第五節(jié)松弛法第一頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods第二頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods第三頁，共十四頁，2022年，8月28日Gauss-SeidelIterativeMethod…………寫成矩陣形式：BGauss-Seidel

迭代陣§5RelaxationMethods第四頁，共十四頁，2022年，8月28日Gauss-Seidel…………第五頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods第六頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods第七頁，共十四頁，2022年，8月28日定理設(shè)A

可逆，且aii0，松弛法從任意出發(fā)對某個收斂

(L)<1?！?RelaxationMethods第八頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods定理

（Kahan必要條件）設(shè)A

可逆，且aii0，松弛法從任意出發(fā)收斂0<<2

。證明：，而且收斂|i|<1總成立已知收斂|det(L)|<1|det(L)|=|1|n<10<<2

第九頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods定理

（Ostrowski-Reich充分條件）若A對稱正定，且有0<<2，則松弛法從任意出發(fā)收斂。（證明以后給出）Q:Whatfactordeterminesthespeedofconvergence?A:

Thesmaller

(B)is,thefastertheiterationswillconverge.對于SOR法，希望找使得(L)

最小。第十頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethods定理若A

為對稱正定三對角陣，則且SOR的最佳松弛因子

/*optimalchoiceofforSORmethod*/為，此時。例：，考慮迭代格式問：取何值可使迭代收斂？

取何值時迭代收斂最快？解：考察B=I+A

的特征根1=1+,2=1+3

收斂要求

(B)<1-2/3<<0

(B)=

max{|1+

|,|1+3

|}

當(dāng)取何值時最??？-2/3-1/30=-1/2第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethodsLab08.SORMethod UsetheSORmethodtosolveagivenn×nlinearsystemwithaninitialapproximationandasetof’s.Input Thereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger100

n

0whichisthesizeofamatrix.n=1signalstheendoffile. Thefollowingnlinescontaintheaugmentedmatrixinthefollowingformat:Thenumbersareseparatedbyspacesandnewlines.ThenextlinecontainsarealnumberTOL,whichisthetolerancefor||·||norm,andanintegerN

0whichisthemaximumnumberofiterations.Thelastlineofeachtestcasecontainsanintegerm>0,followedbymreal’s.第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethodsOutput(representsaspace)Foreach,theremustbeasetofoutputsinthefollowingformat:

The1stlinecontainsanandthecorrespondingnumberofiterationstaken.IntheCprintf:fprintf(outfile,"%4.2f%d\n",omega,iter_no);Thecorrespondingsolutionorerrormessagesaretobeprintedasthefollowing:

EachentryofthesolutionistobeprintedasintheCfprintf:fprintf(outfile,"%12.8f\n",x);

IfthematrixAhasazerocolumn,printthemessage“Matrixhasazerocolumn.Nouniquesolutionexists.\n”.

IfthemethodfailstogiveasolutionafterNiterations,printthemessage“Maximumnumberofiterationsexceeded.\n”.

Ifthereisanentryofthatisoutoftherange[2127,2127],printthemessage“Noconvergence.\n”.Theoutputsoftwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.注意：檢查每個aii時，先向下找最大元，若非0則交換到對角線上；否則向上找最大元，若非0則將該行加到第i行上。第十三頁，共十四頁，2022年，8月28日§5RelaxationMethodsSampleInput(representsaspace)34–101–14–140–14–30.000001100021.051.2310–109–110–270–41060.000000001100011–1

SampleOutput(represe