高考數(shù)學壓軸題精編精解

精選100題，精心解答｛完整版｝

zx1,1<X<2riy，

1.設函數(shù)/(x)=｛,g(x)=/(x)-or,xe[l,3],3..

X1,Z<XJ

2-

其中aeA,記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的差為〃(。)。1.

(D求函數(shù)〃(。)的解析式；(II)畫出函數(shù)y="(x)的圖象并一'―234

指出。(x)的最小值。

2.已知函數(shù)/(x)=x-ln(l+x),數(shù)列｛%｝滿足0<q<1,

=/(%)；數(shù)列也｝滿足4=g，4+i2；(”+1)〃,〃wN*.求證：

2/y

(I)0<an+x<an<1;(II)。用<^-；(III)若卬=3，則當n22時，“>/?〃！.

3.已知定義在R上的函數(shù)F(x)同時滿足：

2

(1)/(Xj+x2)+/(X)-x2)=2/(Xj)COS2X24-4^7sinx2(x19x2GR,a為常數(shù))；

(2)/(0)=/(^)=l；(3)當xe[0,(]時，|/(x)|W2

求：(I)函數(shù)f(x)的解析式；(II)常數(shù)a的取值范圍.

22

4.設4a，必),B(X2,%)是橢圓4+三=1(?！?>0)上的兩點,

xb

滿足(?,8)?(字,22)=0,橢圓的離心率e=y±，短軸長為2,0為坐標原點.

baba2

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c),(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；

(3)試向：AAOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

5.已知數(shù)列｛。“｝中各項為：12、1122、111222、……、II……122……2……

個個nn

(1)證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積.(2)求這個數(shù)列前n項之和S”.

22

6、設大、入分別是橢圓與+?=1的左、右焦點.

(I)若p是該橢圓上的一個動點，求尸片?尸尼的最大值和最小值；

(H)是否存在過點A(5,0)的直線/與橢圓交于不同的兩點C、D,使得|F2cHFzDI?若存在,

求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

7、已知動圓過定點P(1,0),且與定直線L:x=-1相切，點C在/上.

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；

(2)設過點P,且斜率為-V3的直線與曲線M相交于A,B兩點.

(i)問：^ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由

(ii)當aABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

8、定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)N0,當x>0時，f(x)>1,且對任意的a、bGR,有戈a+b尸f(a)f(b),

(1)求證：f(0)=l：(2)求證：對任意的xGR,恒有f(x)>0；

(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)?f(2x-x2)>l,求x的取值范圍。

9、已知二次函數(shù)/(x)=/+26X+C(6,C€R)滿足/⑴=0,且關于x的方程/(x)+x+6=0的

兩實數(shù)根分別在區(qū)間(-3,-2),(0,1)內(nèi)。(1)求實數(shù)6的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)=log/,/(x)在區(qū)間(-1-C,1-C)上具有單調(diào)性，求實數(shù)C的取值范圍

10、已知函數(shù)/(x)在(-1,1)上有意義,/(3=—1,且任意的x、ye(—1,1)都有

/(x)+〃y)=，(潟)?⑴若數(shù)列區(qū)｝滿足西號』=急踴M),野《).

⑵求】+於+帚???+勺$)+/(焉)的值?

11.在直角坐標平面中，AABC的兩個頂點為A(0,-1),B(0,1)平面內(nèi)兩點G、M同時滿足①

GA+GB+GC=0,②|礪|=|礪|=|研③兩〃萬

(1)求頂點C的軌跡E的方程

(2)設P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為(JI,0),已知而〃而，RF//

麗且麗?而=0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

12.已知a為銳角，且tana=J^-l,函數(shù)/(x)=x?tan2a+x-sin(2a+X),數(shù)列EJ的首項

4

⑴求函數(shù)的表達式；⑵求證：；

%=；,a“+i=/(%)./(x)<7?+1>an

⑶求證：~+7T-+*'*+7T-<2("22，〃eN*)

l+t?11+a,1+an

13.(本小題滿分14分)已知數(shù)列｛凡｝滿足q=1,q+|=2a“+l(〃€N*)

