2022年高二數(shù)學(xué)上冊?？碱}專練重難點(diǎn)突破專題01通過空間向量

解決立體幾何中的角度問題(高考真題專練)

題型一直線與平面所成的角

1.(2020?海南)如圖，四棱錐尸-488的底面為正方形，PO1底面/BCD.設(shè)平面尸/。與平面P8C的

交線為/.

(1)證明：平面尸DC；

(2)已知PD=4D=1,。為/上的點(diǎn)，QB=0,求尸8與平面。CO所成角的正弦值.

1/55

2.(2020?山東)如圖，四棱錐P-48CD的底面為正方形，PO_L底面/BCD.設(shè)平面尸/。與平面P8C的

交線為/.

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知PO=ZO=1,。為/上的點(diǎn)，求P8與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

3.（2020?天津）如圖，在三棱柱48C-4及G中，CG1?平面N8C,ACVBC,AC=BC=2,CC,=3,

點(diǎn)。，E分別在棱和棱CC|上，且ZD=1,CE=2,M為棱4片的中點(diǎn).

(1)求證：CMLB、D；

(II)求二面角8-的正弦值；

(111)求直線48與平面。與E所成角的正弦值.

3/55

4.(2021?浙江)如圖，在四棱錐尸-48C。中，底面48CO是平行四邊形，ZJ5C=120°,AB=\,BC=4,

PA=岳,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PD1DC,PMVMD.

(1)證明：AB1PM；

(II)求直線/N與平面PDA/所成角的正弦值.

4/55

5.(2018?浙江)如圖,已知多面體4BC-48G,A,A，B、B，C?均垂直于平面/8C,乙"C=120。，A,A=4,

C,C=1,AB=BC=B、B=2.

(1)證明：ZB|_L平面44G；

(II)求直線ZG與平面48月所成的角的正弦值.

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題型二二面角的平面角及求法

6.（2021?新高考II）在四棱錐0-/8C。中，底面/8CO是正方形，若/。=2,QD=QA=4s,QC=3.

（I）求證：平面Q/。_L平面/BCD；

（II）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

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7.（2020?新課標(biāo)I）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，4E為底面直徑，AE=AD.\ABC

是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=—DO.

6

（1）證明：P4上平面PBC；

（2）求二面角的余弦值.

D

7/55

8.(2019?新課標(biāo)n)如圖，長方體/8CZ)-48￡A的底面48co是正方形，點(diǎn)E在棱上，BE1EC,.

(1)證明：8￡_L平面E8G；

(2)若4E=4E,求二面角8-EC-G的正弦值.

8/55

9.(2021?天津)如圖，在棱長為2的正方體/8CO-/4G2中，E,/分別為棱5C,8的中點(diǎn).

(1)求證：。/〃平面/￡￡；

(2)求直線NG與平面Z￡G所成角的正弦值：

(3)求二面角/-4G-E的正弦值.

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10.(2021?北京)己知正方體48cA-44GR,點(diǎn)E為4A中點(diǎn)，直線用弓交平面C￡>E于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)尸為31cl中點(diǎn);

(2)若點(diǎn)加為棱4用上一點(diǎn)，且二面角M-CF-E的余弦值為正，求生.

3A.B.

10/55

11.(2021?乙卷)如圖，四棱錐尸-48CO的底面是矩形，2。_1底面/8?！?gt;,PD=DC=\,/為8c中點(diǎn),

且「8_L4/.

(1)求8C；

(2)求二面角的正弦值.

11/55

12.（2021?甲卷）已知直三棱柱Z8C-481G中，側(cè)面44田田為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為4c

和CG的中點(diǎn)，。為棱上的點(diǎn)，BFL4自.

（1）證明：BFIDE；

（2）當(dāng)8Q為何值時(shí)，面BBC。與面。尸￡所成的二面角的正弦值最??？

C

13.(2019?新課標(biāo)I)如圖，直四棱柱的底面是菱形，AA,=4,AB=2,ABAD=60°,

E,M,N分別是8C,BB、,%。的中點(diǎn).

(1)證明：血//平面。1。后；

(2)求二面角/-M4-N的正弦值.

