2023屆河南省焦作市高三上學(xué)期定位考試數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

1.已知集合4=付0=43},8={0,1,3,4},則AAB=()

A.{0,1}B.{0,1,3}C.{0,1,4}D.{0,3,4}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)锳={X|0J43},={0,1,3,4},

所以AnB={0』,3}.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=三二”，則|z|=()

3+41

A.叵B.Ac.2D,也

52555

【答案】D

【分析】根據(jù)模長的性質(zhì)計(jì)算即可.

--

［詳解］因?yàn)閆—］4-故Hl!1F-

2

3+41|3+4i|73+45

故選：D

3.已知向量2=(—2—t,3),萬=(-6,-2),且),人則實(shí)數(shù)f=()

A.11B.1C.—1D.-11

【答案】C

【分析】由￡，以得￡*=0,從而可求出r的值.

【詳解】因?yàn)橄蛄縕=(-2-f,3),ft=(-6,-2),且力以

所以a-6=-6(-2-f)+3x(-2)=0,解得大=—1,

故選：C

"2_9=](〃>0)的一條漸近線平行；則。的值為

4.若直線x=4y+7與雙曲線C：

(\

\)

A.-LB.1

C.4D.16

164

【答案】A

【分析】由雙曲線方程得漸近線方程，在確定平行直線的斜率，從而可求解“的值.

【詳解】解：雙曲線C:雙2-丁=1但＞0）的漸近線方程為：y=±8x

直線x=4y+7的斜率為：1由題意得&=!，所以

4416

故選：A.

5.已知數(shù)列｛4"｝為等差數(shù)列，若“+%+/=9,則4+4+%+4=（）

A.4B.6C.12D.16

【答案】C

【分析】利用已知條件求出《，”的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為d,

因?yàn)閝+%+%=9,所以4+4+2d+q+7d=9,即。1+3。=3,

所以4+4+3d+4+4d+4+5d=44+12d=4（“+3d）=12,

故選：C

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=1,則輸出S的值是（）

［開始

/輸入〃/

A.322B.161C.91D.80

【答案】B

【分析】根據(jù)程序框圖求解即可.

【詳解】n=l,*=5,S=l,

S=2+5=7/=4<1（否），

5=14+4=18,*=3<1（否），

S=36+3=39,Z=2<1（否），

S=78+2=80,&=lvl（否），

5=160+1=161,A:=O<1（是），輸出S=161.

故選：B

7.已知等比數(shù)列｛〃〃｝中，火=9,44=81〃2，則見。6=（）

A.27B.9C.均D.±27

【答案】A

【分析】若m+17=p+q（m,%p,qeN*）,那么勺?！??！?,—=qni~n,利用以上

兩條等比數(shù)列的性質(zhì)即可解題.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛““｝為等比數(shù)列，所以4%=%的=81%，可得。9=81；

因?yàn)?=9,所以*"=/=9,q2=3,4=*=￡=3,

所以％4=4%=27.

故選：A.

8.在三棱錐P-ABC中，PB=PC,D,E,尸分別為8C,AC,48的中點(diǎn)，G為

PO的中點(diǎn)，若EGJ_AC且EGLPD,則下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.BC〃平面EFGB.PA〃平面￡79

C.AC_L平面EFGD.PD_L平面EFG

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合選項(xiàng)以及相關(guān)定理進(jìn)行逐一驗(yàn)證.

【詳解】因?yàn)镋，尸分別為AC,A8的中點(diǎn)，所以EF//BC,

因?yàn)?C（Z平面EFG,EFu平面EFG,

所以8C//平面EFG,所以A正確.

連接AO交EF于H,連接G”，由E尸是三角形ABC的中位線可知H為4。的中點(diǎn)，

又G為PO的中點(diǎn)，所以G"〃/>4,

因?yàn)镻A0平面EFG,G〃u平面EFG,所以R4//平面EFG,所以B正確.

假若AC_L平面EFG,則AC_LEF,這從已知條件無法得出，所以C不正確.

