2021-2022學年河南省三門峽市高二（下）期末數學試卷

（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若iz=4-3i,其中i為虛數單位，則復數z等于（）

A.-3-4iB.3-4iC.-3+4iD.3+4i

2.對于自變量x和因變量y,當x取值一定時，y的取值帶有一定的隨機性，x,y之間

的這種非確定性關系叫（）

A.函數關系B.線性關系C.相關關系D.回歸關系

3.有四張卡片，它們的一面為數字，另一面寫著英文字母.現在它們平放在桌面上,

只能看到向上面的情況如圖.對于命題p：所有大寫字母的背面都寫著奇數，要驗

證p的真假，至少要翻開的是（）

A.①④B.①②C.①③D.①③④

4.為了解某高校學生使用手機支付和現金支付的情況，抽取了部分學生作為樣本，統(tǒng)

計其喜歡的支付方式，并制作出如圖等高條形圖：

匚二金交付■手機支ff

根據圖中的信息，下列結論中不正確的是（）

A.樣本中多數男生喜歡手機支付

B.樣本中的女生數量少于男生數量

C.樣本中多數女生喜歡現金支付

D.樣本中喜歡現金支付的數量少于喜歡手機支付的數量

5.李華在檢查自己的學習筆記時，發(fā)現“集合”這一節(jié)的知識結構圖漏掉了“集合的

含義”，則這一部分最合適位置是（）

；T?1

迎曲嚴垂-叵

開果I

U集合的運算卜一度闌

，L④」

A.①B.②C.③D.④

6.根據如下樣本數據，得到回歸方程？=bx+a,則（）

X345678

y4.02.5-0.50.5-2.0—3.0

A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0

7.若實數系一元二次方程a/+bx+c=0在復數集C內的根為%],x2,則有磯乂一

Xi）（x—如）=a——a（xi+%2）x+aX1X2=0,所以與+乂2=—'，韋達

2

定理），類比此方法求解如下問題：設實數系一元三次方程a*+bx+cx+d=0

111

在復數集C內的根為％1，%2?久3，則;7+77的值為（）

兀1x2x3

A.-5B.[C.￡D.-

ddaa

8.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的％=0,y=l，n=1,則輸出％,y的值滿足（）

A.y=2%B.y=3%C.y=4xD.y=5x

第2頁，共17頁

9.某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準，現選擇15名志愿者，對其身高和臂展進行測

量（單位：厘米），左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，右圖為身高與臂

展所對應的散點圖，并求得其回歸方程為夕=1.16%-30.75,以下結論中不正確的

為（）

A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B.15名志愿者身高和臂展成正相關關系

C.可估計身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米

D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米

10.在下列命題中，正確命題是（）

A.若z是虛數，則z2>0

B.若復數z2滿足z2eR,則z€R

C.若在復數集中分解因式，則有2/-%+1=2Q-上盧）。-乎）

22

D.若（Zi-z2）+（z2—Z3）=0>則Zi=z2=z3

11.小正方形按照如圖所示的規(guī)律排列：

每個圖中的小正方形的個數構成一個數列｛a.｝,有以下結論：

①=15；②數列是一個等差數列；③數列｛an｝是一個等比數列；④數列的

遞推公式為：%+1=。?+?+1567*）.其中正確的命題序號為（）

□BJfrhITlII

（1）（2）（3）（4）

A.①②B.①③C.①④D.①

12.我國古代著名的數學著作有10部算書，被稱為“算經十書”.某校數學興趣小組甲、

乙、丙、丁四名同學對古代著名的數學著作產生濃厚的興趣.一天，他們根據最近

對這十部書的閱讀本數情況說了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；

丙：“我比丁多”；?。骸氨纫叶唷?，他們說的這些話中，只有一個人說的是真

實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數最少的一個(他們四個人對這十部書閱

讀本數各不相同).甲、乙、丙、丁按各人讀書本數由少到多的排列是()

A.乙甲丙丁B.甲丁乙丙C.丙甲丁乙D.甲丙乙丁

二、填空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.已知復數Z滿足(_：+41)2.z=[1+則2=.

14.下列命題：

①線性回歸直線必過樣本數據的中心點G，歷；

②如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數r就越接近于1；

③當相關性系數r>0時，兩個變量正相關；

④殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預報精確度越高；

⑤甲、乙兩個模型的髀分別約為0.88和0.80,則模型乙的擬合效果更好.

