第八講相似性設(shè)計(jì)第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、相似理論的基本概述與基本概念為什么設(shè)計(jì)一條新船型通常需做模型實(shí)驗(yàn)?第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日解決實(shí)際中流體力學(xué)問題，通常有兩種途徑

：

實(shí)際流動現(xiàn)象很復(fù)雜，一般難以用微分方程來描述。即使能夠建立微分方程，由于數(shù)學(xué)上的困難，往往也難于求解。因此，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究是解決許多流體動力學(xué)問題的重要手段。建立描述流動過程的微分方程式，給定初始條件、邊界條件對微分方程求解（例如解N-S方程）通過實(shí)驗(yàn)尋求流動過程的規(guī)律性

第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日問題的提出：1.實(shí)驗(yàn)條件如何安排？（設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母鶕?jù)）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，需要解決什么問題？

3.試驗(yàn)結(jié)果如何換算？（試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際流動之間服從什么關(guān)系）

2.試驗(yàn)數(shù)據(jù)如何整理？

解決上述三個問題，是進(jìn)行流體力學(xué)試驗(yàn)研究的基本問題。模型試驗(yàn)是對真實(shí)流動現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的再現(xiàn)，目的是揭示流動的物理本質(zhì)。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日相似理論？相似理論是研究自然界和工程中各種物理過程相似原理的學(xué)說，可以把個別現(xiàn)象的研究結(jié)果推廣到所有相似的現(xiàn)象中，以減少試驗(yàn)次數(shù)。早在1606～1638年間，俄國學(xué)者米哈伊洛夫、意大利學(xué)者伽利略等都從力學(xué)相似的某種情況提出過相似的概念。直到1848年，法國科學(xué)院院士伯朗特在分析力學(xué)方程的基礎(chǔ)上首先確定了相似現(xiàn)象的基本性質(zhì)，提出了相似第一定理。十九世紀(jì)初俄國學(xué)者費(fèi)德爾曼和基爾皮喬夫等相繼提出了相似第二定律和相似第三定律。當(dāng)前相似理論已廣泛的應(yīng)用于水力學(xué)、空氣動力學(xué)、爆炸問題和天體物理學(xué)等領(lǐng)域。

第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日相似理論在許多流體機(jī)械中被廣泛應(yīng)用，特別是葉輪式流體機(jī)械。相似理論的用途：⑴相似設(shè)計(jì)（?；O(shè)計(jì)）——新產(chǎn)品仿造⑵相似計(jì)算（性能參數(shù)換算）——兩相似機(jī)或一機(jī)因n不同而進(jìn)行的其它參數(shù)的換算。⑶相似實(shí)驗(yàn)（模型實(shí)驗(yàn)）——用模型替代實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。利用相似理論進(jìn)行設(shè)計(jì)、制造和實(shí)驗(yàn)在科技、工程等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。相似理論及應(yīng)用第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日模型試驗(yàn)的意義模型試驗(yàn)作為一種研究手段，可以嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)對象的主要參量而不受外界條件的限制；模型試驗(yàn)有利于在復(fù)雜的試驗(yàn)過程中突出主要矛盾，便于把握、發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系；與原型相比，尺寸一般是按比例縮小的，容易制造，節(jié)省資金、人力、時間和空間；能預(yù)測和探索尚未建造出來或根本不能進(jìn)行直接研究的事物對象的性能；第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日模型試驗(yàn)的意義對于自然界一些變化緩慢的現(xiàn)象，模型可以加快其研究進(jìn)程，而對于一些稍縱即逝的現(xiàn)象，模型可以減緩其過程；當(dāng)其他各種分析方法或?qū)嶒?yàn)方法不能采用時，模型試驗(yàn)成了現(xiàn)象研究唯一的研究手段。第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日1.幾何相似:

