河北省邯鄲市第十三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若α是銳角，且cos（）=﹣，則的值等于

（）A． B． C． D． 參考答案：A2.12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是 （

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C3.在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，可以重合），則的最小值為（）A.

B.

C.

D.參考答案：C.試題分析：由題意易得：，作平面于，由對(duì)稱性可知，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，體對(duì)角線上找一點(diǎn)使得最小，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，交直線與點(diǎn),再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度即為所求的最小值，易得，∴，，.考點(diǎn)：立體幾何中的最值問(wèn)題.4.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，則稱甲乙“心有靈犀”?，F(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知某幾何體的三視圖如圖所示．則該幾何體的體積是

（

）．

．

．

．參考答案：B6.已知函數(shù)為R上周期為4的奇函數(shù)，,又，則（

）A

B

C

D

參考答案：B7.某學(xué)生5次考試的成績(jī)(單位:分)分別為85，67，m，80，93，其中,若該學(xué)生在這5次考試中成績(jī)的中位數(shù)為80，則得分的平均數(shù)不可能為（

）A.70 B.75 C.80 D.85參考答案：D【分析】根據(jù)中位數(shù)為，可知，從而得到平均數(shù)小于等于，從而確定結(jié)果.【詳解】已知的四次成績(jī)按照由小到大的順序排序?yàn)椋?，，，該學(xué)生這5次考試成績(jī)的中位數(shù)為，則所以平均數(shù)：，可知不可能為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中的中位數(shù)、平均數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)中位數(shù)確定取值范圍，從而能夠得到平均數(shù)的范圍.8.若為定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與周期性B4【答案解析】C

,則x-4[-1,1],又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，[-1,0]和[0,1]對(duì)稱，所以f（x）=,故選C?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出解析式。9.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)是A.2

B.3

C.4

D.5參考答案：B當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選B.10.已知向量，若，則的最小值為（

）

A．

B．12

C．6

D．參考答案：C因?yàn)?，所以，即，所以。則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以最小值為6，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個(gè)命題：①若

②若；③若

④的最小值為9.其中正確命題的序號(hào)是 .（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）參考答案：答案：②④12.函數(shù)的最小正周期為

參考答案：13.已知，，則向量在向量上的投影為

。參考答案：14.給定集合S={x1，x2，…，xn}（n≥2，xk∈R且xk≠0，1≤k≤n），（且），定義點(diǎn)集T={（xi，xj）|xi∈S，xj∈S}．若對(duì)任意點(diǎn)A1∈T，存在點(diǎn)A2∈T，使得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱集合S具有性質(zhì)P．給出以下四個(gè)結(jié)論：①{﹣5，5}具有性質(zhì)P；②{﹣2，1，2，4}具有性質(zhì)P；③若集合S具有性質(zhì)P，則S中一定存在兩數(shù)xi，xj，使得xi+xj=0；④若集合S具有性質(zhì)P，xi是S中任一數(shù)，則在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．其中正確的結(jié)論有．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論的序號(hào)）參考答案：①③【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】利用集合S具有性質(zhì)P的概念，{﹣5，5}﹣5，5與{﹣2，1，2，4}分析判斷即可；取A1（xi，xi），集合S具有性質(zhì)P，故存在點(diǎn)A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算整理即可證得xi+xj=0；數(shù)列{xn}中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi+xj=0；【解答】解：集合S具有性質(zhì)P，若A1（﹣5，5），則A2（5，5），若A1（﹣5，﹣5）則A2（5，﹣5），均滿足OA1⊥OA2，所以①具有性質(zhì)P，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)A1（﹣2，3）若存在A2（x，y）滿足OA1⊥OA2，即﹣2x+3y=0，即，集合S中不存在這樣的數(shù)x，y，因此②不具有性質(zhì)P，故②不正確；取A1（xi，xi），又集合S具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0，故③正確；由③知，集合S中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi+xj=0；假設(shè)x2≠1，則存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．此時(shí)取A1（x2，xn），集合S具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以當(dāng)x1=﹣1時(shí)x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾，∴xi是S中任一數(shù)，則在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．故④不正確；故答案為：①③15.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：316.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，，若則————參考答案：解析：已知

………………（1）

將（1）改寫(xiě)成

.

而.

所以有

.

即,也即

將該值記為C。則由（1）知，

。于是有，.

而17.球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S﹣ABC的體積的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱性可知，當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，也就是說(shuō)H為AB中點(diǎn)時(shí)，SH最大，棱錐S﹣ABC的體積最大．【解答】解：由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱性可知，當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，也就是說(shuō)H為AB中點(diǎn)時(shí)，SH最大，棱錐S﹣ABC的體積最大．∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以球的半徑r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴體積V=Sh=××22×1=．故答案是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查錐體體積計(jì)算，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定出S位置是關(guān)鍵．考查空間想象能力、計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．(1)求點(diǎn)Q(x，y)的軌跡C的方程；(2)設(shè)曲線C與直線y＝kx＋m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：19.在中，分別為角的對(duì)邊，△ABC的面積S滿足.（1）求角的值；（2）若，設(shè)角的大小為用表示，并求的取值范圍．

參考答案：略20.已知等差數(shù)列{}的公差大于0，且a3，a5是方程－14x＋45＝0的兩根，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且＝（n∈N﹡）．

（Ⅰ）求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記＝·，求證：≤；

（Ⅲ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．參考答案：略21.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x．（Ⅰ）f(0)=

；（將結(jié)果直接填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上）（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：（Ⅰ）解：．

……2分（Ⅱ）解：由題意得.所以.

因?yàn)?，，所以?所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.

…………5分22.若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．（1）求的極值；（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解(1)，．

…………2分當(dāng)時(shí)，．

…………3分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為．

…………6分(2)解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．

…………7分設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

…………8分由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．，

由，得．

…………10分下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．令，則，

………Ks5u