其中正確的命題有.(填序號)

15.已知圓C：(x-a/+(y-b)2="有以下性質：過圓C上一一點M(xo，y())的圓的切線

_22

方程是(X。a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=Z.那么過圓M：x+y-4x=0上兩

點4(4,0)、B(3,遮)的切線的夾角為.

16.如圖所示：有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按;■；

下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.]

⑴每次只能移動一個金屬片；11

(2)在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個

金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為/(n)：

①/⑶=一⑴一；

②f(n)=_(2)_?

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知復數z=(a2-4)+(a+2)i,aeR.

(1)若z為純虛數，求實數a的值；

(2)若W在復平面上對應的點在第三象限，求實數a的取值范圍.

第4頁，共17頁

18.甲乙兩校分別有120名和100名學生參加了某機構組織的某項技能考試，考試結果

出來以后，該機構為了進一步了解各校學生通過的情況，從甲校隨機抽取60人，從

乙校隨機抽取50人進行分析，相關數據如下表：

通過人數末通過人數總計

甲校

乙校30

總計60

(1)完成上面2x2列聯表.并據此判斷是否有99%的把握認為該項技能通過情況與

學生所在學校有關；

(2)現從甲、乙兩校通過的學生中采取分層抽樣的方法抽取5人，再從所抽取的5人

中隨機抽取2人，求2人全部來自乙校的概率.

19.(1)已知％,y,z&R,證明：x2+y2+z2>xy+yx+zx；

(2)用反證法證明：三個數中a,2a2-1,a+1至少有一個大于或等于-

6

20.某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分

析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆

種子中的發(fā)芽數，得到如下資料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

溫差x(°C)101113128

發(fā)芽數y(顆)2325302616

該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性

回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗.

(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；

(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據,

求出y關于久的線性回歸方程夕=bx+a；

(3)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則

認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠？

21.觀察下面的解答過程：已知正實數a,b滿足a+b=l,求;+：的最小值.

解：??,a+b=1,

.■4+：=(a+b)?+$=3+T+與N3+2jf^=3+2VL

當且僅當2=羊，結合。+8=1得。=&一1，6=2-四時等號成立，

ab

.?一+加最小值為3+2夜.

ab

請類比以上方法，解決下面問題:

(1)已知正實數》,y滿足1+；=1,求x+4y的最小值;

12

(2)已知正實數》,y湎足x+y=l,求有1+有的最小值?

_'

x=1d-----1

22.在直角坐標系％0y中，P(O,1),曲線6的參數方程為＜近2（t為參數）.以坐標

I，y=—2t

原點。為極點，％軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線Cz的極坐標方程為。=

4cos0.

(1)求曲線G的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)曲線G與C2交于M,N兩點，求||PM|-|PN||.

23.已知函數/'(x)=|x-+|x-2|.

(1)若?n=0,求不等式/'(x)2x+2的解集；

(2)若函數/(%)的最小值為3,求m的值.

第6頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：iz=4-3i,

貝jzI=U==—3—4i.

故選：A.

根據已知條件，結合復數的四則運算，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：對于自變量x和因變量y,

當x取值一定時，

y的取值帶有一定的隨機性，

x,y之間的這種非確定性關系叫相關關系，

故選：C

根據相關變量的意義知：當x取值一定時，y的取值帶有一定的隨機性，x,y之間的這

種非確定性關系是相關關系.

本題考查的知識點是相關關系，熟練掌握并正確理解相關關系的定義，是解答的關鍵.

3.【答案】A

【解析】解：根據命題p：所有大寫字母的背面都寫著奇數，

???①的正面是大寫字母，.??如果①的背面是奇數，則命題p是真命題，否則命題p是假命

題；

?.?②的正面是小寫字母，無論②的背面是奇數還是偶數，都無法判斷命題p的真假：

???③的正面是7,.?.無論③的背面是大寫字母還是小寫字母，都無法判斷命題p的真假;

???④的正面是8,.?.如果④的背面是大寫字母，是命題p是假命題.

綜上，要驗證命題p的真假，至少要翻開的是①④.

故選:A.

分析題目進行簡單的合情推理，能求出結果.