(I)求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(II)若數(shù)列也,｝滿足44T434獷…心T=((+1產(chǎn)，證明：｛4｝是等差數(shù)列；

1?12

(HI)證明：—+—+??-+—<-(/?eN*)

a2。3%3

14.已知函數(shù)g(x)=-胃-/+cx(aH0),

(D當。=1時，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍；

(II)當a2/EI寸，(1)求證：對任意的xe[0,l],g'(X)<1的充要條件是。；

⑵若關于尤的實系數(shù)方程g'(x)=0有兩個實根。,夕，求證：向<1,且也工1的充要條件是

12

——<c<a—a.

4

15.已知數(shù)列｛a?｝前n項的和為S”，前n項的積為T“,且滿足Tn=2"(~)。

①求4；②求證：數(shù)列｛aJ是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a,使得(S“+「a)2=(S“+2-a)(S,-a)

對〃€N+都成立？若存在，求出a,若不存在，說明理由。

16、已知函數(shù)丁=/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，其圖像均在x軸的上方，對任意的加、He[0,+oo),

都有/(加〃)="(〃?)「，且/(2)=4,又當xNO時，其導函數(shù)/'(x)>0恒成立。

「-12

h+2

(I)求/(0)、/(一1)的值；(II)解關于X的不等式：/(,)>2,其中Ae(—1,1).

_2&+4_

17、一個函數(shù)/(x),如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a,6,c都在/(x)的定義域內(nèi)，就有

/⑷,/(?,/?也是某個三角形的三邊長，則稱〃x)為“保三角形函數(shù)”.

(I)判斷工(x)=J7,左(x)=x,U(x)='中,哪些是“保三角形函數(shù)”,哪些不是,并說明理

由;

（II）如果g（x）是定義在R上的周期函數(shù)，且值域為（0,+8）,證明g（x）不是“保三角形函數(shù)”;

（III）若函數(shù)/（x）=sinx,xe（0,Z）是“保三角形函數(shù)”，求4的最大值.

（可以利用公式sinx+siny=2sinX+^cosX）

18、已知數(shù)列｛4｝的前n項和S.滿足：S?=-^-（??-l）（a為常數(shù)，且aw0,a*l）.

（7-1

（I）求S“｝的通項公式；（n）設a=y+1,若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，求a的值;

（in）在滿足條件（n）的情形下，設%=—,數(shù)列｛g｝的前n項和為.

1+?！?一凡+i

求證：T?＞2n--.

19＞數(shù)列｛4｝中，q=2,anJrX=an+cn（。是常數(shù)，"=1,2,3,???），且q,a2,%成公比不為1

的等比數(shù)列。（I）求c的值；（II）求｛可｝的通項公式。

（III）由數(shù)列｛4｝中的第I、3、9、27.....項構成一個新的數(shù)列｛b,｝,求lim卻的值。

〃一＞8力

20、已知圓M:（x+J^）2+y2=36,定點N（右,0）,點尸為圓/上的動點，點Q在NP上，點G

在MP上，且滿足瓶=2而,詼?標=0.（I）求點G的軌跡C的方程；

（II）過點（2,0）作直線/,與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設丞=a+無，是

否存在這樣的直線/，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）?若存在，求出直線/

的方程；若不存在，試說明理由.

21.飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回倉預計到達區(qū)域安

排三個救援中心（記為A,B,C）,B在A的正東方向，相距6km,C在B的北偏東30°,相距4km,P

為航天員著陸點，某一時刻A接到P的求救信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4s后，B、C兩

個救援中心才同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為Ikm/s.

（1）求A、C兩個救援中心的距離；（2）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

（3）若信號從P點的正上方Q點處發(fā)出，則A、B收到信號的時間差變大還是變小，并證明你的

結論./C

AB

I-----------11—/

22.已知函數(shù)y=|x|+l,y=ylx2-2x+2+t,y=-(x+—-)(x>0)的最小值恰好是方程

2x

/+亦之+瓜+0二。的三個根，其中0<，<I.([)求證：/=2b+3；

(II)設a，M),(±,N)是函數(shù)/(刈=/+辦2+/+。的兩個極值點.