因?yàn)镻B=PC,。為8c的中點(diǎn)，所以PDL3C；

因?yàn)镋,尸分別為AC,A8的中點(diǎn)，所以EF//BC,所以PC瓦'：

因?yàn)镋GJ_PD,EGCEF=E,所以P￡）J_平面EFG,所以D正確.

故選：C.

G

AC

B

9.袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字4,5,6.每次從袋中

隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.設(shè)事件A為“三次記下的

號碼之和是15"，事件B為“三次記下的號碼不全相等”，則P(8|A)=()

A.-B.-C.—D.-

77277

【答案】A

【分析】利用條件概率概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解:事件A所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),(6,4,5),

(5,5,5)共7個(gè)，事件所包含的基本事件有(4的基，(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),

(6,4,5)共6個(gè)，

所以「⑻小簫

故選：A.

10.已知函數(shù)/'(X)=ln(j9x2+l-3x)+x+l,若a,beR,a+b=2023,貝ij

f(/?-2O25)+f(a+2)=()

A.gB.2C.-D.4

【答案】B

【分析】計(jì)算出+x)=2,再根據(jù)2O25)+(a+2)=O,由此可得出結(jié)果.

【詳解】VxeR,79x2+l>3|x|>3x,則59/+1-3x>0恒成立，

又因?yàn)?=ln(j9x2+1-3x)+ln(的/+1+3x)+x-x+2

=ln(9x2+l-9x2)+2=2,

因?yàn)閍+b=2023,則(6-2025)+(a+2)=0,

因此，/(ft-2025)+/(?+2)=2.

故選：B

II.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，A8和CO分別是該圓柱上、下底面的一

條直徑，若四面體ABCQ的體積為述，則異面直線A8與C。所成角的余弦值為（）

9

A.巫B.—C.JD.-

3223

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，確定圓柱底面圓的半徑和高度，作圖A8,分別是圓柱上、下

底面圓的直徑，口,。2分別為上、下底面圓心，利用四面體A8CO的體積求解點(diǎn)A到

面QCD,根據(jù)異面直線求解方法作圖分析，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

【詳解】解：如圖，AB,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，。一。2分別為上、下

底面圓心，連接0C，。。.

根據(jù)題意，由于圓柱的軸截面是邊長為2正方形，則圓柱的底面半徑為1,圓柱的高為

2,

連接a。、o,c,

A。。。中，CD=2,高。02=2,則SM?,=；X2X2=2,

設(shè)A點(diǎn)到平面OXCD的距離為h,

則VA-BCD=2kq0=2X；XS,o、8xh=gh=等,解可得人=,

如圖，在圓柱下底面上過。2作瓦'〃過￡作于點(diǎn)”,

貝l]EH=/；=邁

3

異面直線AB與C短所成角為ZEO2c或其補(bǔ)角

所以sinZEO2C=---=竽,故cosZEO2C=J-siYNEO2c=1

則異面直線A8與CO所成角的余弦值為最

故選：D.

12.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為廣，戶是C上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若

C在點(diǎn)尸處的切線與y軸交于N點(diǎn)，且NFPN=30。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線0尸的斜率

為()

A.；B.—C.BD.1

222

【答案】C

【分析】設(shè)尸(與,3],根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線PN的方程，結(jié)合拋物線的定義

可得FP=FN,從而得到直線PN的傾斜角為60。，得出七=百〃，代入再計(jì)

算直線0P的斜率即可.

【詳解】設(shè)尸(內(nèi),m]，因?yàn)镃：>=三，故丫=上,故切線/W的方程為

I2p)2PP

又由拋物線的定義可得。=m+4,且=m故.FP=FN,故

2〃22〃2

ZFNP=ZFPN=3009故直線PN的傾斜角為6()。.

所以,tan60"=6,即為=6p,故P(6P，加

3

所以直線OP的斜率為工上=立.

6P2

二、填空題

13.已知。>0,5>0,且點(diǎn)（4,b）在直線x+y=4上，則:+手的最小值為.

