PAGE考點(diǎn)05一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、一元二次方程的解法1．直接開(kāi)平方法適合于或形式的方程．2．配方法（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程．3．公式法（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成的形式，可得或．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系1．根的判別式一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來(lái)確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．根與系數(shù)關(guān)系對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．四、利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問(wèn)題是?？純?nèi)容．1．增長(zhǎng)率等量關(guān)系（1）增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來(lái)量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．2．利潤(rùn)等量關(guān)系（1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本．（2）利潤(rùn)率=×100％．3．面積問(wèn)題（1）類型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．圖1圖2圖3考向一一元二次方程的概念一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．典例1【江西省贛州市蓉江新區(qū)潭東中學(xué)2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為A．，， B．，，

C．，， D．，，【答案】D【解析】可變形為：，∴二次項(xiàng)系數(shù)為：2，一次項(xiàng)系數(shù)為：，常數(shù)項(xiàng)為：，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟記定義.1．下列方程中，是關(guān)于的一元二次方程的是A．（是實(shí)數(shù)） B．C． D．考向二解一元二次方程一元二次方程的常見(jiàn)解法及適用情形：一般形式：直接開(kāi)平方法形如的方程，可直接開(kāi)方求解，則，因式分解法可化為的方程，用因式分解法求解，則，配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開(kāi)方求解公式法利用求根公式：典例2若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為_(kāi)______________．【答案】或

【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，所以，即，整理得，解得，．故的值是或．典例3用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即．故選B．2．一元二次方程的解是_______________．3．方程的根是_______________．考向三一元二次方程根的判別式對(duì)于方程，，①若，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③若，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．典例4【四川省成都市部分學(xué)校2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】一元二次方程的根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】對(duì)于方程，因?yàn)閍=1，b=－7，c=－1，所以Δ=（–7）2–4×1×（–1）=53>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，屬于基本題型，熟練掌握一元二次方程根的判別式與方程根的個(gè)數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵.典例5有兩個(gè)一元二次方程：①，②，其中，以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是A．如果方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程②也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程①和方程②有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)根必定是C．如果4是方程①的一個(gè)根，那么是方程②的一個(gè)根D．方程①的兩個(gè)根的符號(hào)相異，方程②的兩個(gè)根的符號(hào)也相異【答案】B

【解析】選項(xiàng)A，，，，所以A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)閷⒎謩e代入方程，值相等，結(jié)合，可知B不正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，，即，故C正確；選項(xiàng)D，由根與系數(shù)關(guān)系可知D正確．故選B．4．下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是A． B．C． D．5．【安徽省蕪湖市部分學(xué)校2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k=0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根是正數(shù)，求k的取值范圍．考向四根與系數(shù)關(guān)系設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，則，．典例6若是方程的一個(gè)根，則的值為A． B．C． D．【答案】A【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得另一個(gè)根為，所以.故選A．典例7如果，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，那么_______________．【答案】

【解析】由根與系數(shù)關(guān)系，可得，，則．6．若方程的兩根是，，則的值為_(kāi)______________．7．關(guān)于的方程的兩個(gè)根是和，則的值為A． B．C． D．考向五一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實(shí)際問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問(wèn)題．典例8【山東省濱州市博興縣2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】某地區(qū)2018年投入教育經(jīng)費(fèi)萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2020年投入萬(wàn)元，設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)百分率為，由題意可列方程為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意得，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題的方程形式是關(guān)鍵.典例9經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)，某藥品銷售單價(jià)由原來(lái)的50元降到32元，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意可列方程是_______________．【答案】【解析】由題意可得．8．某商店今年1月份的銷售額是2萬(wàn)元，3月份的銷售額是4.5萬(wàn)元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率是A．20% B．25% C．50% D．62.5%9．【湖北省孝感市云夢(mèng)縣2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】如圖是一張長(zhǎng)12dm，寬6dm的長(zhǎng)方形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的邊長(zhǎng)為xdm的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒．（1）無(wú)蓋方盒盒底的長(zhǎng)為_(kāi)_________dm，寬為_(kāi)_________dm（用含x的式子表示）．（2）若要制作一個(gè)底面積是40dm2的一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，求剪去的正方形邊長(zhǎng)x．1．關(guān)于的一元二次方程（a2–1）2–3x+a2+3a–4=0的一個(gè)根為0，則的值是A． B．