2

①若|須-％1=§，求函數(shù)/(x)的解析式；②求I"-N|的取值范圍.

23.如圖，已知直線/與拋物線爐=4夕相切于點?(2,1),且與x軸交于點4。為坐標原點，定

點5的坐標為(2,0).(I)若動點M滿足方?前+俞|=0,求點M的軌跡C；

(II)若過點B的直線/'(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在B、

F之間)，試求△0BE與aOBF面積之比的取值范圍.

24.設g(x)=px-g-2/(x),其中/(x)=Inx,且g(e)=qe-"-2.(e為自然對數(shù)的底數(shù))

xe

(I)求P與q的關系；(ID若g(X)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍;

(IH)證明:?/(l+x)<x(x>-1)；

In2In3In〃2n2-77-1

②----------1------------1-,??H---------<(/?eN,〃22).

2232n24(〃+1)

25.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足：S?=—(??-1)(a為常數(shù)，且).

a-\

(I)求｛凡｝的通項公式；(H)設d=當+1,若數(shù)列也J為等比數(shù)列，求a的值;

(III)在滿足條件(11)的情形下，設的=—!—+—^,數(shù)列｛%｝的前〃項和為T,?求證:

l+a“1-%

T>2n--.

n"3

26、對于函數(shù)/(x),若存在/eR,使/(Xo)=x°成立，則稱/為/*)的不動點.如果函數(shù)

/(幻=立上3,。6"*)有且僅有兩個不動點0、2,且/(-2)<-工.

hx-c2

(1)試求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知各項不為零的數(shù)列｛q｝滿足4S,/.(')=1,求證：一一-<ln-^<--;

%%+i〃％

(HI)設4=—工，7；為數(shù)列｛〃｝的前〃項和，求證：7；008-l<ln2008<7^007.

a,

27、已知函數(shù)/(x)的定義域為｛x|x￥版,左eZ｝,且對于定義域內(nèi)的任何x、y,有

成立，</,(?)=1為正常數(shù))，當0<x<2a時，/(x)>0.(I)判斷/'(x)奇偶性；(II)證明f

(x)為周期函數(shù)；(山)求/(x)在3,3?上的最小值和最大值.

28、已知點R(—3,0),點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

2PM+3MQ=Q,而?兩=0.(I)⑴當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；

(II)設4(項,必)、B(x2,y2)為軌跡C上兩點，且演>1,必>。，N(1,0),求實數(shù)4,使力8=AAN,

且I相吟

29、已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為匚，兩條準線間的距離為6.橢圓W的

3

左焦點為尸，過左準線與x軸的交點”任作一條斜率不為零的直線/與橢圓W交于不同的兩點/、

B,點Z關于x軸的對稱點為C.

(I)求橢圓W的方程；(II)求證：方=4而(4eR)；(HI)求面積S的最大值.

30、已知拋物線。：丁=辦2,點尸(1,-J)在拋物線C上，過點P作斜率為無I、后的兩條直線，

分別交拋物線。于異于點P的兩點4(xi，yi),B(必，丫2)，且滿足左i+%2=0.

(I)求拋物線C的焦點坐標；(II)若點M滿足就=而，求點〃的軌跡方程.

31.設函數(shù)/(x)=；a?+&r2+cx(“<b<c),其圖象在點4(1,.八1)),8(加,/(〃?))處的切線的斜率分

別為0,—。.(1)求證：0<-<1；(II)若函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為[s,/],

求|s-f|的取值范圍;(III)若當X-左時(衣是與。,6,c無關的常數(shù))，

恒有/-1(X)+47<0,試求々的最小值.

