專(zhuān)題19不等式選講預(yù)測(cè)2023年對(duì)不等式選講的考查仍以絕對(duì)值不等式的解法、性質(zhì)為主，解含兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)的不等式是解答題題型的主流，并配以不等式的證明和函數(shù)圖象的考查.一、含有絕對(duì)值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)假設(shè)c>0，那么|ax＋b|≤c等價(jià)于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等價(jià)于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根據(jù)a，b的值解出即可.(2)假設(shè)c<0，那么|ax＋b|≤c的解集為?，|ax＋b|≥c的解集為R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解.(1)零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟①令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；②將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為假設(shè)干個(gè)區(qū)間；③由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得假設(shè)干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；④取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用絕對(duì)值的幾何意義由于|x－a|＋|x－b|與|x－a|－|x－b|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a，b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀(guān).3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)?－g(x)<f(x)<g(x).二、不等式的證明1.證明不等式的常用結(jié)論(1)絕對(duì)值的三角不等式定理1：假設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0，等號(hào)成立.定理2：設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立.推論1：||a|－|b||≤|a＋b|.推論2：||a|－|b||≤|a－b|.(2)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式：如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立.(3)根本不等式(根本不等式的推廣)：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1·a2·…·an)，并且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)等號(hào)成立.(4)一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，那么(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))·(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，并且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立.2.證明不等式的常用方法(1)比擬法一般步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論.為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以判斷其正負(fù).(2)綜合法利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法.即“由因?qū)Ч暤姆椒?(3)分析法證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法.即“執(zhí)果索因〞的方法.(4)反證法和放縮法①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫作反證法.②證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些局部的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而到達(dá)證明的目的，這種方法叫作放縮法.考點(diǎn)一解絕對(duì)值不等式例1．【2023課標(biāo)3，文23】函數(shù)=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式≥1的解集；〔2〕假設(shè)不等式≥x2–x+m的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】〔1〕；〔2〕【變式探究】【2023高考新課標(biāo)1卷】〔本小題總分值10分〕,選修4—5：不等式選講函數(shù).〔I〕在答題卡第〔24〕題圖中畫(huà)出的圖像；〔II〕求不等式的解集．【答案】〔I〕見(jiàn)解析〔II〕(2023·重慶，16)假設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，那么實(shí)數(shù)a＝________.【答案】4或－6【解析】由絕對(duì)值的性質(zhì)知f(x)的最小值在x＝－1或x＝a時(shí)取得，假設(shè)f(－1)＝2|－1－a|＝5，a＝eq\f(3,2)或a＝－eq\f(7,2)，經(jīng)檢驗(yàn)均不適宜；假設(shè)f(a)＝5，那么|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，經(jīng)檢驗(yàn)合題意，因此a＝4或a＝－6.【變式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集為_(kāi)_______．【答案】{x|x≤－3或x≥2}考點(diǎn)二不等式的證明例2．【2023課標(biāo)II，文23】。證明：〔1〕；〔2〕。【答案】(1)證明略；(2)證明略?！窘馕觥拷猓骸?〕因?yàn)樗?，因此【變式探究】?023高考新課標(biāo)2文數(shù)】選修4—5：不等式選講函數(shù)，為不等式的解集．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕詳見(jiàn)解析.由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).②假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，那么(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.綜上，eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要條件．【變式探究】q和n均為給定的大于1的自然數(shù)．設(shè)集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A；(2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.證明：假設(shè)an<bn，那么s<t.1.【2023課標(biāo)1，文23】函數(shù)，．〔1〕當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；〔2〕假設(shè)不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.