【答案】16

【分析】由題意。+匕=4,再根據(jù)±+乎=為+6）佇+乎］結(jié)合基本不等式求解即可.

ab4\ab）

【詳解】由題意。+匕=4,故

3史=4+3信+道竺+到+4。］52、區(qū)或+4。］」（24+40）=32,

ab\abJ4\ab）4^Vab）4V7

當(dāng)且僅當(dāng)竺=孚，即。=3“，。=1功=3時(shí)取等號.

ab

故答案為：16

14.若直線/：x-g），+9=0被圓C：/+丁+2》一機(jī)=。截得線段的長為6,則實(shí)數(shù)〃?的

值為.

【答案】24

【分析】把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理進(jìn)

行求解.

【詳解】把圓C：x2+y2+2x-〃?=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：（x+l）2+y2=i+m,

所以圓心C（-l,0）,半徑/=疝荷，又直線/：x-/y+9=0,

1-1-0+91

所以圓心C到直線的距離為4==4

+(_6]

因?yàn)橹本€/：x-6y+9=0被圓C：X?+V+2x-/n=0截得線段的長為6,

根據(jù)勾股定理有：d2+32=r2,解得/'=5,

所以r=Jl+m=5,解得m=24.

故答案為：24.

15.已知函數(shù)=在(0,；)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為______.

【分析】利用余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，求得0的范圍.

【詳解】解：由函數(shù)/(x)=cos"-引(0>0),且令a=0xT

則a，故函數(shù)y=8sa在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

V646JV646；

「廣…71n5兀，兀4,16

所以一萬<—7W§,解得§

故答案為：牛??

16.己知函數(shù)/(另及其導(dǎo)函數(shù)尸(力滿足/.。)/+廣。)/=2。-々)，若"0)=1,且

/(可在(1,5)上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(0,2)

【分析】由題意［e"(切'=25_〃)，結(jié)合〃0)=1可求得〃力=巨詈里，再求導(dǎo)

結(jié)合/")在(1,5)上存在極值點(diǎn)列式求解即可.

【詳解】F(x)eX+/"(x)e"=2(x-a)即［e"(x)J=2(x-a),故e"(x)=x?-2ax+C,其

中C為常數(shù).又/(0)=l,令x=0有e°/(O)=()2—2axO+C,即C=l.

+1

故e"(x)=f—2ar+l,/(x)=^~^.

所以r(x)=_』Y2a+j)x+2a+l=_“T)［；(2“+l)［又〃可在(1,5)上存在極值

點(diǎn),故1<心+1<5,解得ae(O,2).

故答案為：(0,2)

三、解答題

5b3c

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且5“=-------+--------

cosCcosC

(1)求cosA；

(2)若c=2,sinC:sinB=1:5,求。.

3

【答案】(l)cosA=—

Q)a=8貶.

【分析】(1)由正弦定理邊角關(guān)系、和差角正弦公式可得5sinCeosA+3sinC=0,進(jìn)而

求cosA；

(2)根據(jù)正弦定理邊角關(guān)系得6=10,應(yīng)用余弦定理求

【詳解】(1)由5a=^-+^-得：5acosC=5b+3c,

cosCcosC

由正弦定理得：5sinAcosC=5sinB+3sinC.

因?yàn)?=TC-(A+C),所以5sinACOSC=5sin(A+C)+3sinC,

所以5sinAcosC=5sinAcosC+5sinCcosA+3sinC.

3

因?yàn)閟inCwO,所以5cosA+3=0,得cosA=-g.

(2)由sinUsin3=1:5及正弦定理得：c:h=\:5,所以力=10.

由余弦定理得：a1=b2+c2-2bccosA,BRa2=102+22-2xl0x2x^-|^|=128,解得

a=8-72-

18.如圖，在正三棱柱ABC-A/?中，AB=2,CC,=3,點(diǎn)。，E分別在棱A4和棱

CG上，且AO=1,CE=2.

(1)求證：平面平面BCC4；

(2)求直線AC與平面所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵立

4

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可得線線垂直，結(jié)合

正三棱柱中側(cè)面與底面垂直，可得線面垂直，可得答案；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)，進(jìn)而得到線的方向向量和面的法向量,

結(jié)合向量夾角公式，可得答案.