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14.(2021?新高考I)如圖，在三棱錐力-88中，平面48。_L平面BCD,AB=AD,。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：OALCD-,

(2)若A。。是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱/。上，DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小為45。,

求三棱錐4-8C。的體積.

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15.（2020?江蘇）在三棱錐4-BCD中，己知C8=CO=0，BD=2,。為8。的中點(diǎn)，ZO_L平面8c7）,

AO=2,￡t為ZC中點(diǎn).

（1）求直線Z8與。E所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)尸在8c上，滿足設(shè)二面角尸-DE-C的大小為0,求sin。的值.

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16.(2020?新課標(biāo)HI)如圖，在長方體工88-，4。］。|中，點(diǎn)￡，尸分別在棱。"，8與上，且2DE=ER,

BF=2FB-

(1)證明：點(diǎn)G在平面ZEF內(nèi)；

(2)若28=2,AD=\,AA,=3,求二面角/-EF-4的正弦值.

16/55

17.（2019?天津）如圖，4E_L平面/8CO,CF//AE,AD!IBC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：BF”平面ADE；

(II)求直線CE與平面也)￡所成角的正弦值；

(III)若二面角E-3。-尸的余弦值為j，求線段CF的長.

3

17/55

18.(2019?新課標(biāo)HI)圖1是由矩形力。E8、RtAABC和菱形8尸GC組成的一個(gè)平面圖形，其中48=1,

BE=BF=2,AFBC=60°.將其沿NB,BC折起使得8E與斯重合，連結(jié)Z)G,如圖2.

圖1圖2

(1)證明：圖2中的Z,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面NBCJ.平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角8-CG-/的大小.

18/55

19.(2018?新課標(biāo)HI)如圖，邊長為2的正方形N8C。所在的平面與半圓弧C。所在平面垂直，M是8上

異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面4WD1平面；

(2)當(dāng)三棱錐A/-/8C體積最大時(shí)，求面M48與面所成二面角的正弦值.

19/55

20.(2018?新課標(biāo)n)如圖，在三棱錐產(chǎn)一Z8C中，AB=BC=2丘,PA=PB=PC=AC=4,。為/C的

中點(diǎn).

(1)證明：2。_1平面/8。；

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且二面角A1-PZ-C為30。，求尸C與平面P/AZ所成角的正弦值.

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21.(2019?北京)如圖，在四棱錐P-48c。中，■平面/BCD,ADLCD,AD!IBC,PA=AD=CD=2,

BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在尸C上，且竺=1.

PC3

(I)求證：C￡)_L平面尸/。；

(II)求二面角F-ZE-P的余弦值；

PG

(川)設(shè)點(diǎn)G在心上，且￡2=47.判斷直線ZG是否在平面/￡尸內(nèi)，說明理由.

PB3

2022年高二數(shù)學(xué)上冊常考題專練重難點(diǎn)突破專題01通過空間向

量解決立體幾何中的角度問題(高考真題專練)

題型一直線與平面所成的角

1.(2020?海南)如圖，四棱錐尸-/BCD的底面為正方形，底面Z8Q).設(shè)平面與平面P8C的

交線為/.

(I)證明：/_L平面PDC；

(2)已知尸。=4。=1,0為/上的點(diǎn)，QB=42,求P8與平面0C。所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：過尸在平面口。內(nèi)作直線

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由4D//BC,可得///8C,即/為平面尸和平面P8C的交線,

PD1ABCD,8Cu平面Z8CD,：.PD1BC,

又BC1CD,CD[yPD^D,.?.8C，平面PCD,

?.?///8C,平面PC。；

(2)解：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線”1,DC,。尸所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

D—xyz,

-.?PD=AD=\,。為/上的點(diǎn)，QB=4i,

PB=y/3,QP=\,

則D(0,0,0),/(I,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),8(1,1,0),作尸。/〃。，則尸。為平面尸/。

與平面尸8c的交線為/,因?yàn)椤?=0,AQ48是等腰直角三角形，所以0(1,0,1),

則麗=(1,0,1),而=(1,1,-1),DC=(0,1,0),

設(shè)平面0CZ)的法向量為萬=(“，b,c),

皿仿?反=0(b=0內(nèi)，口一

則<r]，取c=l,可得萬=(—1,0,1),

n-DQ=0[a+c=0

,—n-PB-1-1正

..cos<〃，PB>=--------——7=-f=——,

\n\\PB\V3-V23

PB與平面。CO所成角的正弦值為9.