①當(dāng)時(shí)，①式化為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，①式化為，從而；當(dāng)時(shí)，①式化為，從而.所以的解集為.〔2〕當(dāng)時(shí)，.所以的解集包含，等價(jià)于當(dāng)時(shí).又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.2.【2023課標(biāo)II，文23】。證明：〔1〕；〔2〕?！敬鸢浮?1)證明略；(2)證明略。【解析】3.【2023課標(biāo)3，文23】函數(shù)=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式≥1的解集；〔2〕假設(shè)不等式≥x2–x+m的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】〔1〕；〔2〕1.【2023高考新課標(biāo)1卷】〔本小題總分值10分〕,選修4—5：不等式選講函數(shù).〔I〕在答題卡第〔24〕題圖中畫(huà)出的圖像；〔II〕求不等式的解集．【答案】〔I〕見(jiàn)解析〔II〕2.【2023高考新課標(biāo)2文數(shù)】選修4—5：不等式選講函數(shù)，為不等式的解集．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕詳見(jiàn)解析.3.【2023高考新課標(biāo)3文數(shù)】選修4-5：不等式選講函數(shù)．〔I〕當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；〔II〕設(shè)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．【解析】〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，.解不等式得.因此的解集為.〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.①當(dāng)時(shí)，①等價(jià)于，無(wú)解.當(dāng)時(shí)，①等價(jià)于，解得.所以的取值范圍是.1．(2023·陜西，24)關(guān)于x的不等式|x＋a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求eq\r(at＋12)＋eq\r(bt)的最大值．2．(2023·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，24)函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)假設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.1.【2023高考安徽卷文第9題】假設(shè)函數(shù)的最小值為3，那么實(shí)數(shù)的值為〔〕A.5或8B.或5C.或D.或8【答案】D【解析】由題意，①當(dāng)時(shí)，即，，那么當(dāng)時(shí)，，解得或〔舍〕；②當(dāng)時(shí)，即，，那么當(dāng)時(shí)，，解得〔舍〕或；③當(dāng)時(shí)，即，，此時(shí)，不滿(mǎn)足題意，所以或，應(yīng)選D.2.【2023陜西高考文第15題】設(shè)，且，那么的最小值為【答案】【解析】由柯西不等式得：，所以，得所以，故答案為。3.【2023高考廣東卷文第9題】不等式的解集為.【答案】.4.【2023高考湖南卷第13題】假設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，那么________.【答案】-3【解析】因?yàn)榈仁降慕饧癁?所以為方程的根,即,故填.5.【2023江西高考文第11題】對(duì)任意,的最小值為〔〕A.B.C.D.【答案】C6.【2023重慶高考文第16題】假設(shè)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】令，其圖象如下所示〔圖中的實(shí)線(xiàn)局部〕由圖可知：由題意得：，解這得:所以答案應(yīng)填：7.【2023高考福建文第21〔3〕題】定義在R上的函數(shù)的最小值為.〔I〕求的值；〔II〕假設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，求證：.【答案】〔I〕;〔II〕參考解析〔II〕由〔I〕知,又因?yàn)槭钦龜?shù),所以,即.9.【2023高考江蘇第21題】，證明【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】∵，∴,,∴.10.【2023高考江蘇第21B題】矩陣，向量，是實(shí)數(shù)，假設(shè)，求的值.【答案】【解析】由題意得，解得.∴.11.【2023高考遼寧文第24題】設(shè)函數(shù)，，記的解集為M，的解集為N.〔Ⅰ〕求M；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】〔1〕；〔2〕詳見(jiàn)解析.【解析】故.當(dāng)時(shí)，，于是.12.【2023高考全國(guó)1第24題】假設(shè)，且.〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕是否存在，使得？并說(shuō)明理由.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕不存在．【解析】〔I〕由，得，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為．〔II〕由〔I〕知，．由于，從而不存在，使得．13.【2023高考全國(guó)2第24題】設(shè)函數(shù)=〔Ⅰ〕證明：2；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的取值范圍.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕【解析】〔1〕證明：由絕對(duì)值不等式的幾何意義可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所〔2023·新課標(biāo)I理〕〔24〕〔本小題總分值10分〕選修4—5：不等式選講函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.〔Ⅰ〕當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)＜g(x)的解集；〔Ⅱ〕設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈[－eq\f(a,2)，eq\f(1,2))時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍.【答案】【解析】〔1〕構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)圖像，觀(guān)察可知結(jié)論；〔2〕利用別離參數(shù)法進(jìn)行求解.〔2023·陜西理〕A.(不等式選做題)a,b,m,n均為正數(shù),且a＋b＝1,mn＝2,那么(am＋bn)(bm＋an)的最小值為.【答案】2【解析】由柯西不等式可得〔2〕〔不等式選做題〕在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【解析】因此解集為.〔2023·福建理〕(3).(本小題總分值7分)選修4-5：不等式選講設(shè)不等式的解集為A,且〔Ⅰ〕求的值〔Ⅱ〕求函數(shù)的最小值【答案】〔Ⅰ〕因?yàn)椋遥?，且解得，又因?yàn)?，所以〔Ⅱ〕因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為〔2023·遼寧理〕24．〔本小題總分