32.如圖，轉盤游戲.轉盤被分成8個均勻的扇形區(qū)域.游戲規(guī)則：用力旋轉轉盤，轉盤停止時箭

頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是游戲所得的點數(shù)（轉盤停留的位置是隨機的）.假設箭頭指到區(qū)域分界線

的概率為0.1,同時規(guī)定所得點數(shù)為0.某同學進行了一次游戲，記所得點數(shù)為求J的分布列及

數(shù)學期望.（數(shù)學期望結果保留兩位有效數(shù)字）

33.設耳，居分別是橢圓C：」二+二=1（相＞0）的左，右焦點.

6m2m

（1）當PeC,且用麗2=0,\PFt\-\PF2|=80＞h求橢圓C的左，右焦點6、F2.

（2）/、工是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知產(chǎn)2的半徑是1，過動點。的作工切線

QM,使得|。6|=0］。叫（河是切點），如下圖.求動點0的軌跡方程.

34.已知數(shù)列｛6,｝滿足q=5,<72=5,an+i=an+6an_x(n>2).

（1）求證：｛a,用+2%｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（3）設3"6"=〃（3”-a“）,且聞+向|++同＜相對于〃eM恒成立，求加的取值范

35.已知集合。=｛（須，》2）忖＞0,82＞0,玉+*2=左｝（其中％為正常數(shù)）.

（1）設〃二芭馬，求〃的取值范圍;

（2）求證：當左21時不等式（-!"一否）（」--/）＜（幺一2）2對任意（司,右）€。恒成立；

%x22k

1iL2

2

（3）求使不等式（一一x,）（一一x2）＞（——）對任意（七,）e。恒成立的公的范圍.

須x22k

36、已知橢圓C：「+鼻=1（a＞b＞0）的離心率為Y6,過右焦點廠且斜率為1的直線交橢圓

a2b23

C于8兩點，N為弦N8的中點。（1）求直線ON（O為坐標原點）的斜率KON；

-------.

（2）對于橢圓C上任意一點M,試證：總存在角6（6GR）使等式：OM=COS0OA+s加6OB

成立。

37、已知曲線C上任意一點M到點F(0,1)的距離比它到直線/：y=-2的距離小1。

(1)求曲線C的方程；(2)過點尸(2,2)的直線加與曲線。交于48兩點，設標=4萬.

①當4=1時，求直線相的方程；②當AAOB的面積為4班時(O為坐標原點)，求力的值。

38、已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，對一切正整數(shù)〃，點都在函數(shù)/(x)=/+2x的圖

像上，且過點月(〃,S“)的切線的斜率為k“.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式.(2)若4=2"?！ǎ髷?shù)列他,｝的前〃項和7；.

(3)設0=｛x|x=3,〃eN*｝,R=｛x\x=2%,〃eN*｝,等差數(shù)列｛c“｝的任一項cn&QryR,

其中G是0c火中的最小數(shù)，110<eg<115,求｛c“｝的通項公式.

3

39、已知S.是數(shù)列｛q｝的前〃項和，。2=2,且S.+1—3S,+2S,T+1=0,其中

*r、S-n

n>2,n&N.⑴求數(shù)列｛凡｝的通項公式為；⑵計算也」一的值.(文)求S,,.

40、函數(shù)/(x)對任意x￡R都有f(x)+fU-x)=；.(1)求/(2)和/d)+"trOSeN)的值;

乙2nn

(2)數(shù)列｛%｝滿足/=/(0)+/(-)+/(-)+-?■+/(—)+/⑴,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

nnn

A1￡

(3)令b“==~,T.="+"+>+…+k,S,=32-2試比較Tn與Sn的大小。

4?！ㄒ?n

41.已知數(shù)列｛%｝的首項/=2Q+1(a是常數(shù)，且。。一1),an=2an_｝+/-4/7+2(w>2),

數(shù)列｛〃｝的首項4=4，6〃=?！?〃2(〃？2)。

(1)證明：%,｝從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；

(2)設S“為數(shù)列也｝的前n項和，且｛S“｝是等比數(shù)列，求實數(shù)a的值；

(3)當a>0時，求數(shù)列｛%｝的最小項。

42.已知拋物線C：V=2px(p>0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。

(1)求拋物線C的方程；

(2)若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第象限，且|MF|=2|NF|,求直線MN的方程：

(3)求出一個數(shù)學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們

把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.

