《線性代數(shù)》重點題一．單項選擇題1.設(shè)A為3階方陣，數(shù)λ=-3，|A|=2，則|λA|=（）.A．54；B．-54；C．6；D．-6.解.所以填:B.2、設(shè)A為n階方陣，λ為實數(shù)，則|λA|=（）A、λ|A|；B、|λ||A|；C、λn|A|；D、|λ|n|A|.解.|λA|=λn|A|.所以填:C.3.設(shè)矩陣則（）.解.所以填:D.A.；B.；C.；D..4、是3維列向量，矩陣D、32.4=-32.所以填:D..若|A|=4，則|-2A|=（）.A、-32；B、-4；C、4；解.|-2A|=(-2)3=-85.以下結(jié)論正確的是（）.A.一個零向量一定線性無關(guān)；B.一個非零向量一定線性相關(guān)；C.含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；D.不含零向量的向量組一定線性無關(guān).解.A.一個零向量一定線性無關(guān)；不對,應(yīng)該是線性相關(guān).B.一個非零向量一定線性相關(guān)；不對,應(yīng)該是線性無關(guān).C.含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；對.D.不含零向量的向量組一定線性無關(guān).不對,應(yīng)該是:不能判斷.所以填:C.6、A、B、C、D、解.(B)93頁7.設(shè)A,B,C是n階矩陣，下列選項中不正確的是（）.A.若A可逆，則B.若,其中為A的伴隨矩陣；，則；C.若矩陣A可逆，數(shù)k≠0，則；D.對標準矩陣方程，若A，B可逆，則.解.A.若A可逆，則,其中為A的伴隨矩陣；對.B.若，則；對.C.若矩陣A可逆，數(shù)k≠0，則；不對,應(yīng)該是D.對標準矩陣方程所以填:C.，若A，B可逆，則.對.8、矩陣A=的伴隨矩陣A*=（）.A、；B、；C、；D、.解.因為.所以故填A(yù).41頁9.若元齊次線性方程組有非零解,則（）.A.C.；；B.；D.A、B、C都不對.解.A.B.；對.；不對,此時應(yīng)該；不對.此時,僅是有且僅有零解.C.有非零解的一種情況.D.A、B、C都不對.不對.所以填:A.10、（）.A、B、C、；D、解.A、不對.B、40頁(iii),.即有.所以填:B.11.設(shè)向量組線性相關(guān),線性無關(guān),則下列成立是（）.A.可由線性表示；B.可由線性表示；C.不可由線性表示；D.可由線性表示.線性無關(guān)”.①因解.(p90例7.)由題設(shè)“設(shè)向量組線性無關(guān).再由線性相關(guān),線性無關(guān),則線性表示,線性相關(guān).則可由線性表示.②可由而由①知可由線性表示.因此可由線性表示.這與題設(shè)線性無關(guān)不可由線性表示.所以填:C.12、設(shè)A、是二維實向量，則（）.一定線性無關(guān)；B、一定可由線性表出；C、一定線性相關(guān)；D.一定線性無關(guān).解.A不對.B不對.C.因為105頁:n維實向量叫做維實向量的自然基為二維實向量.當然是線性相關(guān)C對.D不對.所以填:C.13.向量空間的一組基為()A.；；B.；C.D..解.A.組基.,所以不是向量空間的一B.；是向量空間的一組基.C.,所以不是向量空間的一組基.D.,所以不是向量空間的一組基.所以填:B.14、設(shè)A是4×6矩陣，R（A）=3，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是（）.A、4；解.B、3；C、2；D、1.矩陣的秩,則元齊次線性方程組的解集的秩現(xiàn)在因此即填:B.15.設(shè)矩陣則必有（）.A.；B.；C.；D..解.A.？因此A不對.B.？因此B不對.C.？因此C對.D.？所以填:C.16、設(shè)A，B，C為同階可逆方陣，則=（）.A、；B、；C、.所以填:C.