C．4或 D．或2．方程2=的根是A．1 B．±1

C．0和1 D．03．已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1

C．k≥2 D．k≤﹣24．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24=0，下列變形結(jié)果，正確的是A．（x﹣4）2=8 B．（x﹣4）2=40

C．（x﹣8）2=8 D．（x﹣8）2=405．同學(xué)聚會(huì)，每?jī)扇硕嘉帐忠淮危参帐?5次，設(shè)x人參加聚會(huì)，列方程為A．x（x–1）=45 B．x（x–1）=

C．x（x–1）=45 D．x（x+1）=456．制造某種產(chǎn)品成本100元，計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年成本降低為64元，則平均每年降低A．18% B．20%

C．36% D．以上答案均錯(cuò)7．一個(gè)大正方形內(nèi)放入兩個(gè)同樣大小的小正方形紙片，按如圖1放置，兩個(gè)小正方形紙片的重疊部分面積為4；按如圖2放置（其中一小張正方形居大正方形的正中），大正方形中沒(méi)有被小正方形覆蓋的部分（陰影部分）的面積為44，則把兩張小正方形按如圖3放置時(shí)，兩個(gè)小正方形重疊部分的面積為A．11 B．12

C．20 D．248．已知是方程x2+x﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是A．2023 B．2021