例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4,側棱長為3,求該正四棱錐

的體積”.求出體積3后，它的?個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4,體積為上，

33

求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為北，求所有側面面積之和的最小值”.

3

現(xiàn)有正確命題：過點的直線交拋物線C：V=2px(p>0)于p、Q兩點，設點p關于

x軸的對稱點為R,則直線RQ必過焦點Fo

試給出上述命題的‘'逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。

5+2x

43.已知函數(shù)f(x)=-----,設正項數(shù)列｛。〃｝滿足。尸1,%+1=/(%).

16-8x

(I)寫出。2，。3的值；(H)試比較％與1的大小，并說明理由；

S111

(III)設數(shù)列｛〃,｝滿足6"=一一記S產(chǎn)工4.證明：當n22時,S“〈一(2"-1).

4,=14

44.已知函數(shù)f(x)=x'—3ax(aGR).(I)當a=l時，求f(x)的極小值；

(II)若直線菇x+y+m=0對任意的meR都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍；

(皿)設g(x)=|f(x)|,x6[-l,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.

45.在平面直角坐標系中，已知三個點列｛A3｛BJ,｛&｝,其中4,(〃,%),%(〃,4,)

(〃一1,0),滿足向量與向量共線，且點(B,n)在方向向量為(1,6)的

線上q=。,6]=-。.(1)試用a與n表示%(〃22)；

(2)若戈與行兩項中至少有一項是a的最小值，試求a的取值范圍。

46.已知耳(-2,0),尸2(2,0),點P滿足|防HPg1=2，記點尸的軌跡為后(1)求軌跡6的方程；

(2)若直線，過點用且與軌跡少交千八0兩點.(i)無論直線/繞點￡怎樣轉動，在x軸上

總存在定點〃(切,0)，使恒成立，求實數(shù)勿的值.

(ii)過只0作直線x=」的垂線序、0B,垂足分別為/、B,記尸川+131,求人的取值范

2\AB\

圍.

47.設的、々a*x?)是函數(shù)/(x)=4+bx?-/x(a>0)的兩個極值點.

⑴若玉=-1/2=2,求函數(shù)/U)的解析式；⑵若|士|+卜2|=2直,求6的最大值；

(3)若X]<X<X2,且二2=。，函數(shù)g(x)=/'(x)-a(x-X]),求證：|g(x)|<—a(3a+2)2.

48.已知/(x)=log“x(0<a<,若數(shù)列｛4｝

使得2,/(%),/(%),/(%)，……,),2〃+4(〃eN*)成等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項an;

(2)設2=4?/(4),若限｝的前n項和是Sn,且*yVl,求證：S〃+2<3.

1-671一。

22

49.點P在以々，居為焦點的雙曲線￡:0—彳=1(。>0/>0)上，已知叼，町，

ah

|PF｝|=2|PF2|,0為坐標原點.(I)求雙曲線的離心率e；

---*27—*—"-*

(II)過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于4,舄兩點，且。片OP2=--,2PP｝+PP2=0,

求雙曲線E的方程；

(III)若過點0(見0)(加為非零常數(shù))的直線/與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩

點M、N,且荻=2麗(4為非零常數(shù))，問在x軸上是否存在定點G,使麗1(GM-AGN)?

若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由.

50.已知函數(shù)f(x)-ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x?+6x+12,利直線m：y=fcv+9,又

/'(一1)=0.(I)求a的值；

(ID是否存在人的值，使直線加既是曲線丁=/(x)的切線，又是y=g(x)的切線；如果存在，

求出左的值；如果不存在，說明理山.

(III)如果對于所有x2—2的x,都有f(x)<kx+9<g(x)成立，求上的取值范圍.

