析。【典例試題演練】1．【2018黑龍江省大慶實驗中學開學考試（理）】設函數(shù)在上存在導數(shù),，有,在上，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C。D?！敬鸢浮緽【解析】令,則，所以為上單調(diào)遞減奇函數(shù),，選B。2.【2017陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學第八次模擬考試數(shù)學（理）】已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)共有（）A.0個B。1個C.2個D。3個【答案】C【解析】由，可得,或者，由，化為,設,，在上遞增,,,在上有一個根,滿足的值有兩個,若，，設，，設極值點為,則，,，不妨設而函數(shù)在上遞增，在上遞減，極小值為無實根，綜上所述，滿足的實數(shù)共有根.3.【2017湖南省長沙市長郡中學臨考沖刺訓練理】已知函數(shù)，若對，使得方程有解，則實數(shù)的取值范圍是(）A。B.C.D?！敬鸢浮緽【解析】,，所以，因此，選B.4?！?017山西省晉中市3月高考適應性調(diào)研考試理】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，是的導函數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍是（）A。B.C.D?！敬鸢浮緼【解析】，，，因為在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，所以在上有解，即，由零點存在定理可得，即，也即，解得且，令則,當時，當時，因此，所以的取值范圍是,因此選A.5.【2017湖南省衡陽市高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學(文）】設定義域為的單調(diào)函數(shù)，對任意，都有，若是方程的一個解,且,則實數(shù)__________．【答案】1【解析】根據(jù)題意，對任意，都有，又是定義為的單調(diào)函數(shù)，則為定值，設t=，則=,又，所以=，=，又是方程的一個解，所以是函數(shù)的零點，分析易得,，所以零點在（1，2）之間，所以6.【2017江蘇省泰興中學高三12月階段性檢測】已知函數(shù)，且對任意的恒成立,則實數(shù)的最大值為______.【答案】17.【2017福建省泉州市高三高考考前適應性模擬（一）】關于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由得，可得在上遞增，在上遞減，,，即,故答案為。8.【2018黑龍江省大慶市大慶實驗中學入學考試（文）】已知函數(shù)其中當時，求曲線在點處的切線方程；討論函數(shù)的單調(diào)性；若函數(shù)有兩個極值點且求證：【答案】（1）（2）見解析（3)見解析【解析】試題分析：（1),代入，求及，由點斜式寫出切線方程。(2），由于，所以分，討論=0的情況，求得單調(diào)區(qū)間。（2）由（1）可知,,又,所以。同時不妨設。要證，只需證,下對g(x）求導，可證。試題解析：當時,,，，所以切點為(1,0),斜率k=1，由點斜率式得：①當即時，的單調(diào)遞增區(qū)間是。②當時，即時，令得的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是證明：在單調(diào)遞增，且,不等式右側(cè)證畢有兩個極值點，.令在單調(diào)遞增。不等式左側(cè)證畢.綜上可知:9.【2018安徽省合肥市高三調(diào)研性檢測數(shù)學理】已知函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）求證：?！敬鸢浮浚á瘢┰诤蜕隙际窃龊瘮?shù)（Ⅱ）證明見解析【解析】試題分析：（1）先對題設條件中函數(shù)解析式進行求導,再構(gòu)造函數(shù)對所求得的導函數(shù)的值的符號進行判定；（2）先構(gòu)造函數(shù)，再對其求導得到,求出導函數(shù)的零點，得到最小值為0，從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性，分、、三種情形進行分析推證,使得不等式獲證。試題解析:(Ⅰ）由已知的定義域為,，設，則，得,∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)，∴∴在和上都是增函數(shù).(Ⅱ)設，則，得,∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴，即。①當時，，∵在上是增函數(shù)，∴,即，∴。②當時,，∵在上是增函數(shù)，∴，即，∴。③當時,由①②③可知，對一切,有,即。10.【2018云南師范大學附屬中學】設函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍；（2）求證：當時，【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）求出，討論兩種情況:，，分別令得增區(qū)間,令是其子集即可得結(jié)果；（2）由(1）知，當時，在上單調(diào)遞增，由可得，化簡即可得結(jié)果.試題解析：（1）解：，當時，在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增成立，當時,由，解得，易知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,由題意有，,解得．綜上所述，．(2）證明：由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，對任意,有成立，所以,代入有，整理得：。11.【2017西藏自治區(qū)拉薩中學高三第八次月考數(shù)學（理）】已知函數(shù).(1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，若，證明：當時，的圖象恒在的圖象上方；（3）證明：.【答案】（1)單調(diào)增區(qū)間為及,減區(qū)間為；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題分析：(1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）時,，，設，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)