【詳解】（1）如圖，取4G的中點(diǎn)/，8E的中點(diǎn)G,連接FG,DG,\F,

則尸G〃CG〃/1A，且FG==號=2,

所以FG//A3且FG=A。，所以四邊形AOGF為平行四邊形，所以4尸〃。G.

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，尸是B￡的中點(diǎn)，所以AFLBg.

又因?yàn)槠矫鍭BQ平面8CC￡,平面ARC。平面BCC、B1=B?,

AFu平面A86,所以A/_L平面BCGB-所以。GJ_平面BCG%

又。Gu平面比底，所以平面8OEL平面BCGB-

（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為0,連接。4,0G,易知0,G,尸三點(diǎn)共線.

在正三棱柱48C-A瓦G中，可得AO_L3C,所以。4,013,。尸兩兩互相垂直.

分別以麗，0B，爐的方向?yàn)閤軸、丫軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則8（0,1,0）,￡（0,-1,2）,。（瘋0,1）,A（"0,0）,C（0,-l,0）,

所以詼=(0,-2,2),而AC=(-V3,-l,0).

n-BE=0,1-2y+2z=0,

設(shè)平面BDE的法向量為7=（x,y,z）,由，得

/麗=0[\/3x-y+z=0,

令y=l,得到平面8￡>E的一個(gè)法向量3=（0,1,1）.

設(shè)直線AC與平面BDE所成的角為%則sin6=

所以直線AC與平面BOE所成角的正弦值為正.

4

19.在“校園安全”知識競賽中有兩道多選題，每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多個(gè)正確選項(xiàng),

全部選對的得10分，選對但不全的得5分，有選錯(cuò)或未作答的得0分.小明參加了這次

競賽，由于準(zhǔn)備不充分，他對這兩道多選題涉及的知識完全不了解.

(1)若小明選擇每個(gè)選項(xiàng)的概率均為g且互不影響，求他這兩道題得分之和為20分的概

率；

(2)若這兩道題中一題有2個(gè)正確選項(xiàng)，一題有3個(gè)正確選項(xiàng)，小明每道題隨機(jī)選擇兩個(gè)

選項(xiàng)，求小明這兩題得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴上

256

(2)分布列見解析，E(X)=§.

O

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解；

(2)設(shè)有2個(gè)正確選項(xiàng)的題為甲，有3個(gè)正確選項(xiàng)的題為乙，然后根據(jù)題意求出甲題

得10分和得。分的概率，乙題得5分和得0分的概率，X的取值可能為15,10,5,0,

然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)由題意，這兩道題小明全部選對.

小明一道題全部選對的概率為=—,

⑶16

所以小明這兩道題得分之和為20分的概率為3

(2)設(shè)有2個(gè)正確選項(xiàng)的題為甲，有3個(gè)正確選項(xiàng)的題為乙.

小明每道題隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)有C：=6種選擇方法.

對于甲題，只有1種選法得10分，其余5種選法均得0分，即甲題得10分的概率為,，

得0分的概率為=.

6

對于乙題，有3種選法得5分，其余3種選法得0分，即乙題得5分和得0分的概率均

為］

則X的取值可能為15,10,5,0,

所以P(X=15)=9X《=3，P(X=10)=1XW，

62126212

P(X=5)=|xl=Atp(X=0)=Jxl=A.

62126212

所以X的分布列為

X151050

1155

P

nn1212

所以EX=15X1+10X1+5XA+0XA=25

121212126

20.已知橢圓C：￡+方=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為F,圓。：/+9=心過/且垂

直于x軸的直線被橢圓C和圓。所截得的弦長分別為唱和2夜.

（1）求C的方程;

（2）過圓。上一點(diǎn)尸（不在坐標(biāo)軸上）作C的兩條切線4，4,記4，4的斜率分別為勺,

與,直線OP的斜率為&,證明：（4+&）勺為定值.

