04/505/5/2．2不等式2．2.1不等式及其性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式[課程目標(biāo)]1.理解不等號(hào)的意義和不等式的概念，會(huì)用不等式和不等式組表示各種不等關(guān)系；2.理解實(shí)數(shù)大小與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，會(huì)用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??；3.能夠運(yùn)用實(shí)數(shù)的符號(hào)法則及作差比較法解決一些生活中的問題，通過具體問題，學(xué)會(huì)依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題．知識(shí)點(diǎn)一不等關(guān)系與不等式[填一填](1)用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系．(2)含有不等號(hào)的式子，叫做不等式．(3)a≥b即為a>b或a＝b；a≤b即為a<b或a＝b.[答一答]1．說(shuō)明a≤b或a≥b的含義．并判斷“3≥3”提示：不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b”，其含義是指“或者a<b，或者a＝b”，等價(jià)于“a不大于b”，即若a<b與a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．不等式a≥b應(yīng)讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者a>b，或者a＝b”，等價(jià)于“a不小于b”，即若a>b與a＝b之中有一個(gè)正確，則a≥b正確．從集合的觀點(diǎn)看，若a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有{(a，b)|a≥b}＝{(a，b)|a>b}∪{(a，b)|a＝b}，同理，{(a，b)|a≤b}＝{(a，b)|a<b}∪{(a，b)|a＝b}．“3≥3”成立，因?yàn)閍≥b即為a>b或a＝b，也可以說(shuō)成a不小于b，只要a>b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≥知識(shí)點(diǎn)二實(shí)數(shù)的大小比較[填一填](1)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、B的位置關(guān)系與其對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b的大小比較：①數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大．②數(shù)軸上點(diǎn)的位置與實(shí)數(shù)大小的關(guān)系(表示實(shí)數(shù)a和b的兩個(gè)點(diǎn)分別為A和B)(2)推出關(guān)系：①“如果p，則q”為正確的命題，則簡(jiǎn)記為p?q，讀作p推出q.②如果p?q，且q?p都是正確的命題，則記為p?q.(3)用推出符號(hào)表示實(shí)數(shù)的差與它們大小之間的關(guān)系：①a－b>0?a>b；②a－b<0?a<b；③a－b＝0?a＝b.[答一答]2．實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)是什么？提示：在數(shù)軸上不同的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)a與b，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，從實(shí)數(shù)減法在數(shù)軸上的表示(如圖所示)，可以看出a與b之間具有以下性質(zhì)：如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.反之也成立，就是a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.上面等價(jià)符號(hào)的左式反映的是實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，右式反映的則是實(shí)數(shù)大小的順序，合起來(lái)就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系．它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是不等式性質(zhì)的證明，是證明不等式和解不等式的主要依據(jù)．類型一用不等式表示不等關(guān)系[例1]用不等號(hào)表示下列關(guān)系：(1)a與b的和是非負(fù)數(shù)；(2)實(shí)數(shù)x不小于3；(3)實(shí)數(shù)m小于5，但不小于－2；(4)x與y的差的絕對(duì)值大于2，且小于或等于6.[解](1)a＋b≥0；(2)x≥3；(3)－2≤m<5；(4)2<|x－y|≤6.用不等式表示不等關(guān)系，實(shí)際上就是列不等式，列不等式與列方程類似，但要注意“大于”“不小于”“不大于”等關(guān)鍵詞與不等號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.[變式訓(xùn)練1]如下圖，在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：其含義分別為：①最低限速：限制行駛時(shí)速v不得低于50km②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量m不得超過10t；③限制高度：裝載高度h不得超過3.5m④限制寬度：裝載寬度a不得超過3m你能用數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？解：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3.類型二作差法比較大小[例2]已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。甗解]x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]．∵x<1，∴x－1<0.又∵(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴(x－1)[(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]<0，∴x3－1<2x2－2x.作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小可歸納為作差→變形→判斷符號(hào)→下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵，一般變形越徹底越有利于下一步的判斷，常用知識(shí)有因式分解，配方，通分等，另外還要注意分類討論.[變式訓(xùn)練2]比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)x2＋3與3x；(2)a3＋b3與a2b＋ab2，其中a＞0，b>0，a≠b.解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故x2＋3>3x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0，a≠b，∴(a－b)2(a＋b)>0，故a3＋b3>a2b＋ab2.類型三不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用[例3]京滬鐵路上，國(guó)產(chǎn)“和諧號(hào)”CRH380A高速動(dòng)車組跑出了486.1km/[解]設(shè)高速動(dòng)車組的速度為v1，波音飛機(jī)的最高時(shí)速為v2，普通客車的速度為v3，則v1，v2的關(guān)系：2v1＋100≤v2；v1，v3的關(guān)系：v1>3v3.用不等式表示不等關(guān)系的關(guān)鍵在于找出題中體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”等.用代數(shù)式表示相應(yīng)的量，并用與關(guān)鍵詞對(duì)應(yīng)的不等號(hào)連接.要注意“≤”與“≥”中的“＝”能否取到，避免錯(cuò)用.[變式訓(xùn)練3]《鐵路旅行常識(shí)》規(guī)定：“隨同成人旅行身高1.1m～1.4m的兒童，享受半價(jià)客票(以下稱兒童票)，超過1.4m……旅客免費(fèi)攜帶品的體積和重量是：每件物品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過160cm，桿狀物品不超過200cm，重量不得超過設(shè)身高為h(m)，物品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和為P(cm)，請(qǐng)用不等式表示下表中的不等關(guān)系.解析：身高在1.1m～1.4m之間可表示為1.1≤h身高超過1.4m身高不足1.1m物體長(zhǎng)、寬、高之和不超過160cm可表示為P≤1．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是(D)A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：據(jù)題意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故選D.2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是(A)A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.3．已知a＋b>0，b<0，則a，b，－a，－b的大小關(guān)系是(C)A．a(chǎn)>b>－b>－a B．a(chǎn)>－b>－a>bC．a(chǎn)>－b>b>－a D．a(chǎn)>b>－a>－b4．b克糖水中有