本題考查簡單的合情推理、命題真假的判斷等基礎知識,考查推理判斷能力，是基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：由右圖可知，樣本中多數男生喜歡手機支付，故A正確，

由左圖可知，樣本中的女生數量少于男生數量，故B正確，

由右圖可知，樣本中多數女生喜歡手機支付，故C錯誤，

由右圖可知，樣本中喜歡現金支付的數量少于喜歡手機支付的數量，故。正確.

故選：C.

根據兩幅圖中的信息，依次判斷選項，即可求解.

本題考查了等高條形圖的應用問題，考查了對圖形的認識問題，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了知識結構圖的應用問題，是基礎題.

根據知識結構圖是用圖形直觀地再現知識之間的關聯，結合集合的知識內容，即可得出

正確答案.

【解答】

解：集合的知識結構圖包含“集合的含義”“集合間的基本關系”和“集合的運算”三

部分.

“集合的含義”應在“集合”后面②的位置.

故選：B.

6.【答案】B

【解析】解：根據表中數據可知，總體來看，當x增加時，y減小，所以b<0,

且元=5.5,y=

則;=5.5b+a,則a>0.

故選：B.

通過表格里的數據，容易判斷回歸方程中從a的符號.

本題考查回歸方程的應用，屬于基本知識的考查.

7.【答案】A

【解析】解：因為實數系一元三次方程。%3+6/+公+4=0在復數集（7內的根為與，

%2，x39

第8頁，共17頁

2x

所以Q%3+bx+ex+d=a(%—%力(％—x2)(—%3)

3XX

=ax—aa+%2+X3)/+a(x1x2+23+%3%i)x—axtx2x3,

XXxx

由對應系數相等,得d=—ax1x2x3,c=a(%i%2+23+3i)?

cic

所以=~~>xlx2+X2X3+X3X1=

所以三++!■=X/3+X1X3+ZX2=4=_￡

d

與Xzx3%不右,

故選：A.

2x

根據已知條件a/+bx+ex+d=a(x-%i)(x-x2)(一x3),再類比一元二次方程，

求出常數項和一次項系數即可求解.

本題考查類比推理，考查學生的推理運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：輸入x=0,y=1,n=1,

則x=0,y=1,不滿足/+丫2236,故n=3,

則x—1,y=3,不滿足/+y2>36,故n=5,

則x=3,y=15,滿足％2+、2236,退出循環(huán)，輸出x的值為3,y的值為15.

故y=5%,

故選：D.

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量x,y的值，模

擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方

法解答，屬于基礎題.

9.【答案】D

【解析】解：對于4身高極差大約是25,臂展極差大于等于30,故A正確；

對于8,很明顯根據散點圖以及回歸方程得到，身高矮展臂就會短一些，身高高一些，

展臂就會長一些，故8正確；

對于C,身高為190厘米，代入回歸方程可得展臂等于189.65厘米，但不是準確值，故C

正確；

對于D,身高相差10厘米的兩人展臂的估計值相差11.6厘米，但不是準確值，

回歸方程上的點并不都是準確的樣本點，故。錯誤；

故選：D.

就會圖形對各個選項分別判斷即可.

本題考查了回歸方程問題，考查對應思想，是一道常規(guī)題.

10.【答案】C

【解析】解；對于4取2=[,則z2<0,故A錯誤；

對于B,設2=a+bi(a,b€R),則z?=a?—/+2abi,

由z2eR,則2ab=0,即a=0或b=0,但z不一定為實數，故8錯誤；

2x2-x+l=2(x2+1),由x2-[x+：=o,得x==j.+亞j,

.1?2x2—x+1=2(x—1^7l)(x-'故C正確；

設Z]=1,Z2=l,z3=-1,則(Z1—Z2)2+02—Z3)2=0,

當Z],Z2,Z3不等，故。錯誤.

二正確的命題是c.

故選：C.

舉例說明A,O錯誤；設2=。+兒9,6CR),由z2€R不一定得到z€R,說明8錯誤;

求解實系數一元二次方程分解2%2一%+1說明C正確.

本題考查復數的基本概念，考查實系數一元二次方程的解法，是基礎的計算題.

11.【答案】C

【解析】解：根據題意，可得

%=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3.。4=10=1+2+3+4,...

發(fā)現規(guī)律：即=1+2+34---Fn=

由此可得

。5=安西=15,故(1)正確；｛即｝不是一個等差數列，故(2)不正確；

數列｛0｝不是一個等比數列，可得(3)不正確；

而％+1一曲=^^?^一審=等[5+2)一詞=九+1

故an+i=an+n+1成立，故(4)正確

綜上所述，正確命題為(1)(4)

故選：C.