對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。

原型流動Prototype模型流動Model對用邊成比例:對應(yīng)角相等：第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.運(yùn)動相似對應(yīng)點(diǎn)上，流體質(zhì)點(diǎn)速度的方向相同，大小成比例。第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日運(yùn)動相似的兩個流動系統(tǒng)中，對應(yīng)流體質(zhì)點(diǎn)位移對應(yīng)距離所需的時間間隔成比例：Ｃｖ，ＣL均為常數(shù)，則Ｃｔ也為常數(shù)，即運(yùn)動相似的系統(tǒng)，時間也相似。

運(yùn)動相似必須以幾何相似為前提。第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

Ｃｖ，Ｃｔ均為常數(shù)，則Ｃａ也為常數(shù)，即運(yùn)動相似的系統(tǒng)中，加速度也相似。

運(yùn)動相似的系統(tǒng)，對應(yīng)點(diǎn)的加速度也相似。第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日3、動力相似在對應(yīng)點(diǎn)上，同名力的方向相同，大小成比例第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日對于各種同名力，應(yīng)成同一比例

在原形和模型兩個系統(tǒng)中，若動力相似，對應(yīng)點(diǎn)上的各種力組成的力多邊形應(yīng)相似，故每兩邊之間的夾角應(yīng)相等。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日其他相似條件時間相似:兩個相似流動中各種參數(shù)對于時間的變化過程相似，并完成一個特定的流動過程所用的時間成比例。熱力相似：兩個流動過程內(nèi)部的熱功轉(zhuǎn)化過程和熱量傳遞過程相似。物性相似：兩個流動對應(yīng)點(diǎn)上介質(zhì)的物性參數(shù)，如密度、粘性系數(shù)、比容成比例。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、相似定理相似準(zhǔn)則（判據(jù)）：流動現(xiàn)象的特征量所組成的無量綱組合數(shù)。相似準(zhǔn)則的作用：判斷兩個現(xiàn)象是否相似；

在進(jìn)行模型試驗(yàn)時，模型系統(tǒng)與實(shí)物系統(tǒng)的特征物理量之間應(yīng)保持一定的關(guān)系，這些關(guān)系就是由相似準(zhǔn)則推導(dǎo)出來的。第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

1.相似性第一定理（正定理）對于相似的現(xiàn)象，其相似準(zhǔn)則的數(shù)值相同。二、相似定理以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動為例簡單說明這一問題。對于所有相似的現(xiàn)象：第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

2.相似性第二定理（π定理）

設(shè)一物理系統(tǒng)有n個物理量，其中k個物理量的量綱是相互獨(dú)立的，那么這n個物理量可表示成π1，π2….πn-k之間的函數(shù)關(guān)系。F(π1，π2….πn-k)=0第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日π定理對于n個正值的、不消失（量綱不為零）的物理量的系統(tǒng)，具有如下描述該系統(tǒng)的、完整的函數(shù)關(guān)系：式中，前k項(xiàng)假定為可一次提出的最大數(shù)量的、量綱相互獨(dú)立的物理量，或稱基本物理量。其余n-k項(xiàng)為導(dǎo)出物理量。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、相似定理３．相似性第三定理對于同一類物理現(xiàn)象，如果單值量相似，而且由單值量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等，則現(xiàn)象相似。相似現(xiàn)象都應(yīng)由文字完全相同的方程所描述；相似現(xiàn)象的單值條件也相似；由單值條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上應(yīng)相等。相似第一、第二定理都是在假設(shè)兩現(xiàn)象相似的條件下得到兩現(xiàn)象的物理量之間的關(guān)系，而第三定理用定理來通過現(xiàn)象最少的外部特征來判斷是否相似。第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日舉流體為例說明各種單值條件的意義幾何條件。許多具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)，參與過程的物體的幾何形狀和大小就應(yīng)作為一個單值條件提出。例如：流體在管內(nèi)流動，應(yīng)給出管徑和管長的具體數(shù)值。介質(zhì)條件。參與過程的介質(zhì)，其物理性質(zhì)應(yīng)視作一種單值條件。如：介質(zhì)密度，粘性等。邊界條件。如：管道內(nèi)流體在進(jìn)口、出口處的流速平均值及其分布規(guī)律。初始條件。許多物理現(xiàn)象，其發(fā)展過程受起伏狀態(tài)的影響，因此，應(yīng)把初始條件作為單值條件加以考慮。第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、定律分析法假定6kg烤肉需要花費(fèi)3h，問用同一溫度的爐子做3kg烤肉（設(shè)兩塊肉外形相似），需要花費(fèi)多少小時？解：支配這一現(xiàn)象的物理定律是熱傳導(dǎo)以及由熱量積蓄所引起的溫度升高。傳給每單位質(zhì)量肉的熱量可按如下物理定律計(jì)算：klTt為溫度升高而在每單位質(zhì)量肉內(nèi)積蓄的熱量可按如下物理定律計(jì)算：QC=cρVTcρl3T第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、定律分析法第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、方程分析法兩流動現(xiàn)象相擬的充分必要條件：滿足同一微分方程式，而且邊界條件和初始條件相似。一撇:原形系統(tǒng)兩撇：模型系統(tǒng)

