第一課時3.1二維形式的柯西不等式(一)2.練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2①提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.證法一：(比較法)(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=....=(ad—bc)2>0證法二：(綜合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad—bc)2>(ac+bd)2.(要點：展開f配方)urrIT/r(證法三：(向量法)設(shè)向量m=(a,b),n=(c,d)，則丨m1=a2+b2,|n1=&2+d2.UTRITRITRUTRITRUTR*.*m?n=ac+bd，且mgn=1mIGnIgcos<m,n〉，則丨mgnl<lmIGnI..*證法四：(函數(shù)法)設(shè)f(x)=(a2+b2)x2—2(ac+bd)x+c2+d2，則f(x)=(ax—c)2+(bx—d)2三0恒成立.>IacI+1bdI或a2+b2匪c2+d2>ac+bd.A=[—2(ac+>IacI+1bdI或a2+b2匪c2+d2>ac+bd.iriririr④提出定理2：設(shè)a,0是兩個向量，則Iag|3I<IaII卩I.\a2+b2G；c2iriririr④提出定理2：設(shè)a,0是兩個向量，則Iag|3I<IaII卩I.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）1RlRf討論：上面時候等號成立？（0是零向量，或者a,0共線）⑤練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證Ta2+b2+c2+d2>（a一c）2+（b一d）2.證法：（分析法）平方f應用柯西不等式f討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）教學三角不等式：①出示定理3：設(shè)x,y,x,yeR，貝V/x2+y2+x2+y2>f（x-x）2+（y一y）2.112211^22*1212分析其幾何意義f如何利用柯西不等式證明f變式：若x,y,x,y,x,yeR，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？112233小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點、三點）第二課時3.1二維形式的柯西不等式（二）教學過程：（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2；x2+y2+x2+y2>（x一x）2+（y一y）2Y11y2,2"12123.如何利用二維柯西不等式求函數(shù)y=Px-1+*2-x的最大值？要點：利用變式Iac+bdHa2+b2g“c2+d2.二、講授新課：教學最大（?。┲担撼鍪纠?：求函數(shù)y=3辰—1+>'10—2x的最大值？分析：如何變形？f構(gòu)造柯西不等式的形式f板演f變式：y=\：3x—1+\：10—2xf推廣：y=a、：bx+c+d、：'e—fx,（a,b,c,d,e,feR）+練習：已知3x+2y=1，求x2+y2的最小值.解答要點：(湊配法)x2+y2=￡(x2+y2)(32+22)>￡(3x+2y)2=￡解答要點：教學不等式的證明：①出示例2：若x,yeR，x+y=2，求證：丄+丄>2.+xy分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對比f構(gòu)造）要點：2+(1分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對比f構(gòu)造）要點：2+(1)2]>討論：其它證法(利用基本不等式)②練習：已知a、beR，求證：(a+b)(1+-)>4.+ab練習：ab①已知x,y,a,beR+，且一+—=1，則x+y的最小值.xy要點：x+y=(-+—)(x+y)=….f其它證法xy②若x,y,zeR，且x+y+z=1，求x2+y2+z2的最小值.(要點：利用三維柯西不等式)變式：若x,y,zeR，且x+y+z=1，求、：x+?、；y+az的最大值.+第三課時3.2一般形式的柯西不等式2.提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？答案：(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2；(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)>(ad+be+cf)2二、講授新課：1.教學一般形式的柯西不等式：urururur提問：由平面向量的柯西不等式Ia少1<1aII卩|，如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式?猜想：n維向量的坐標？n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？結(jié)論：設(shè)a,a,L,a,b,b,L,beR，貝V12n12n(a2+a2+La2)(b2+b2+L+b2)>(ab+ab++ab)212n12n1122nn討論：什么時候取等號？(當且僅當-i=一=L=一時取等號，假設(shè)b豐0)TOC\o"1-5"\h\zbbbi可聯(lián)想到一12n可聯(lián)想到一聯(lián)想：設(shè)B=ab+ab++ab，A=a2+a2+La2，C=b2+b2+L+b2，貝有B2-AC>0，1122nn12n12n些什么？討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？(注意分類)nn要點：令/(x)=(a2+a2+???+a2)x2+2(ab+ab+???+ab)x+(b2+b2+??-+b2)，貝y12n1122nn12nnf(x)=(ax+b)2+(ax+b)2+???+(ax+b)2>0.1122nn又a-2+a：+???+a2>0，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，A=[2(ab+ab++ab)1一4(a2+a2+La2)g(b2+b2+L+b2)W01122nn12n12n即有要證明的結(jié)論成立.(注意：分析什么時候等號成立.)④變式：a2+a2+La2>丄(a+a+???+a)2.(討論如何證明)12nn12n2.教學柯西不等式的應用：出示例1：已知3x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值.分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式？f板演f變式：練習：若x,y,zeR，且—i1■—=1，求x++—的最小值.+xyz23114出示例2：若a>b>c，求證：+>.a一bb一ca一c要點：(a-要點：(a-c)(1+亠)=[(a一b)+(b一c)](1+亠)>(1+1)2=4

a一bb一ca一bb一c②提出排序不等式(即排序原理)：設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組:a<a<???12ab+ab+???+ab1122nnac+ac+???+ac1122nn<a;b<b<???<b.c,c,???c是b,b,???,b的任n12n12n12n(同序和)(亂序和)排列,貝有ab+ab+???+ab(反序和)1n2n-1n1當且僅當a=a=???=a或b=b=???=b時，反序和等于同序和.12n12n（要點：理解其思想，記住其形式）2.教學排序不等式的應用：出示例1：設(shè)a,a，…,a是n個互不相同的正整數(shù)，求證：TOC\o"1-5"\h\z12n11aaa1++—+???+<a+2+3+???+n.3n12232n2分析：如何構(gòu)造有序排列？如何運用套用排序不等式？證明過程：設(shè)b,b，…,b是a,a，…,a的一個排列，且b<b<…<b，則b>1,b>2,??-,b>n.12n12n12n12n又1>>>???>，由排序不等式，得2232n2aaabbba+2+3+???+n>b+2+3+???+n>???12232n212232n