2.(2020?山東)如圖，四棱錐尸-/SC。的底面為正方形，尸。_L底面48c。.設(shè)平面產(chǎn)月。與平面P8C的

交線為/.

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(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知尸。=4)=1,0為/上的點(diǎn)，求P8與平面0CD所成角的正弦值的最大值.

【解答】解：(1)證明：過P在平面P/。內(nèi)作直線〃/4。，

由ZO//8C,可得I//BC,即/為平面尸和平面PBC的交線，

PO_L平面/8CZ),BCu平面N5CD,:.PDLBC,

又BCLCD,CDp\PD^D,.18C_L平面PCD,

???///5C,平面PCD；

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線D4,DC,。尸所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。(0,0,0),4(1,0,0),C(0,1,0),尸(0,0,1),8(1,1,0),

設(shè)0("?,0,1),DQ={m,0,1),方=(1,1,-1),OC=(0,1,0),

設(shè)平面0C。的法向量為行=(a,b,c),

[n-DC=0伍=0"口一

則nl11，取a=—1,可得拓=(—1,0,機(jī))，

n-DQ=0[am+c=0

23/55

一n,rD—L—m

cos<n,PB>=----=-=——.

岡一|尸8|V3-71+?r

PB與平面。。所成角的正弦值為=—?J1+2m+nr

行7i工73V1+m2

邛,任咚￥61=爭當(dāng)且僅當(dāng)用取等號，

PB與平面。。所成角的正弦值的最大值為坐.

3.(2020?天津)如圖，在三棱柱48C-4AG中，CG，平面Z8C,ACLBC,AC=BC=2,CC,=3,

點(diǎn)Q,E分別在棱和棱CG上，且4。=1,CE=2,〃為棱&氐的中點(diǎn).

(I)求證：C；M_L8Q；

(II)求二面角8-8|E-Z)的正弦值；

(III)求直線與平面。片E所成角的正弦值.

【解答】解：以C為原點(diǎn)，CA,CB,西的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則C(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2,0),G(°，。，3),

4(2,0,3),4(0,2,3),D[2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3),

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(I)證明：依題意，GM=(1,1,0),BQ=(2,-2,-2),

.,.物?&萬=2-2+0=0,:.CtM1B.D；

(H)依題意，C4=(2,0,0)是平面的一個(gè)法向量，

函=(0,2,1),ED=(2,0,-1),

設(shè)無=(x,y,z)為平面Z)81E的法向量，

.[n■EB.=0?.[2y+z=0,

則ri<_J,即r1,不妨設(shè)x=l,則萬=(1,-1,2),

n-ED=0[2x-z=0

cos<C4>n>=萬=—,

\CA\.\n\6

sin<CAtn>=

二面角的正弦值嚕:

(III)依題意，AB=(-2,2,0),

由(H)知，萬=(1,-1,2)為平面。片￡的一個(gè)法向量,

,cos<在，3>=歹=-也,

|43|?問3

直線AB與平面DB、E所成角的正弦值為巫

13

4.(2021?浙江)如圖，在四棱錐尸―/BCD中，底面/8CD是平行四邊形，ZABC=U00,AB=\,BC=4,

尸4=店，M,N分別為BC,尸C的中點(diǎn)，PD工DC,PMLMD.

(I)證明：AB1PM；

(II)求直線4V與平面尸￡)/所成角的正弦值.

25/55

【解答】（I）證明：在平行四邊形/8C。中，由已知可得，CD=4B=1,

CM=-BC=2,ADCM=60°,

2

二由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDxCMxcos60°

=l+4-2xlx2x—=3,

2

則=1+3=4=。用2,即

又PDLDC,PD[\DM=D,；.COJ_平面PDM,

而尸Mu平面PDM,CDLPM,

?：CD11AB,ABLPM；

（H）解：由（I）知，81平面PDM,

又CDu平面ABCD,平面ABCD，平面PDM,

且平面ABCDC平面PDM=DM,

■：PMLMD,且PMu平面PDA/,PM_L平面N5C￡）,

連接AM,則PMLMA,

在A/18A/中，AB=\,BM=2,ZABM^120°,

可得ZA/2=i+4-2xlx2x（-；）=7,

又PA=屈,在RtAPMA中，求得PM=J尸力2-又/2=2五,

取中點(diǎn)E,連接ME,則ME7/CD,可得ME、MD、MP兩兩互相垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME、MP為x、y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則”（-6，2,0）,P（0,0,2夜），C（A/3,-1,0）,