C．2020 D．20199．若關(guān)于x的方程的三個(gè)根恰好可以成為某直角三角形的三邊長(zhǎng)，則m的值為A．24 B．15

C．15或24 D．無(wú)解10．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B．C． D．11．已知為常數(shù)，點(diǎn)在第二象限，則關(guān)于的方程根的情況是A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷12．關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則的值為A． B．C． D．或13．如果是方程的一個(gè)根，則此方程的另一根為A． B．C． D．14．設(shè)，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是A． B．C． D．15．若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，則A． B．C． D．16．已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值為A． B．C． D．17．2018年某市人民政府投入1000萬(wàn)元用于改造鄉(xiāng)村小學(xué)班班通工程建設(shè)，計(jì)劃到2020年再追加投資210萬(wàn)元，如果每年的平均增長(zhǎng)率相同，那么該市這兩年該項(xiàng)投入的平均增長(zhǎng)率為A．10% B．8%C．1.21% D．12.1%18．已知一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒(méi)有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)根是019．用配方法解方程x2+6x﹣5=0時(shí)，應(yīng)該變形為_(kāi)______________．20．【江蘇省常州市常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a=_________．21．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是_______________．22．在一次聚會(huì)中，參加聚會(huì)的人每?jī)晌欢枷嗷ノ找淮问?，一共握?8次，設(shè)參加聚會(huì)有人，則可列方程_______________．23．若x=﹣1是方程x2+px+q=0的解，則p﹣q的值是_____．24．方程的兩根為，，則=______．25．設(shè)，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則_______________．26．解下列方程：（1）；（2）；（3）．27．關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范圍．28．已知，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求的取值范圍；（2）如果為非負(fù)整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求的值.29．根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．（1）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．①方程的解為_(kāi)_______________________；②方程的解為_(kāi)_______________________；③方程的解為_(kāi)_______________________；……（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程的解為_(kāi)_______________________；②關(guān)于的方程________________________的解為，．（3）請(qǐng)用配方法解方程，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．30．如圖，要在長(zhǎng)、寬分別為50米、40米的矩形草坪內(nèi)建一個(gè)正方形的觀賞亭．為方便行人，分別從東、南、西、北四個(gè)方向修四條寬度相同的矩形小路與亭子相連，若小路的寬是正方形觀賞亭邊長(zhǎng)的，小路與觀賞亭的面積之和占草坪面積的，求小路的寬．31．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說(shuō)明理由．32．【江西省贛州市蓉江新區(qū)潭東中學(xué)2019–2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】贛州蓉江新區(qū)某汽車銷售公司去年12月份銷售新上市一種新型低能耗汽車200輛，由于該型汽車優(yōu)越的經(jīng)濟(jì)適用性，銷量快速上升，今年2月份該公司銷售該型汽車達(dá)到450輛，并且去年12月到今年1月和今年1月到2月兩次的增長(zhǎng)率相同．（1）求該公司銷售該型汽車每次的增長(zhǎng)率；（2）若該型汽車每輛的盈利為5萬(wàn)元，則平均每天可售8輛，為了盡量減少庫(kù)存，汽車銷售公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每輛汽車每降5000元，公司平均每天可多售出2輛，若汽車銷售公司每天要獲利48萬(wàn)元，每輛車需降價(jià)多少？1．（2019?河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根2．（2019?黑龍江）某校“研學(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是A．4 B．5 C．6 D．73．（2019?廣西）揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為A．（30–x）（20–x）=×20×30 B．（30–2x）（20–x）=×20×30 C．30x+2×20x=×20×30 D．（30–2x）（20–x）=×20×304．（2019?河北）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）時(shí)，只抄對(duì)了a=1，b=4，解出其中一個(gè)根是x=–1．他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2，則原方程的根的情況是A．不存在實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)根是x=–1 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根5．（2019?新疆）若關(guān)于x的一元二次方程（k–1）x2+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是A．k≤ B．k＞ C．k<且k≠1 D．k≤且k≠16．（2019?新疆）在某籃球邀請(qǐng)賽中，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽36場(chǎng)．設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為A．x（x–1）=36 B．x（x+1）=36 C．x（x–1）=36 D．x（x+1）=367．（2019?廣東）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．x1≠x2 B．x12–2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1?x2=28．（2019?江西）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2–x–1=0的兩根，則x1+x2+x1x2=__________．9．（2019?山西）如圖，在一塊長(zhǎng)12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77m2，設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)_________．10．（2019?安徽）解方程：（x–1）2=4．11．（2019?呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x–6）=16的實(shí)數(shù)根．12．（2019?北京）關(guān)于x的方程x2–2x+2m–1=0有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．13．（2019?