51.已知二次函數(shù)/(》)=辦2+6x+c,(“,6,ceR)滿足：對任意實數(shù)x,都有/(x)2x,且當xe

(1,3)時，有/(》)4!(》+2)2成立。(1)證明：/⑵=2。

8

(2)若/(—2)=0,/(x)的表達式。

(3)設g(x)=/(x)-1-xxe[0,+8),若g(x)圖上的點都位于直線y的上方，求實數(shù)

m的取值范圍。

52.(1)數(shù)列｛a｝和｛bj滿足%+6,+…+2)(n=l,2,3-),求證瓜｝為等差數(shù)列的

H

充要條件是E｝為等差數(shù)列。(8分)

(2)數(shù)歹U｛a｝和｛c,,｝滿足c“="，+2a,用(〃eN*),探究｛4｝為等差數(shù)列的充分必要條件，需

說明理由。[提示：設數(shù)列?｝為％=a“一a“+2("=1,2,3…)

53.某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分,

平一局得1分，輸一局得0分；比賽共進行五局，積分有超過5分者比賽結束，否則繼續(xù)進行.根

據(jù)以往經(jīng)驗，每局甲贏的概率為1，乙贏的概率為1，且每局比賽輸贏互不受影響.若甲第n局贏、

23

平、輸?shù)牡梅址謩e記為%=2、。“=1、a,,=0〃eN*,1W〃W5,令S“=%+0+…+4-

(I)求S3=5的概率；(II)若隨機變量4滿足S4=7(J表示局數(shù))，求J的分布列和期望.

54.如圖，已知直線/與拋物線/=4y相切于點P(2,1),且與x軸

交于點A,定點B的坐標為(2,0).(I)若動點M滿足

~AB~BM+y[2^4M\=0,求點M的軌跡C；(H)若過點B的直線/'

(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在B、F

之間)，試求A0BE與A0BF面積之比的取值范圍.

55,已知/、8是橢圓￡■+匚=l(a>6>0)的一條弦，HQ，1)是48中點，以〃為焦點，以橢圓的右

a2b2

準線為相應準線的雙曲線與直線交于N(4,—1).

(1)設雙曲線的離心率e,試將e表示為橢圓的半長軸長的函數(shù).

(2)當橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)時，求橢圓的方程.

(3)求出橢圓長軸長的取值范圍.

56已知：/(x)=-]4+二,數(shù)列｛4,｝的前前項和為S,”點-——)在曲線

V廠4+1

y=/(x)上(〃€N*),且q=1,%>0.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；(2)數(shù)列也,｝的前“項和為T,,,且滿足二甲=二二+16〃2-8〃一3,

設定伍的值，使得數(shù)列｛”,｝是等差數(shù)列；(3)求證：S“>1J4〃+1-L〃eN*

2

57、已知數(shù)列｛a“｝的前n項和為Sn，并且滿足ai=2,nan+i=Sn+n(n+1).

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式可；(2)設，為數(shù)歹U｛祟｝的前“項和，求卻

58、已知向量加=(',_!-)(。〉0),將函數(shù)一。的圖象按向量m平移后得到函數(shù)

a2a2

g(x)的圖象。

(I)求函數(shù)g(x)的表達式；(II)若函數(shù)g(x)在［血,2］上的最小值為h(a),求"(0的最大值。

5%已知斜三棱柱Z8C—44G的各棱長均為2,側棱網(wǎng)與底面/8C所成角為今，

且側面ABB,4±底面ABC.4

(1)證明：點用在平面/8C上的射影0為N3的中點；\//

(2)求二面角C一/4一8的大??；(3)求點G到平面CB/的距離.A

60、如圖，已知四棱錐S-也3c。中，△“/)是邊長為。的正三角形，平面平面438,四邊

形Z8C。為菱形，ZDAB=60u,尸為/。的中點，。為S3的中點.汰、

/、\

(I)求證：尸?！ㄆ矫鍿O(II)求二面角3-PC-。的大小./\\

61.設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列｛&｝的集合:

①止產(chǎn)《風用；②^WM淇中〃eN*,M是與n無關的常數(shù).