26/55

平面PDM的一個(gè)法向量為n=(0,1,0)，

設(shè)直線AN與平面PDM所成角為6,

5

則sin0=|cos<AN,n>|=元]

\AN\-\n\325,.「6

---1----F2x1

44

故直線/N與平面尸DM所成角的正弦值為姮.

6

5.(2018?浙江)如圖，已知多面體48C-44G，A\A，B&,GC均垂直于平面/8C,48c=120。，4/=4,

GC=1,AB=BC=B、B=2.

(I)證明：4811.平面4AG；

(II)求直線與平面所成的角的正弦值.

【解答】（/）證明：???//，平面月8C,q8,平面ZBC,

/.AAJ/BB、,

AA1—4，BB]=2,AB=2,

27/55

2

"4=y](AB)+(AAt=2A/2,

2

又4B[=y)AB+BB~=2V2,AA^=AB;+AtB；,

/.AB}_L44，

同理可得：4B|JL尾G，

又4片「|86=用，

AB,，平面481G.

(〃)解：取/C中點(diǎn)O,過。作平面力8C的垂線。。，交4cl于。，

?:AB=BC,:.OBLOC,

AB=BC=2,ABAC=120°,OB=1,OA=OC=-J3,

以。為原點(diǎn)，以08,OC,所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

則/(0,-6，0),8(1,0,0),耳(1,0,2),G(。，乖>，1)，

.?.益=(1,50),函=(0,0,2),布=(0,26,1),

設(shè)平面力網(wǎng)的法向量為弁=(x,y,z),則n?竺AB=Q，

n>BB,=0

,x+y/3y0,令了=]可得萬=,0),

2z=0

K、_萬冠_26_廊

.,.COS<7-7,AC.>=---.—....T==--.

\n\\AC{\2義屈13

設(shè)直線4G與平面ABB1所成的角為。，則sin。=|cos<瓦4cl>|=-

直線AC,與平面ABB,所成的角的正弦值為嚕.

28/55

題型二二面角的平面角及求法

6.(2021?新高考II)在四棱錐Q-/18C。中，底面/BCD是正方形，若4。=2,QD=QA=45,QC=3.

(I)求證：平面_L平面488；

(II)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

【解答】(1)證明：A0C。中，CD=AD=2,QD=4s,。。=3,所以8?=0C?,所以CO_L0￡>；

又CDLAD,ADp\QD=D,/Ou平面Q/D,QOu平面Q/。，所以CD1平面0/。；

又cou平面/8cz),所以平面3。i平面”8ax

(II)解：取ZD的中點(diǎn)。，在平面內(nèi)作Or，力。，

以O(shè)D為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-刈z,如圖所示：

29/55

則。(0,0,0),8(2,-1,0),0(0,1,0),。(0,0,2),

因?yàn)镺x_L平面/DQ,所以平面/。。的一個(gè)法向量為&=(1,0,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為6=(x,y,z),

由麗=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),

得M.吧=°,即產(chǎn)+2〉=。，

B.DQ=0[-y+2z=Q

令z=l,得y=2,x=2,所以￡=(2,2,1)；

左B=2+0+0=2

所以cos<R,B>=

\a\-\p\lxJ4+4+13

所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值為|.

7.(2020?新課標(biāo)I)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，/E為底面直徑，AE=AD.MBC

是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，PO=^-DO.