廣州）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬(wàn)座，計(jì)劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬(wàn)座．（1）計(jì)劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬(wàn)座？（2）按照計(jì)劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率．變式拓展變式拓展1．【答案】D【解析】A、錯(cuò)誤，當(dāng)a=0時(shí)，是一元一次方程；B、兩邊去括號(hào)后會(huì)抵消變成一元一次方程；C、錯(cuò)誤，是分式方程；D、正確，符合一元二次方程的定義．故選D．【名師點(diǎn)睛】一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．2．【答案】，【解析】方法一：方程中，則，所以，．方法二：方程可化為，則或，解得，．3．【答案】，【解析】，即，即，即或，解得，．4．【答案】B【解析】A、，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；B、，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；C、，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D、，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式的定理是關(guān)鍵.5．【解析】（1）依題意，得Δ＝（k+1）2–4k＝（k–1）2，∵（k–1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）由求根公式，得x1＝–1，x2＝–k，∵方程有一個(gè)根是正數(shù)，∴–k>0，∴k<0．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．【答案】5【解析】根據(jù)題意得，，所以．7．【答案】C【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩個(gè)根是和，所以，，所以，，所以．故選C．8．【答案】C【解析】設(shè)該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為，則二月份銷售額為萬(wàn)元，三月份銷售額為萬(wàn)元，由題意可得，解得，（舍去），故該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為50%.故選C．9．【答案】（1）（12–2x）；（6–2x）；（2）剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1dm．【解析】（1）無(wú)蓋方盒盒底的長(zhǎng)為（12–2x）dm，寬為（6–2x）．故答案為：（12–2x）；（6–2x）．（2）依題意得：（12–2x）（6–2x）＝40，整理得：x2–9x+8＝0，解得x1＝1，x2＝8（應(yīng)小于紙板的寬，故舍去）．答：剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1dm．【名師點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列代數(shù)式及方程，根據(jù)前后圖形的關(guān)系用第一個(gè)圖形的數(shù)據(jù)表示第二個(gè)圖形的長(zhǎng)度是解決此題的關(guān)鍵.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】A【解析】根據(jù)題意知，是關(guān)于x的一元二次方程的根，∴，解得或，又∵，∴，∴；故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，和一元二次方程的根，以及一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法.2．【答案】C【解析】平方根是本身的數(shù)只有0和1，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接開(kāi)平方法、公式法、因式分解法.3．【答案】B【解析】根據(jù)題意得k+1≠0且△=22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2–4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．4．【答案】D【解析】x2﹣16x+24=0，x2﹣16x+64=﹣24+64，（x﹣8）2=40，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方．5．【答案】C【解析】由題意列方程得：x（x﹣1）=45．故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)相等關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．6．【答案】B【解析】設(shè)平均每年降低x．由題意100（1–x%）2=64，∴x=20，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵設(shè)出降低的百分率，然后根據(jù)現(xiàn)在的成本可列方程求解.7．【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形的邊長(zhǎng)為，∵圖1中的重疊部分為正方形，且它的面積為4，∴重疊部分的邊長(zhǎng)為2，∴，整理得：①，圖2中陰影部分可以用大正方形的面積減去兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)小正方形重疊部分的面積，其中：由下圖可知兩個(gè)小正方形重疊部分的邊長(zhǎng)為：，∴②，將①代入②中，并整理得：解得：（不符合實(shí)際，舍去），此時(shí).∵圖3中陰影部分的長(zhǎng)為，寬為，∴圖3中兩個(gè)小正方形重疊部分的面積為，故選B.【名師點(diǎn)睛】此題考查的是代數(shù)式的運(yùn)算，正方形的性質(zhì)，解一元二次方程，找到每個(gè)圖中的等量關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵.8．【答案】A【解析】∵m，n是方程x2＋x?3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴n=3?n2，m＋n=?1，mn=?3，∴，故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)代入是解題的關(guān)鍵．9．【答案】B【解析】依題意得：x?4=0或x2?8x＋m=0，∴x=4，x2?8x＋m=0，設(shè)x2?8x＋m的兩根為a、b，∴（?8）2?4m>0，a＋b=8，ab=m，∴m<16，分情況討論：①4為斜邊時(shí)，a2＋b2=42，∴（a＋b）2?2ab=42，即82?2m=42，解得：m=24（不符合題意，舍去）；②a為斜邊時(shí)，42＋b2=a2，∴42＋（8–a）2=a2，解得：a=5，∴b=8–5=3，∴m=ab=15，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式是解題的關(guān)鍵．10．【答案】A【解析】由題可得，解得．故選A．11．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，所以，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B．12．【答案】B【解析】設(shè)方程的兩根為，，根據(jù)題意得，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，方程化為，顯然無(wú)解，所以的值為0．故選B．13．【答案】B【解析】由根與系數(shù)關(guān)系，可得，有一個(gè)根是，則另一個(gè)根是．故選B．【名師點(diǎn)睛】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，．故選B．14．【答案】A【解析】由根與系數(shù)關(guān)系，可得，，則．故選A．15．【答案】A【解析】由根與系數(shù)關(guān)系可得，，解得，．所以．故選A．16．【答案】D【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以.故選D．17．【答案】A【解析】設(shè)該市這兩年該項(xiàng)投入的平均增長(zhǎng)率為x，依題意可得，解得，(舍去)．