；D、解。=二．填空題1.設(shè)A=，則A的秩R(A)=.解。,可見R(A)=3.所以R(A)=2、3..解。,其符號為.要它們的列數(shù)：2，4，5，1，3。之后再找它的逆序數(shù)：0+0+0+3+2=5，最后求（-1）的5次冪得-1。所以負.3..解。.所以1.4..解。..則.125.5.設(shè)，則.解。由所以。即.6..解。.7.設(shè)矩陣=，則是.轉(zhuǎn)置矩陣：把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到一個新的矩陣，38頁解。所以8..解。則有.9.設(shè)線性相關(guān),則______.解。k=0.10.______.解。.三．判斷題對的打√，錯的打×1.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式不相等.解不對.應(yīng)填：×.()2.矩陣的乘法不滿足交換律.()解對.應(yīng)填：√.3、矩陣的乘法滿足交換律.解不對.應(yīng)填：×.()4.矩陣有一個2階非零子式,則()解不對.正確應(yīng)為：。應(yīng)填：×.5.矩陣有一個k階非零子式,則()解不對.正確應(yīng)為：。應(yīng)填：×()6.向量組的最大無關(guān)組是惟一的.解不對.應(yīng)填：×.7.向量組可有多個最大無關(guān)組.解對.應(yīng)填：√.()8.行列式的某一列中所有元素都乘以同一數(shù),等于用數(shù)乘此行列式.解。對.應(yīng)填：√.()線性相關(guān)，則可由線性表示.()解不對.應(yīng)填：×.四．計算題1.計算行列式解:.2.已知行列式解：已知，矩陣.計算行列式.,易求得.又由分塊矩陣的運算法則=.3.求齊次線性方程組解:的基礎(chǔ)解系與通解.即得即得基礎(chǔ)解系為從而通解為,.4.求.解：由,可得.經(jīng)計算=，.則可逆，則.于是.5、設(shè)解:,用初等變換法求.所以.6.求下列方程組的通解..解：對增廣矩陣進行初等行變換,有即得非齊次線性方程組的通解：五、證明題1、已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān).證一:.記作證二:.設(shè),則.由線性無關(guān),故.又因,知方程只有零解.所以線性無關(guān)..記作.因,知可逆,故,所以.從而線性無關(guān)..又因線性無關(guān),故,從而2.設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為，證明：證明：(1)因為用反證法證明．假設(shè)由此得則有..這與矛盾，故當時有.(2)由于,則.取行列式得到:此時命題也成立..若則.若由(1)知故有2005-2006學(xué)年第一學(xué)期一．填空題（每小題3分，共15分）1．2.若階方陣A的秩,則0．3．設(shè)，是5階方陣，且3,則基礎(chǔ)解系中含2個解向量．12．4．若３階矩陣的特征值為２，２，３，則5．設(shè)是對稱陣的兩個不同的特征值，是對應(yīng)的特征向量，則0．二．選擇題（每小題3分，共15分）1．若為3階方陣，且，則(C)．Ａ．-4Ｂ．4Ｃ．-16Ｄ．162．設(shè)為階方陣，滿足等式，則必有（Ｂ）．Ｃ．Ａ．或Ｂ．或Ｄ．3．設(shè)元線性方程組，且，則該方程組(Ｂ)Ａ．有無窮多解Ｂ．有唯一解Ｃ．無解Ｄ．不確定4．設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（A）A．組成單位正交向量組B.都是單位向量5．若二次型為正定,則對應(yīng)系數(shù)矩陣A的特征值(Ａ)Ａ．都大于0；Ｂ．都大于等于0；Ｃ．可能正也可能負Ｄ．都小于0C.兩兩正交D.必含零向量三．（8分）計算行列式的值．解．四．（8分）設(shè)，求．解：（或用伴隨矩陣）五．