6

(1)證明：尸/，平面尸8C；

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

30/55

D

【解答】解：（1）不妨設(shè)圓。的半徑為1,0A—0B-0C—1,AE=AD=2AB=BC=AC=6,

DO=-JDA2-OA2=瓜PO=—DO=—,

62

PA=PB=PC=y1PO2+AO2=—，

2

在A/2C中，PA2+PC2=AC2,故

同理可得PZ1P8,又PB「\PC=P,

故P/J_平面PBC；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有8(4，1，0),C(-g，:，0),P(0,0,當(dāng)，E(0,1,0),

22222

故》=(-V3,0,0),C￡=(y,；,0),而=(當(dāng),-*5，

設(shè)平面PCE的法向量為斤=(x,y,z),

且

“

一

位

方=o2x+—y=0

由

<得

而

且-，取x=1,則y=-y/3,z=-y/6,

萬O

=1y/2

2x---yH----z=0A

22

所以平面PCE的法向量為n=(1,-V3,-V6),

由(1)可知PZ,平面PBC,不妨取平面尸8c的法向量為刀=(0,1,日)，

故cos。=J%"=2,即二面角8-PC-E的余弦值為2好.

\PA\\n\55

31/55

8.（2019?新課標(biāo)II）如圖，長方體/8CD-48CQ的底面是正方形，點(diǎn)E在棱/4上，BE±EC,.

（1）證明：8EJ.平面E81G；

（2）若AE=A、E,求二面角3-EC-G的正弦值.

（解答】證明：（1）長方體ABCD-中，B?1平面ABA}B},

B?1BE,'：BE±EC、,

?：4GnEC[=C,,BE_L平面EBC.

解：（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4E=4E=1,則8E=E4，平面E81G，:.BELEB、,

BE2+EB；=2BE2=BB；=4,:.BE?=2,

AE2+AB2=1+AB2=BE2=2,:.AB=\,

則E(l,1.1),4(1,1,0),5,(0,1,2),C,(0.0,2),C(0,0,0),

32/55

BC1EB、,EB、1面EBC,

故取平面EBC的法向量為而=西=(-1,0,1),

設(shè)平面ECG的法向量萬=(x，y，z),

4萬?函=0有|z=0,3

由/_'，得《，取x=l,得萬=(1,-1,0),

n-CE=0[x+y+z=0

二面角8-EC-G的正弦值為等.

9.(2021?天津)如圖，在棱長為2的正方體488-44GA中，E,尸分別為棱8C,8的中點(diǎn).

(1)求證：。尸//平面4EG；

(2)求直線“G與平面4EG所成角的正弦值；

(3)求二面角N-4G-E的正弦值.

【解答】(1)證明：以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則4(0,0,2),EQ,1,0),C,(2,2,2),

33/55

故函=(2,2,0),西=(0,1,2),

設(shè)平面4EG的法向量為五=(x,y,z),

則y至二。,即尸片。，

n-ECt=0[y+2z=0

令z=l,則x=2,y=-2,故萬=(2,-2,1),

又/(1,2,0),2(0,2,2),

所以西=(-1,1,2),

則萬?西=0,又。尸《平面&EC,

故￡(3//平面&EG；

(2)解：由(1)可知，布=(2,2,2),

則Ie。,,瓦葡=占=

故直線ZG與平面4EG所成角的正弦值為多；

(3)解：由(1)可知，AA,=(0,0,2),

設(shè)平面441G的法向量為訕=(a,b,c),

.in-AA.=0[c=0

則n1,，即nrl,，

而4G=0〔a+b=0

令Q=1,貝(Jb=—1,故玩=(1,一1,0),

mi”?__?\m-n\42V2

所以|cos<九〃>|==二―7T=-T

Itn||nI3xj23

故二面角4-4G-E的正弦值為

34/55

2

D

10.(2021?北京)已知正方體力BCD-481GA，點(diǎn)E為44中點(diǎn)，直線4G交平面CDE1于點(diǎn)F.

(1)求證：點(diǎn)尸為8c中點(diǎn);

(2)若點(diǎn)〃為棱/蜴上一點(diǎn)，且二面角M-Cr-E的余弦值為好，求4絲.