(1)若｛&｝是等差數(shù)列，S“是其前n項的和，a3=4,S3=18,證明：｛S?｝GW

(2)設數(shù)列間的通項為“=5〃一2",且也｝€少，求M的取值范圍;

(3)設數(shù)列｛以｝的各項均為正整數(shù)，且｛c“｝e肌證明：c?<c?+1

62.數(shù)列｛%｝和數(shù)列｛"｝(?eN+)由下列條件確定：⑴?,<0,4>0；

(2)當上22時，為與“滿足如下條件：當生磬±20時，4=%7,4=%；也;當

“T+AT<0時，4=%+如,b=b..

2'2"1k

解答下列問題：(I)證明數(shù)列｛4-4｝是等比數(shù)列；

Y)

(II)記數(shù)列｛〃(4—%)｝的前〃項和為S“，若已知當“>1時，lim—=0,求!觸s”.

(Ill)〃(〃22)是滿足4>%>…>>的最大整數(shù)時,用生,(表示〃滿足的條件.

63.已知函數(shù)/(x)=lnx+—+“x,xe(O,+8)(a為實常數(shù)).

x

(1)當2=。時，求/(X)的最小值；

(2)若/(x)在[2,+8)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)設各項為正的無窮數(shù)列滿足lnx,,+」一證明：x“Wl(nGN*).

Xn+\

64.設函數(shù)/(x)=+依2+以(x>0)的圖象與直線少=4相切于"(1,4).

(I)求/(》)=》3+原2+樂在區(qū)間(0,4]上的最大值與最小值；

(II)是否存在兩個不等正數(shù)SJ(s</),當xw[s,/]時，函數(shù)/(》)=/+依2+云的值域也是

[5,/],若存在，求出所有這樣的正數(shù)S,7:若不存在，請說明理由；

(山)設存在兩個不等正數(shù)s,/(s</),當xw[s,〃時，函數(shù)/(》)=/+以2+版的值域是

[ks,kt],求正數(shù)左的取值范圍.

65.已知數(shù)列｛4｝中，％=1,〃％+]=2(q+%+…+4)(〃€N*).

(1)求。2，。3，。4；(2)求數(shù)列｛%｝的通項/；

(3)設數(shù)列也｝滿足4=-也+|=’。+*求證：bn<\(n<k)

24

66、設函數(shù)/3)=(1+》)2-2111(1+》).(1)求/。)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若當xe時，(其中e=2.718…)不等式恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

e

⑶試討論關于X的方程：/(x)=x2+X+”在區(qū)間[0,2]上的根的個數(shù).

67、已知/(x)=x?+ax+<7(a42,xeR),g(x)=e~x,①(x)=/(x)-g(x).

(1)當“=1時，求力(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求g(x)在點(0,1)處的切線與直線x=1及曲線g(x)所圍成的封閉圖形的面積；

(3)是否存在實數(shù)a,使0(x)的極大值為3?若存在，求出。的值，若不存在，請說明理由.

68、已知橢圓G：=+二=1(。>8>0)的離心率為L,直線/：y=x+2與以原點為圓心、橢圓

ab3

Ci的短半軸長為半徑的圓O相切。(1)求橢圓G的方程；

(2)設橢圓G的左焦點為F,,右焦點為F2,直線6過點F1,且垂直于橢圓的長軸，動直線12

垂直于/1,垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交/2于點M,求點M的軌跡C2的方程;

(3)設Q與x軸交于點Q,不同的兩點R、S在C2上，且滿足麗?麗=0,

求10Ml的取值范圍。

X2v2廠

69、已知Fi,Fz是橢圓C:。+4=1(a>b>0)的左、右焦點，點P(—&,1)在橢圓上，線段PF?

crb'

與y軸的交點M滿足兩+用而=0。(1)求橢圓C的方程。(2)橢圓C上任一動點卜1(%,打)關

于直線y=2x的對稱點為出(x1)yi)，求3x「4%的取值范圍。

v-2

70、已知48,。均在橢圓“：r+v=1(。>1)上，直線ZB、4c分別過橢圓的左右焦點尸|、

CT

,一，■?2

F2,當4。大月=0時，有94片/尸2=〃6.

