10/102021北京育才學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共5i0分.）1．（5分）已知集合，，1，，則等于A． B． C． D．，2．（5分）命題“，”的否定為A．， B．， C．， D．，3．（5分）下列四組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是A．， B．， C．， D．，4．（5分）下列不等式正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則5．（5分）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為A．， B．， C．， D．，6．（5分）設(shè)，，則的值為A．1 B．0 C． D．7．（5分）已知，，且，那么的最大值等于A．4 B．8 C．16 D．328．（5分）設(shè)，則“”是“”的條件A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要9．（5分）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，，有．則A．（3）（1） B．（1）（3） C．（1）（3） D．（3）（1）10．（5分）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為，觀影人數(shù)記為，其函數(shù)圖象如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調(diào)整后與的函數(shù)圖象．給出下列四種說法：①圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價，并提高成本；②圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低成本；③圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持成本不變；④圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并降低成本．其中，正確的說法是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題：（本大題共6小題。每小題5分。共30分）11．（5分）函數(shù)的定義域為．12．（5分）方程組的解集是．13．（5分）函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且（1），那么．14．（5分）若，則函數(shù)的值域為．15．（5分）設(shè)，，使命題“若，則”為假命題的一組，的值依次為．16．（5分）函數(shù)的定義域為，在，上大致圖像如圖所示，則函數(shù)的零點個數(shù)為．三、解答題：（本大題共7小題，每小題10分，共70分.）17．（10分）已知全集，集合，．（1）求；（2）求．18．（10分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求函數(shù)在，的最大值和最小值；（2）若對于任意都有，求實數(shù)的取值范圍．19．（10分）解下列關(guān)于的不等式．（1）；（2）．20．（10分）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)．21．（10分）已知二次函數(shù)．（1）若函數(shù)的零點是和1，求實數(shù)，的值；（2）已知，設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，且，求實數(shù)的值．22．（10分）通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)學(xué)生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化：講課開始時，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)表示學(xué)生注意力隨時間（分鐘）的變化規(guī)律：越大，表明學(xué)生注意力越集中，經(jīng)過實驗分析得知：（1）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（2）一道數(shù)學(xué)難題，需要連續(xù)講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達到需要的狀態(tài)下講授完這道題目？23．（10分）對于區(qū)間，，若函數(shù)同時滿足：①在，上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)，，的值域是，，則稱區(qū)間，為函數(shù)的“保值”區(qū)間．（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間；（2）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

2021-2022學(xué)年北京市育才學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共5i0分.）1．【分析】可求出集合，然后進行交集的運算即可．【解答】解：，，1，，則．故選：．【點評】本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為全稱命題，則命題的否定為，，故選：．【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．3．【分析】利用兩個函數(shù)具有相同的定義域，對應(yīng)關(guān)系即可判斷．【解答】解：、由于函數(shù)的定義域是，的定義域是，，即兩個函數(shù)的定義域不同，則不對，、由于函數(shù)，即兩個函數(shù)的解析式不同，則不對，、由于函數(shù)的定義域是，的定義域是，即兩個函數(shù)的定義域不同，則不對，、由于函數(shù)，，兩個函數(shù)的定義域解析式都相同，則對．故選：．【點評】本題考查函數(shù)的三要素，兩個函數(shù)是同一個函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個函數(shù)具有相同的定義域，對應(yīng)關(guān)系．4．【分析】．當(dāng)時，；．利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出；．取，，不成立；．時不成立．【解答】解：．當(dāng)時，，因此不正確；．，，正確；．取，，則不成立；．時不成立．綜上可得：只有正確．故選：．【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)零點存在性定理進行判斷即可．【解答】解：因為為連續(xù)函數(shù)，，所以零點所在區(qū)間為，故選：．【點評】本題考查了零點存在性定理，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)是無理數(shù)可求出的值，然后根據(jù)分段函數(shù)的解析式可求出的值．【解答】解：是無理數(shù)則故選：．【點評】本題主要考查了分段函數(shù)的求值，解題的關(guān)鍵判定是否為有理數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】運用基本不等式的變形，化簡整理即可得到所求最大值．【解答】解：，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號．則的最大值為8．故選：．【點評】本題考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先利用絕對值不等式的解法求出不等式的解，然后利用充分條件與必要條件的定義判斷即可．【解答】解：不等式，即，解得，因為，，，所以“”是“”的充分而不必要條件．故選：．