3

【解答】(1)證明：連結(jié)。E，

在正方體ABCD-44G0中，CD/IC\D\,CRu平面/耳。自,CD仁平面44GA，

則CD//平面48C4，因?yàn)槠矫?4GAC平面CDEF=M,

所以CD//EF,則EF//CQ,

故A\BJIEFUC\D\,又因?yàn)?A〃耳G，

所以四邊形4用戶E為平行四邊形，四邊形EFGA為平行四邊形，

所以4E=81F,ED,=FC],

而點(diǎn)E為40的中點(diǎn)，所以4E=￡R,

故B、F=FC,,則點(diǎn)尸為8G的中點(diǎn)；

(2)解：以點(diǎn)用為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體邊長為2,設(shè)點(diǎn)M(/M,0,0),且〃?<0,

35/55

則C(0,2,-2),E(-2,1,0),尸(0,1,0),

故而=(-2,0,0),FC=(0,1,-2),FM=(m,-1,0),

設(shè)平面CMF的法向量為in=(a,6,1),

,m-FM=0ma-b=0

則n《_,即ard

m-FC=06—2=0

所以a=2,b=2,故而=(2,2,1),

mm

設(shè)平面COE/7的法向量為k=(x,y,l),

?FE-0\-2x=0

則_，即。八，

nFC=01^-2=0

所以x=0,y=2t故斤=(0,2,1),

因?yàn)槎娼荂b-E的余弦值為好，

3

則|cos<m,ii>|=，療'"?,=-------=—,

加阿歷3

Vm"

解得加=±1,又加<0,

所以〃2=-1,

..AM1

故」}一=-

36/55

dB

11.(2021?乙卷)如圖，四棱錐P-/8co的底面是矩形，尸。，底面為BCD,PD=DC=1,A/為8c中點(diǎn),

且尸5_L.

(1)求8C；

(2)求二面角的正弦值.

【解答】解：(1)連結(jié)8。，因?yàn)槭?底面/8C。，且/"u平面Z8CD,

則力M_LP。，又4MJ.PB,PBCPD=P,PB,尸。＜3平面28。，

所以J.平面PBD，又8。u平面PBD,則AMA.BD,

所以48。+//。3=90°,又ZABD+ZMAB=90。,

貝ij有NADB=Z.MAB,所以RtADAB^RtAABM,

則任=里，所以18c2=1,解得8C=&；

ABBM2

(2)因?yàn)椤?,DC,OP兩兩垂直，故以點(diǎn)。位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則/(四,0,0),8("1,0),〃(4,1,0),尸(0,0,1),

所以/?=(-&,0,1),/”=(一芋,1,0),麗=(_芋,0,0),8尸=(_6_1,1),

設(shè)平面AMP的法向量為n=(x,y,z),

37/55

-yflx+z=0

n-AP=0

則有，,即O

n'AM=0--—x+y=0

令x=4i,則y=l,z=2,故/=(后,1,2),

設(shè)平面8Mp的法向量為而=(p,?,r),

m-BM=0

則有，即，聿=。

in-BP=0_gp_q+r=0

令q=1,則r=1,故加=(0,1,1),

所以|cos〈元而＞|=?皿=/1=亞

\ii\\m\T7xV214

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12.（2021?甲卷）已知直三棱柱/5C-4AG中，側(cè)面44田田為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC

和C￡的中點(diǎn)，。為棱上的點(diǎn)，BF工4出.

（1）證明：BFIDE；

（2）當(dāng)8Q為何值時(shí)，面88CC與面。在所成的二面角的正弦值最?。?/p>

【解答】(1)證明：連接ZF,

-：E,F分別為直三棱柱/5C-44G的棱ZC和的中點(diǎn)，且/8=8C=2,

：.CF=\,BF=>/5,

?：BF14B,,AB“&B\,

BF±AB

222

AF=4AB、BF=打+(歷=3,AC=〃尸-c尸=A/3-1=2&,

AC2=AB2+BC2,BPBAVBC,

故以8為原點(diǎn)，BA,BC,8片所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),￡(1,1,0),F(0,2,1),

設(shè)BQ=m,則。(加,0,2),

.,.麗=(0,2,1),DE=(l-m,I,-2),

BFDE=0,^BFIDE.