（8分）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解．解：通解方程組，通解為，基礎(chǔ)解系，，（為任意常數(shù)）六．(8分)已知向量，，，求向量組的秩及一個極大線性無關(guān)組，并把其余向量用極大線性無關(guān)組表示．解：極大無關(guān)組，且．七．（10分）討論取何值時，非齊次線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解．解：法1（1）當且時，有，方程組有惟一解；（２）當時，，，所以無解；（３）當時，，，方程組有無窮多解．法2八．（8分）用配方法將二次型化為標準形，并求可逆的線性變換．（或上屆題？）解：，令，即，所以，變換矩陣標準形．九．（10分）求矩陣的特征值與最大特征值所對應(yīng)的特征向量．解：，特征值當時，解得，，的對應(yīng)于的全體特征向量為，）．十．（每小題5分，共10分）1．設(shè)向量組線性無關(guān)，討論向量組的線性相關(guān)性．解：令即因為線性無關(guān)，所以有，由于方程組只有零解，故２．設(shè)為滿足等式線性無關(guān)。的矩陣，證明A可逆，并求．解：所以A可逆，且2008--2009學(xué)年第一學(xué)期A卷得分一、填空題（共75分每空3分）1．設(shè)2．，則-6，，36.,.3．行列式=18，行列式____12_______.;4．兩個向量的內(nèi)積為：3，夾角為：把用施密特正交化方法得:5．若向量6．向量組，則用組合的表達式是.的線性相關(guān)性為：線性相關(guān)，它的秩是3.7．已知向量組α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)線性相關(guān),則k=___2__________.8．若3階方陣A的三個根分別是1，2，3，則方陣A的行列式9．設(shè)矩陣A=向量個數(shù)為3.，則矩陣A的秩為2，線性方程組的基礎(chǔ)解系的10．給定線性方程組,則：當λ≠1且λ≠0時，方程組有唯一解；當λ=1時方程組有無窮解；當λ=0時方程組無解.11．矩陣的特征值為：2、1，對應(yīng)于特征值的特征向量為：.12．設(shè)設(shè)方陣滿足13．二次型,則____________.的矩陣的系數(shù)矩陣為：，該二次型為正定二次型.得分二、計算題（共5分）設(shè)矩陣A=,求矩陣X,使解由AX=A+2E得2’3’即姓名:學(xué)號:系別:年級專業(yè):(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………得分三、計算題（共6分）已知向量組求向量組解的一組極大線性無關(guān)組,并把其余向量用此組向量表示出來.由此可知,為一組極大線性無關(guān)向量組,得分四、計算題（共6分）求非齊次線性方程組解增廣矩陣的通解．2’還原成線性方程組1’可得方程組通解為,為任意常數(shù).2’得分五、限選題（共8分）（經(jīng)管類學(xué)生可選做第1、2小題中的一題，理工類學(xué)生僅限做第2小題）(1)(理工類學(xué)生不做此小題)已知二次型，a）出二次型所對應(yīng)的矩陣b）用配方法將二次型化為標準型，C)寫出相應(yīng)的可逆線性變換矩陣。解a）2’b)2’令即有變換把二次型,化為標準型2’C)對應(yīng)變換矩陣2’(2)（理工類學(xué)生必做此小題）已知二次型a)寫出二次型所對應(yīng)的矩陣,并求參數(shù)b)求出二次型所對應(yīng)的矩陣的特征值的秩為2,c)求正交變換，把二次型化成標準形（不寫正交變換）.解a）2’1’b)解特征方程，得2’C）分別解方程組，得單位特征向量，，；及正交矩陣，正交變換2’把二次型變?yōu)闃藴市?1’2008--2009學(xué)年第一學(xué)期B卷得分一、填空題（共66分每空3分）1．設(shè)矩陣，，則行列式：-6，-12，1/6，36.2.