對于粘性流體流動相似問題，兩個流動相似系統(tǒng)，均滿足N——S方程（以ｘ方向?yàn)槔?a)(b)第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

兩系統(tǒng)流動相似，所有同類物理量成比例，對應(yīng)的相似常數(shù)表示如下：第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日局部慣性力變位慣性力

質(zhì)量力壓力

粘性力第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日全式除以變位慣性力項(xiàng)得：引入音速的傳播公式：對應(yīng)的相似常數(shù)為所以第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日因此可以得到如下五項(xiàng)重要的結(jié)果：特洛哈爾數(shù)：佛勞德數(shù)：歐拉數(shù)：第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日雷諾數(shù)：馬赫數(shù)：以上五個無因次數(shù)稱為相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)）第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法二、基本量綱與基本物理量1.基本量綱：具有獨(dú)立性、唯一性在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，則常取質(zhì)量M、長度L和時間T三個作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強(qiáng)dimp=ML－1T－1第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法2.基本物理量：具有獨(dú)立性，但不具唯一性在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，通常取3個相互獨(dú)立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長度)等?；疚锢砹开?dú)立性判別任何兩個物理量的組合不能推出第3個物理量的量綱，即為3個物理量相互獨(dú)立。第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其方程各項(xiàng)的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎(chǔ)。工程中仍有個別經(jīng)驗(yàn)公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，使其變?yōu)闊o量綱方程。如流體靜力學(xué)基本方程用除其余各項(xiàng)，可得無量綱方程：第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數(shù)形式的乘積組合。第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法[例1]

已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結(jié)構(gòu).[解]式中k為無量綱常數(shù)。其中，各物理量的量綱為：假定第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實(shí)驗(yàn)確定.第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法二、π定理

基本思想：對于某個物理現(xiàn)象，若存在n個變量互為函數(shù)關(guān)系，即而這些變量中含有m個基本物理量，則可組合這些變量成為(n–m)個無量綱π數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法[例2]

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運(yùn)動所受阻力FD與球體直徑d、球體運(yùn)動速度V、流體的密度ρ和動力粘度μ有關(guān)，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結(jié)構(gòu).[解]選基本物理量ρ、V、d，根據(jù)π定理，上式可變?yōu)槠渲屑俣ǖ谌隧摚菜氖摚?022年，8月28日四、量綱分析法對π1：解上述三元一次方程組得：故第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法代入，并就FD解出，可得：式中為繞流阻力系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。同理：第四十頁，共四十二頁，2022年，8月28日五、相似性設(shè)計(jì)相似理論在產(chǎn)品系列化中的應(yīng)用稱為相似性設(shè)計(jì)。系列化產(chǎn)品一般具有相同功能、相同結(jié)構(gòu)方案、相同或相似加工工藝，但