【答案】⑴三+匯=1

32

（2）見解析

【分析】（1）由已知條件列方程組，結(jié)合/-從=°2,解出“力，可得橢圓C的方程;

（2）設(shè)產(chǎn)您,%）伉為*0）,且滿足圓的方程，設(shè)出過點(diǎn)P與橢圓C相切的直線方程,

與橢圓方程聯(lián)立，利用△=（）得出關(guān)于左的一元二次方程，由韋達(dá)定理得出K+與，進(jìn)而

可求出（％+3內(nèi)為定值?

【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c>0）,過F且垂直于x軸的直線被橢圓C所截得的

弦長分別為速，則空=生叵；過尸且垂直于x軸的直線被圓O所截得的弦長分別為

3a3

22

a=y/3frv

2&，貝IJ2A/7^?=20，又"—從=。2,解得，l，所以C的方程為二十匕=1.

/?=V232

(2)設(shè)P(%,%)(0%C0),則x：+乂=3.①

設(shè)過點(diǎn)P與橢圓C相切的直線方程為尸

:;)得"2+2片+6燈先-3加+3[(%_5)2_2b0,

聯(lián)立

貝3=[6女(％—5)丁_4*"2+2卜3[5_煙))2_2]=0,

整理得(4-3)公-2xQy.k+y-2=0.②

由題意知勺，與為方程②的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得

k+k_2X0%_2/X)一—2x()

不)-3-%%

又因?yàn)?=勉=+，所以化+&)&=-?-F=-2,所以(K+&)《為定值一2.

2

21.已知函數(shù)/(x)=ax(\nx-1)+^-(?GR).

(1)若a=2,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程；

⑵若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)陽，巧(x,<x2),且不等式+1>。恒成立,求實(shí)數(shù)幾

的取值范圍.

[答案]⑴x-y-guO

(2)(^?,-2]U[2,+?>)

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線的點(diǎn)斜式方程，可得答案；

(2)由極值點(diǎn)的必要條件，得到參數(shù)與極值點(diǎn)之間的等量關(guān)系，化簡整理并整體還原,

可得一元不等式，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，可得答案.

*2

【詳解」(1)若。=2,貝I]/(x)=2x(lnx-l)+3,

尸(力=2(lnx-1+x2)+x=21nx+x,

13

則切線的斜率為r⑴=1,又AD=(-2)+|=-1,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J0))處的切線方程是y-1-|)=x-1,即x_y_|=o.

(2)/'(x)=a(lnx-l+x-J)+x=alnx+x,由條件知演，x2是方程/(*)=0的兩個(gè)根，

alnXy+Xy=0,

所以則。=

Inx-Inx

a\nx2+x2=0,}2

1』

所以“(2+乃+i=/Z^!-----出—+1=—上

-21A_+I

2%+AXInx,-Inx2x+Ax

22t2In五22+2

x2

X.,,一一一/、

設(shè)好一，可知/的取值氾圍是(0,1),則InrvO,

不等式+1>o恒成立，等價(jià)于(勺㈤。>)+Inf<0恒成立.

(2z+z)lnr2r+2

設(shè)〃(力二(2；㈤(l—)+inr,則力“)<0恒成立，

2/+4

4(f—1)t—~

,,,八1(2+A)?2⑵+/9U2+Q27I4J

t(2t+2)2r(2r+2)2t(2t+A)2

(i)若;1224,則所以〃'(/)>0,〃⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以〃(/)<碎)=0恒成立，所以/le(F,—2]U[2,位)符合題意；

(ii)若g<4,令〃⑺>0,得/{(),?),令〃(f)<0,得

(戶(\

則〃(。在。,彳上單調(diào)遞增，在—,1上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)r的取值范圍是[4,1]時(shí)，/i(r)>/i(l)=0,不滿足何。<0恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)2的取值范圍是(F，-2]U[2,M).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵在于第二問，注意利用等量關(guān)系進(jìn)行等量代還，轉(zhuǎn)化不等式，再利用導(dǎo)數(shù)

研究含參函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為，x=a為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，X

[y=3-t

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c?的極坐標(biāo)方程為夕Sin2e=16cos?,且G與C?

交于M,N兩點(diǎn).

(1)求C1的普