【點評】本題考查了絕對值不等式的解法，充分條件與必要條件的定義的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將絕對值不等式進行等價轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】先由奇偶性將問題轉(zhuǎn)化到，，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性比較．【解答】解：是偶函數(shù)（2）又任意的，，，有，在，上是減函數(shù)，又（1）（2）（3）故選：．【點評】本題主要考查用奇偶性轉(zhuǎn)化區(qū)間和單調(diào)性比較大小，在比較大小中，用單調(diào)性的較多，還有的通過中間橋梁來實現(xiàn)的，如通過正負和1來解決．10．【分析】解題的關(guān)鍵是理解圖象表示的實際意義，進而得解．【解答】解：由圖可知，點縱坐標(biāo)的相反數(shù)表示的是成本，直線的斜率表示的是票價，故圖（2）降低了成本，但票價保持不變，即②對；圖（3）成本保持不變，但提高了票價，即③對；故選：．【點評】本題考查讀圖識圖能力，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：（本大題共6小題。每小題5分。共30分）11．【分析】由函數(shù)解析式可得且，由此求得函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，需滿足：，可得且，故函數(shù)的定義域為且，故答案為：且．【點評】本題主要考查求函數(shù)的定義域的方法，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】解方程組，求出方程組的解集即可．【解答】解：，，解得：，方程組的解集是：或，故答案為：或．【點評】本題考查了求方程組的解集，是基礎(chǔ)題．13．【分析】由定義在上的奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可．【解答】解：因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且（1），所以，（1），所以．故答案為：2．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)對號函數(shù)圖像的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：為對號函數(shù)，拐點為，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，的最小值為，故答案為：．【點評】本題主要考查了對號函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像性質(zhì)求值域，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合其圖象判斷．【解答】解：因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，所以當(dāng)或時，命題都為真命題，當(dāng)時，不成立，命題為假題，故答案為：．【點評】本題以命題真假判斷為載體，考查了反比例函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】與的圖象關(guān)于軸對稱，由的圖象可得的圖象，即可得出答案．【解答】解：與的圖象關(guān)于軸對稱，由的圖象可得的圖象為：零點有7個零點，故答案為：7．【點評】本題考查函數(shù)的零點，屬于中檔題．三、解答題：（本大題共7小題，每小題10分，共70分.）17．【分析】（1）根據(jù)二次不等式解出集合，再由集合，最后求交集即可．（2）根據(jù)并集、補集的意義直接求解．【解答】解：（1）由，得，解得，或．，或或．（2），或，，或，或，或．【點評】本題考查簡單的一元二次不等式，以及集合的運算問題，較容易，屬基本題．18．【分析】（1）將代入，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易分析出時函數(shù)取最小值，函數(shù)取最大值，進而得到答案；（2）函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為△，解得即可．【解答】解：（1）當(dāng)時，，對，，則（1），（3）；（2）對于任意都有，則△，解得，故實數(shù)的取值范圍為，．【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．19．【分析】（1）將其轉(zhuǎn)化為，再解之即可；（2）因式分解可得，再分，和三種情況，解之即可．【解答】解：（1），故不等式的解集為；（2）由得，，當(dāng)時，不等式的解集為空集；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為．【點評】本題考查分式不等式，含參一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．【解答】證明：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明如下：的定義域是，，，且，故是定義域上的奇函數(shù)；（2）設(shè)，，，且，則，，，，，，，，，函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性問題，是基礎(chǔ)題．21．【分析】（1），1為方程的兩個根，由韋達定理代入可得解；（2）將展開，將方程的韋達定理代入，可得解．【解答】解：（1）由題可知：，1為方程的兩個根；所以，解得：，；（2）因為，，所以因為、是關(guān)于的方程的兩根，所以△即，所以，，因為，所以，所以；所以，所以或，因為，所以．【點評】本題考查三個二次之間的關(guān)系，利用韋達定理整體代入的處理方法，屬于中檔題．22．【分析】（1）分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，分別求出各段上函數(shù)的最大值，從而得出講課開始多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中；（2）分兩種情形：①當(dāng)時，②當(dāng)時，函數(shù)值為180對應(yīng)的值，則可計算出學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間即可看出是否經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．【解答】解：（1）當(dāng)時，是增函數(shù)，且；當(dāng)時，是減函數(shù)，且．所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘．（2）當(dāng)時，，則；當(dāng)時，令，，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間，所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．【點評】本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，考查運算能力，屬于中檔題．23．【分析】（1）由已知中保值”區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)的值域是，，我們可得，，，從而函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則，結(jié)合即可得到函數(shù)的“保值”區(qū)間．（2）根據(jù)已知中保值”區(qū)間的定義，我們分函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，和函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，兩種情況分類討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．【解答】解：（1）因為函數(shù)的值域是，，且在，的值域是，，所以，，，所以，從而函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故有解得又，所以所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為，．