設(shè),,則,,3．設(shè)是三階方陣,,則：8，0其中為的代數(shù)余子式.4．，它的第3行第2列元素0的代數(shù)余子式=-2的伴隨矩陣=.5.向量與向量，則:向量的長度=,夾角=，6．向量該組向量線性相關(guān).，，則向量組的秩等于2，7.設(shè),,,則當2時，線性方程組有唯一解；當時，線性方程組的解=為任意常數(shù).8．設(shè)，是階矩陣，2，則基礎(chǔ)解系中含有3個解向量．9．設(shè)是對稱陣的兩個不同的特征值，是對應(yīng)的特征向量，則0．10設(shè)2階實對稱矩陣的兩個特征值分別為，則矩陣為負定定矩陣，6；多項式，則=55.得分二、選擇題（共14分每空2分）1．設(shè)元線性方程組，且，則該方程組(B)Ａ．無解Ｂ．有唯一解Ｃ．有無窮多解Ｄ．不確定2.設(shè)元線性方程組，且，則該方程組的解由(A)個向量構(gòu)成.Ａ．有無窮多個Ｂ.1Ｃ．Ｄ．不確定3．設(shè)Ａ．為階方陣，滿足等式，則必有（B）．或Ｂ．或Ｃ．Ｄ．4．設(shè)Ａ．為階方陣，滿足等式，則必有（D）．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（C）A．可能不正交B.有非單位向量C.組成單位正交向量組C.必含零向量,則的列向量（A6.階方陣的行列式）Ａ．線性相關(guān)Ｂ．線性無關(guān)Ｃ．Ｄ．7．階方陣的行列式是矩陣可逆的（C）Ａ．充分條件Ｂ．必要條件Ｃ．充要條件Ｄ．無關(guān)條件姓名:學(xué)號:系別:年級專業(yè):(密封線內(nèi)不答題)……………………密………………封………線……線………得分三、計算題（共6分）向量，，請把向量組表示成向量組的線性組合.解4’由此可知2’得分四、計算題（共6分）非齊次線性方程組當取何值時（1）無解；（2）有唯一解；（3）有無窮解，并相應(yīng)的通解．解方程組的系數(shù)矩陣的行列式2’（1）當時，方程有唯一解；1’（2）當（3）當時，方程組無解；時，增廣矩陣1’，可得方程組有無窮多解通解為得分2’五、計算題（共8分）試求一個正交的相似變換矩陣,把矩陣化為對角矩陣解解特征方程，得特征值,得相應(yīng)的特征向量,得相應(yīng)的特征向量3’解方程,.1’解方程,.1’令，1’，正交相似變換，2’2008--2009學(xué)年第一學(xué)期C卷得分一、填空題（共60分每空3分）1．行列式：28，它的第2行第3列元素1的代數(shù)余子式=-2.2．若為3階方陣，且，，則-16，4，1/2.3.設(shè),,則,=.4．設(shè)是３階方陣,，則：3,0.5.向量與向量，則:夾角=，6．向量，，則向量組的秩等于2，該組向量線性相關(guān).7.設(shè),,,則當0時，線性方程組有唯一解；當時，線性方程組的解=（1，-1，0）。8．設(shè)9．設(shè)，是階矩陣，基礎(chǔ)解系中含有1個解向量，則3．是對稱陣的兩個不同的特征值，是對應(yīng)的特征向量，則0．10．設(shè)3階實對稱矩陣的三個特征值分別為，則矩陣為正定矩陣,的行列式6.11．二次型所對應(yīng)的矩陣為,該矩陣的最大特征值是2,該特征值對應(yīng)的特征向量是.得分二、選擇題（共20分每空2分）1．設(shè)元線性方程組，且，則該方程組(B)Ａ．有唯一解Ｂ．有無窮多解Ｃ．無解Ｄ．不確定2.設(shè)元線性方程組個向量構(gòu)成.，且，則該方程組的基礎(chǔ)解系由(C)Ａ．有無窮多個Ｂ．有唯一個Ｃ．3．設(shè)矩陣，為階方陣，滿足等式Ａ.矩陣的行向量由矩陣的行向量線性表示；Ｄ．不確定，則下列錯誤的論述是（B）．Ｂ．矩陣的列向量由矩陣的列向量線性表示；C．;Ｄ．矩陣4．設(shè)矩陣Ａ．的行向量由矩陣的行向量線性表示.，為階方陣，滿足等式，則下列關(guān)于矩陣秩的論述正確的是（D）．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．設(shè)P為正交矩陣，則