根據題意，結合等差數列的求和公式算出即=1+2+3+…+n=的羅，由此再對各

個選項加以判斷，可得(1)和(4)是真命題，而(2)(3)是假命題.

第10頁，共17頁

本題給出圖形的特殊排列，叫我們依此判斷命題的真假.著重考查了等差數列的通項與

求和公式、數列遞推式的推導等知識，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】

【解答】

解：假設甲說的是真話，則另外三人說的都是假話，

從而得到：“乙比丁少”，“甲比丙少”；“丙比丁少”；“丙比乙少”，

甲、乙、丙、丁按各人讀書本數由少到多的排列是甲丙乙丁，符合題意；

假設乙說的是真話，則另外三人說的都是假話，

從而得到“丙比乙少”，不合題意；

假設丙說的是真話，則另外三人說的都是假話，

從而得到“丙比丁多”，不合題意；

假設丁說的是真話，則另外三人說的都是假話，

從而得到“丙比丁少”不合題意.

故選：D.

【分析】

分別假設說真話的是甲、乙、丙、丁，仔細分析四個人的話，由此能求出結果.

本題考查簡單的合理推理，考查推理論證能力等基礎知識，考查運用求解能力，是基礎

題.

13.【答案】—1+遮2

【解析】解：（一：+爭）2=一1一爭，|14-V3i|=V1T3=2.

「（一：+爭）2z=|1+V3i|.

故答案為：一1+百i.

根據已知條件，結合復數的運算法則，以及復數模公式，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，屬于基礎題.

14.【答案】①③

【解析】解:對于①：線性回歸直線必過樣本數據的中心點G3）,故①正確；

對于②：如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數|r|就越接近于1,故②錯誤;

對于③：當相關性系數r>0時，兩個變量正相關，故③正確；

對于④：殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預報精確度越低，

故④錯誤；

對于⑤：甲、乙兩個模型的R2分別約為0.88和0.80,則模型甲的擬合效果更好，故⑤錯

誤.

故答案為：①③.

直接利用課本中的相關的基礎知識即回歸直線方程和中心點的關系，相關系數和相關性

強弱的關系，正相關和負相關的定義，殘差分析，進一步確定①②③④⑤的結論.

本題考查的知識要點：回歸直線方程和中心點的關系，相關系數和相關性強弱的關系，

正相關和負相關的定義，殘差分析，主要考查學生對基礎定義的理解和應用，屬于中檔

題.

15.【答案】g

【解析】解：根據題意，圓M：x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,

點4(4,0),過點4的切線方程為(4-2)(x-2)=4,即x=4,其傾斜角為多

點B(3,V5)，過點B的切線方程為(3-2)(x-2)+V3y=4.即x+V3y=6,其斜率k=

-立，故該切線的傾斜角為?，

36

則兩條切線的夾角為？-7=p

623

故答案為：P

根據題意，求出過4、B兩點的切線方程，分析切線的傾斜角，由此分析可得答案.

本題考查直線與圓的位置關系，涉及圓的切線方程，屬于基礎題.

16.【答案】7

2n-1

【解析】解：設無何)是把幾個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數

n=1時，h(1)=1：

n=2時，小盤-2柱，大盤-3柱，小柱從2柱一3柱，完成，即八(2)=3=2?-1；

n=3時，小盤-3柱，中盤―2柱，小柱從3柱-2柱，［用h(2)種方法把中、小兩盤移

到2柱，大盤3柱；再用h(2)種方法把中、小兩盤從2柱3柱，完成］,

第12頁，共17頁

/i(3)=h(2)X/i(2)+1=3x2+1=7=23-1,

九(4)=/i(3)xh(3)+1=7x2+1=15=24-1,

以此類推，/i(n)=/i(n-1)X/i(n-1)+1=2n-1,

故答案為：7；2n-l.

根據移動方法與規(guī)律發(fā)現，隨著盤子數目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數目減

1的移動次數都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數從2柱移動

到3柱，從而完成，然后根據移動次數的數據找出總的規(guī)律求解即可.

本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題，根據題目信息，得出移動次數分成兩段計

數是解題的關鍵.