即該市這兩年該項(xiàng)投入的平均增長(zhǎng)率為10%．故選A．18．【答案】A【解析】∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴k>0，b<0，∴△=(?2)2?4（kb+1）=?4kb>0，∴方程x2﹣2x+kb+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.故選A．【名師點(diǎn)睛】判斷根的情況，只要看根的判別式△=b2?4ac的值的符號(hào)就可以了．19．【答案】（x+3）2=14【解析】方程移項(xiàng)得：x2+6x=5，配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14.【名師點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．方程中常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上9，利用完全平方公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，即可作出判斷．20．【答案】3【解析】∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴a2–2a–1=2且a+1≠0，解得：a=3．故答案為：3．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念和解法，熟記概念是解決此題的關(guān)鍵，注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．21．【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得．22．【答案】【解析】參加聚會(huì)的有人，每個(gè)人都要握手次，可列方程：．23．【答案】1【解析】∵x=﹣1是方程x2+px+q=0的解，∴1﹣p+q=0，∴p﹣q=1．故答案為：1．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是了解方程的解能使得方程兩邊相等，難度不大．24．【答案】【解析】∵方程的兩根為，，∴，，∴.故答案為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于常考題型，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.25．【答案】【解析】方程可化為，因?yàn)?，是方程的兩?shí)數(shù)根，所以，，所以，，所以．26．【答案】（1）；（2）；（3），．【解析】（1），開(kāi)平方可得，即，所以方程的解為．（2）由，可得，，所以，所以方程的解為．（3），即，即，即，解得，，所以方程的解為，．【名師點(diǎn)睛】一元二次方程的解法：（1）直接開(kāi)平方法，沒(méi)有一次項(xiàng)的方程適用；（2）配方法，所有方程適用；（3）公式法，所有方程適用；（4）因式分解法，可因式分解的方程適用．27．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)椋苑匠炭傆袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根．（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)榉匠炭傆幸桓∮?，所以，即．故的取值范圍為．【思路分析】（1）由方程根的判別式即可求證；（2）由因式分解法可將方程化為的形式，解出兩根即可．28．【解析】（1）根據(jù)題意得：，解得：.故的取值范圍為；（2）由（1）得：，為非負(fù)整數(shù)，或，把代入原方程得：，解得：，，不合題意，舍去；把代入原方程得：，解得：，.故的值是.【名師點(diǎn)睛】此題考查根的判別式及一元二次方程的解，熟練掌握根的判別式及一元二次方程的解的定義是解題關(guān)鍵．29．【答案】（1）①，，②，，③，；（2）①，，②；（3），，猜想結(jié)論正確．【解析】（1）①，；②，；③，．（2）①，；②．（3），即，即，即，所以，所以，．故猜想結(jié)論正確．30．【答案】小路的寬為2米．【解析】設(shè)小路的寬為x米，由題意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x=×40×50，解得x=2或x=﹣8（不合題意，舍去）答：小路的寬為2米．【名師點(diǎn)睛】考查一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目，找出題目中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)“小路與觀賞亭的面積之和占草坪面積的”，建立方程求解即可得出結(jié)論．31．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ的面積為6cm2，則×（5﹣x）×2x=6，整理得：x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3．答：2或3秒后△PBQ的面積等于6cm2．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后△PBQ面積為8cm2，則×（5﹣x）×2x=8，整理得：x2﹣5x+8=0，因?yàn)椤?25﹣32=﹣7＜0，所以此方程無(wú)解，故△PQB的面積不能等于8cm2．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)“△PBQ的面積等于6cm2”，得出等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，△PBQ的面積等于6cm2，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長(zhǎng)可列方程求解．（2）通過(guò)判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達(dá)到8cm2．32．【解析】（1）設(shè)該公司銷售該型汽車每次的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程：，解得：（不合題意，舍去），．答：該公司銷售該型每次增長(zhǎng)率為50%．（2）設(shè)每輛車需降價(jià)y萬(wàn)元，日銷售量為：輛.根據(jù)題意得：，解得：y1=1，y2=2．因題意要盡快減少庫(kù)存，∴y=2．答：每輛車需降價(jià)2萬(wàn)元．【名師點(diǎn)睛】本題考主要查了一元二次方程的應(yīng)用．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．直通中考直通中考1．【答案】A【解析】原方程可化為：x2–2x–4=0，∴a=1，b=–2，c=–4，∴△=（–2）2–4×1×（–4）=20＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A．2．【答案】【解析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，根據(jù)題意，得：1+x+x2=43，解得：x1=–7（舍去），x2=6．故選C．3．【答案】D【解析】設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（30–2x）（20–x）=×20×30，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出面積的相等關(guān)系．4．【答案】A【解析】∵小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）時(shí)，只抄對(duì)了a=1，b=4，解出其中一個(gè)根是x=–1，∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，則b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根．故選A．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了根的判別式，正確得出c的值是解題關(guān)鍵．5．【答案】D【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程（k–1）x2+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：k≤且k≠1．故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，找出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．6．【答案】A【解析】設(shè)有x個(gè)隊(duì)