專題36圓的方程1．掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。熱點(diǎn)題型一求圓的方程例1、(1)假設(shè)圓心在x軸上、半徑為eq\r(5)的圓O′位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，那么圓O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5(2)如果一個(gè)三角形的三邊所在的直線方程分別為x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，那么該三角形的外接圓方程為_(kāi)_______?！窘馕觥?1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)(a<0)，因?yàn)閳A與直線x＋2y＝0相切，所以eq\r(5)＝eq\f(|a＋2×0|,\r(5))，解得a＝－5，因此圓的方程為(x＋5)2＋y2＝5。(2)因?yàn)槿切蔚娜吽诘闹本€方程分別為x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，解方程組可得三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，分別設(shè)為A(1,2)，B(2,2)，C(3,1)。【提分秘籍】1．求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程。(2)待定系數(shù)法：①假設(shè)條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，那么設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②假設(shè)條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，那么選擇圓的一般方程，依據(jù)條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值。2．確定圓心位置的方法(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上。(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上。(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線。提醒：解答圓的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)。【舉一反三】假設(shè)圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，那么該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A熱點(diǎn)題型二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例2、實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)eq\f(y,x)的最大值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最值?！窘馕觥?1)設(shè)eq\f(y,x)＝k，得y＝kx，所以k為過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率。又x2＋y2－4x＋1＝0表示以(2,0)為圓心，半徑為eq\r(3)的圓，如下圖。當(dāng)直線y＝kx與圓相切且切點(diǎn)在第一象限時(shí)k最大。此時(shí)：【提分秘籍】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題。(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題。(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題。【舉一反三】設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意點(diǎn)，那么(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為()A．6B．25C．26D．36【答案】D【解析】因?yàn)閳A(x－2)2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(2,0)，該圓心到點(diǎn)(5，－4)的距離為eq\r(2－52＋0＋42)＝5，所以圓(x－2)2＋y2＝1上的點(diǎn)到(5，－4)距離的最大值為6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為36。熱點(diǎn)題型三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例3．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡?！窘馕觥咳缦聢D，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，那么線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2)))。但應(yīng)除去兩點(diǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點(diǎn)P在OM所在的直線上時(shí)的情況)。【提分秘籍】求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法【舉一反三】圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)。(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)假設(shè)∠PBQ＝90°，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。1.【2023江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,假設(shè)那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是▲.【答案】【解析】設(shè)，由，易得，由，可得或，由得P點(diǎn)在圓左邊弧上,結(jié)合限制條件，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為.1．[2023·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，那么a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3) D．2【答案】A【解析】由可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，故該圓的圓心為(1,4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3)，應(yīng)選A.2．[2023·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，那么|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．10【答案】C3．[2023·重慶卷]直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸．過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，那么|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2)C．6 D．2eq\r(10)【答案】C【解析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解．由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.4．[2023·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ]直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．假設(shè)|AB|＝2eq\r(3)，那么|CD|＝________.【答案】4【解析】設(shè)圓心到直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0的距離為d，那么弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(12－d2)＝2eq\r(3)，得d＝3，即eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，那么直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0，數(shù)形結(jié)合可得|CD|＝eq\f(|AB|,cos30°)＝4.5．[2023·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R【答案】(x－1)2＋y2＝21．過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【答案】C【解析】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r?！邎A心C在直線x＋y－2＝0上，∴b＝2－a?！遼CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。∴a＝1，b＝1.∴r＝2?！喾匠虨?x－1)2＋(y－1)2＝4。2．圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，那么實(shí)數(shù)m的值為()A．8B．－4C．6D．無(wú)法確定【答案】C【解析】圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，那么x－y＋3＝0過(guò)圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6。3．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過(guò)點(diǎn)C，那么以C為圓心，半徑為eq\r(5)的圓的方程為()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0【答案】C【解析】將直線化為y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直線恒過(guò)定點(diǎn)(－1,2)，故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＝0。4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【答案】A5．過(guò)圓x2＋y2＝4外一點(diǎn)P(4,2)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，那么△ABP的外接圓方程是()A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5【答案】D【解析】設(shè)圓心為O，那么O(0,0)，那么以O(shè)P為直徑的圓為△ABP的外接圓。圓心為(2,1)。半徑r＝eq\f(|OP|,2)＝eq\r(5)。∴圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5。6．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，那么四邊形ABCD的面積為()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C．15eq\r(2)D．20eq\r(2)【答案】B7．假設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y＝0，那么x－2y的最大值為_(kāi)_________?！敬鸢浮?0【解析】方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)為圓心，eq\r(5)為半徑的圓，設(shè)x－2y＝m，那么圓心到直線x－2y－m＝0的距離d＝eq\f(|5－m|,\r(5))∈[0，eq\r(5)]，解得m的最大值為10。8．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，那么圓C的方程為_(kāi)_________。【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝5【解析】∵圓與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴由垂徑定理得圓心在y＝－3這條直線上。又圓心在2x－y－7＝0上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－3,2x－y－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－3，))即圓心C(2，－3)，半徑r＝|AC|＝eq\r(22＋[－3－－4]2)＝eq\r(5)，∴所求圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5。9．圓心在原點(diǎn)且圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩局部的圓的方程為_(kāi)_________?！?/p>