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(2)解：平面88CC，，平面88CC的一個(gè)法向量為萬=(1，0,0),

由(1)知，DE=(\-m,1,-2),EF=(-\,1,1),

、“e.?,、-—1=.、，,,f?-DE=0?,[(1-m)x+y-2z=0

設(shè)平面QEF的法向量為萬=(x,y,z),r則1_，即r「，

n-EF=Q[-x+y+z=0

令x=3,貝!|y="?+l,z=2—m,n=(3,m+l,2-m)>

__pn333

cos<p,n>=------=----/—=/=1

222

lp|'l?llx79+(/n+l)+(2-w)V2m-2/M+14J2(w_+27

.?.當(dāng)加=1?時(shí)，面BAG。與面。FE所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，

故當(dāng)用。=；時(shí)，面881GC與面。自￡所成的二面角的正弦值最小.

y

13.(2019?新課標(biāo)I)如圖，直四棱柱Z8C。-/4GB的底面是菱形，441=4，48=2,ABAD=60°,

E,M,N分別是SC,BB、,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MM//平面CQE；

(2)求二面角Z-A/q-N的正弦值.

B

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【解答】（1）證明：如圖，過N作則NH//44,且NH=?4,

又MBUAA、,MB=^AA],二四邊形為平行四邊形，則NM//BH,

由N/7//Z4，N為4。中點(diǎn)，得〃為中點(diǎn)，而E為BC中點(diǎn)，

:.BE//DH,BE=DH,則四邊形BE。，為平行四邊形，則BH//DE,

NM/IDE,

???NA/仁平面CQE,OEu平面CQE,

.,.比乂//平面CQE；

（2）解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于。C的直線為x軸，以。C所在直線為y軸，以。。所在直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

則N（亭，2）,M（百，1,2）,4（百，-I,4）,

NM=（^-,^,0）,7V4=（亭,-；,2）,

設(shè)平面A]MN的一個(gè)法向量為撫=（x,y,z），

-A7I~7,^33

m-NM=——x+—y=0

由＜J.2,取x=6，得而=（G,-i,-i）,

t-n-NA,=——x--1--y+2oz=0八

122

又平面MAAi的一個(gè)法向量為n=（1,0,0），

mnV3V15

/.cos<m.n>=

\m\-\n\~l/5~~

.?二面角-N的正弦值為yj\-cos2<m,n>=

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14.(2021?新高考I)如圖，在三棱錐Z-8C￡>中，平面，平面8CZ),AB=AD,。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：OA1CD-,

(2)若AOCO是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)￡在棱/。上，DE=2EA,且二面角E-8C-。的大小為45。,

求三棱錐88的體積.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)?8=/力，。為8。的中點(diǎn)，所以

又平面工5。1.平面BCD,平面48。C平面BCD=8。，/0<=平面/8。，

所以/。上平面8C。，又CDu平面BCD,

所以ZOIC。；

(2)方法一：

取OD的中點(diǎn)尸，因?yàn)锳OCD為正三角形，所以CF，。。，

過。作OM//C尸與8C交于點(diǎn)M,則OW10D,

所以。OD,Q4兩兩垂直，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M,OD,為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

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cg,；,o)，。(0，1，0),

則B（0,-1,0）,

設(shè)4（0,0,則E（0,皆）,

因?yàn)椤?_L平面3C。，故平面8。的一個(gè)法向量為況=(0,0,f),

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),

—.J33—?4It

V33

——x+—y=n0

LLt、l?-BC=0/口

所以由<_，得《22

nBE=G42/八

—y+—z=0

33

令x=6，則y=_],z=—,故萬=（省,一1,2）,

tt

因?yàn)槎娼荅-BC-Q的大小為45。,

所以|cos<萬,OA>|=?萬2fl

MIQI

解得/=1,所以O(shè)A=1,

又4。0>=；X1X1X9=冷,所以九8=*，

故七一加力=；?SMCO等乂1=*.

方法二：

過E作EFLBD,交8。于點(diǎn)尸，過尸作EG_L8C于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

由題意可知，EF//AO,又40,平面8C。

所以EF_L平面BCD,又SCu平面8CQ,

所以EF_L8C,又BC上FG,FG^\EF=F

所以8cd.平面EFG,又Mu平面EFG,

所以8c_LEG,

則ZEGF為二面角E-BC-D的平面角，即NEGF=45°,

又CD=DO=OB=OC=l,

所以ZBOC=120。，則NOCB=NOBC=30°,

故/8。=90°,

43/55

所以FG//CD,