17.【答案】解：(l)z=(a2-4)+(a+2)i為純虛數，

則產二4=0,解得a=2.

(a+2Ho

(2)vz=(a2-4)+(a+2)3

:.z=(a2—4)—(a+2)3

???W在復平面上對應的點(a?-4,-(a+2))在第三象限，

MF溫黑0,解得-2<"2,

故實數a的取值范圍為(—2,2).

【解析】(1)根據已知條件，結合純虛數的定義，即可求解.

(2)根據已知條件，結合共粗復數的定義，以及復數幾何意義，即可求解.

本題主要考查共輾復數和純虛數的定義，以及復數的幾何意義，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)2x2列聯表如下:

通過人數未通過人數合計

甲校204060

乙校302050

總計5060110

..長

2_110X(20X20-40x30)2,7.822>6,635,

60x50x60x50

???有99%的把握認為該項技能通過情況與學生所在學校有關.

(2)現從甲、乙兩校通過的學生中采取分層抽樣的方法抽取5人,

則甲校抽取5x嘉^=2人，設為4,B,乙校抽取5-2=3人，a,b,c,

從5人中任取2人共有力B,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,be,共10種，

其中2人全部來自乙校的情況共有ab,ac,be,共3種，

故2人全部來自乙校的概率為高.

【解析】(1)根據已知條件，結合獨立性檢驗公式，即可求解.

(2)根據已知條件，結合分層抽樣的定義，列舉法，以及古典概型的概率公式，即可求

解.

本題主要考查獨立性檢驗公式，考查計算能力，屬于基礎題.

19.【答案】(1)證明：因為/+/22孫，當且僅當x=y時取等號，

y24-z2>2yz,當且僅當y=z時取等號，%24-z2>2zx,當且僅當％=z時取等號，

三式相加得2/+2y2+2z2>2xy+2yx+2zx,

即產4-y2+z2>-Fyx+zx,當且僅當％=y=z時取等號.

證明：(2)假設三個數中a,2a2-1,。+1全部小于—=,

則必有a+2a2-l+a+l<--x3=--,

62

但Q+2a之-1+a+1=2a2+2a=2(a+—————,

與Q+2a2—l+a+l<一］矛盾9

故假設不成立，

???三個數中a,2a2-1,a+1至少有一個大于或等于一；.

6

【解析】(1)根據/4-y2>2xy,y2+z2>2yz,y2+z2>2yz三式相加，即可證明結

論；

(2)假設問題的反面即三個數中a,2a2-1,。+1全部小于-去推出矛盾，說明假設不

D

成立，即可證明原命題結論成立.

本題考查不等式的證明，考查學生的推理運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)設抽到不相鄰的兩組數據為事件4

從5組數據中選取2組數

據共有10種情況：(1,2)

(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)

第14頁，共17頁

(3,4)(3,5)(4,5),

其中數據為12月份的日期數.

每種情況都是可能出現的，事件4包括的基本事件有6種.

???選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率是|

(2)由數據,求得元=12,9=27.

由公式，求得b=|,。=歹一6%=-3

??.y關于％的線性回歸方程為J=jx-3.

(3)當□=10時,y=§xl0—3=22，|22-23|<2；

J2

同樣當x=8時，y=芻x8—3=17，1"-16|<2；

J2

;該研究所得到的回歸方程是可靠的.

【解析】(1)根據題意列舉出從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是可

能出現的，滿足條件的事件包括的基本事件有6種.根據等可能事件的概率做出結果.

(2)根據所給的數據，先做出x,y的平均數，即做出本組數據的樣本中心點，根據最小

二乘法求出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程.

(3)根據估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程

是可靠的，根據求得的結果和所給的數據進行比較，得到所求的方程是可靠的.

本題考查等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗

算所求的方程是否是可靠的，是一個綜合題目.

21.【答案】解：(1)由正實數x,y滿足!+；=1得：

x+4y=(x+4y)C+；)=5+?+]?5+2—=9.

當且僅當§=9結合：+5=1得％=3f=|時等號成立，二%+4)/的最小值為9.

xyxyz

(2)正實數x,y滿足x+y=l,得(2x+1)+(2y+2)=5,

~~~-I—="--I—--=~((2%+1)+(2y+2))(--—I-~-)

2x+ly+12x+l2y+25、'7vz，八2%+l2y+27

=1+4也+4(2%板)