(I)求橢圓”的方程；(II)設P是橢圓〃上的任一點，跖為圓N:/+(y-2)2=1的任一條

直徑，求而?麗的最大值.

71.如圖，4%6相)和8(〃,-6〃)兩點分別在射線0$、01'上4/

移動，且0』礪=一；，。為坐標原點，動點P滿足礪=萬+礪.

(I)求加?〃的值；仁\,

(n)求P點的軌跡c的方程，并說明它表示怎樣的曲線？一氏\。:

(IH)若直線/過點E(2,0)交(II)中曲線C于M、N兩\0

點，且該=3麗，求/的方程.y

72已知函數(shù)/(x)=；x2+alnx,g(x)=(a+I)xH(x)-/(x)-g(x)?

(1)若函數(shù)/(x)、gG)在區(qū)間［1,2］上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)a、B是函數(shù)H(x)的兩個極值點，a<B，P&(1,e］(e=2.71828…)。求證：對任意的為、

X2€［a,切，不等式|“(芭)一〃(々)1<1成立

73.設/(x)是定義在［―1,1］上的奇函數(shù)，且當-lWx<0時，/(x)=2x3+5ax2+4a2x+/)

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；(II)當1<。<3時，求函數(shù)/(x)在(0,1］上的最大值g(a)；

(HI)如果對滿足l<aW3的一切實數(shù)a,函數(shù)/(x)在(0,1］上恒有/(x)W0,求實數(shù)6的取值范圍.

74已知橢圓C的中心為原點，點尸(1,0)是它的一個焦點，直線/過點/與橢圓。交于48兩點,

—*—*,5

且當直線/垂直于x軸時，—.(I)求橢圓。的方程;

6

(II)是否存在直線/,使得在橢圓。的右準線上可以找到一點尸，滿足A48P為正三角形.如果

存在，求出直線/的方程；如果不存在，請說明理由.

75.已知數(shù)列｛。"｝滿足q=；,aj-1

n(w>2,WGN).

(-l)，，a?-i-2

(I)求數(shù)列MJ的通項公式a.；(H)設“=—求數(shù)列也“｝的前〃項和S“；

an

(IID設c“=a“sin(2〃；D),數(shù)列｛cJ的前〃項和為7；.求證：對任意的〃eN*,(,<；.

76、已知函數(shù)/'(x)=(x2-x-1)e“'(aH0)

a

(1)求曲線N=/(x)在點40,/(O))處的切線方程

(2)當。<0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間

(3)當。>0時，若不等式/(x)+』20,對XE-2,+o］恒成立，求Q的取值范圍。

aLa)

X-Z7

77、已知函數(shù)f(x)=——，其中a為實數(shù).

Inx

⑴當a=2時,求曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程；

(2)是否存在實數(shù)a,使得對任意xw(0,l)U(l,+8),/(x)>?恒成立?若不存在，請說明理由，

若存在，求出。的值并加以證明.

78、已知/(xXlnx.gaXif+s+iQwvO),直線/與函數(shù)/(n)、g(x)的圖像都相切，且

與函數(shù)/(x)的圖像的切點的橫坐標為1。(I)求直線/的方程及〃?的值；

(II)若〃a)=/(x+l)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的導函數(shù))，求函數(shù)〃(x)的最大值;

(III)當0<b<a時，比較：?+2qf(a+6)與b+2q/(2a)的大小,

79、已知拋物線C：/=的準線與％軸交于M點，過/點斜率為k的直線I與拋物線。交于/、

8兩點(Z在"、8之間).⑴尸為拋物線。的焦點，若求人的值：

4

(2)如果拋物線。上總存在點。，使得。1_LQ8,試求左的取值范圍.

80、在平面直角坐標系中，已知定圓F:住一1尸+A'=1(F為圓心)，定直線力三二-2?，作與圓

F內(nèi)切且和直線上相切的動圓P,(1)試求動圓圓心P的軌跡E的方程。

(2)設過定圓心F