學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE12學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精限時(shí)訓(xùn)練（六）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．（2017·北京卷)若集合A＝{x｜－2〈x〈1}，B＝{x|x〈－1或x>3｝，則A∩B＝（）A．｛x|－2〈x〈－1} B．{x|－2<x〈3}C．{x|－1<x<1} D．｛x|1〈x〈3}解析:A＝｛x|－2〈x〈1}，B＝｛x|x<－1或x>3}，所以A∩B＝｛x|－2<x〈－1}．答案:A2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1＋2i，則z的共軛復(fù)數(shù)z的虛部是（)A．i B．－iC．－1 D．1解析：z＝eq\f（1＋2i，i)＝eq\f（i－2,－1)＝2－i，則z的共軛復(fù)數(shù)z＝2＋i，虛部為1.答案:D3．(2017·山東卷）已知命題p：?x∈R,x2－x＋1≥0;命題q:若a2<b2，則a〈b。下列命題為真命題的是（)A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析:由已知得p真，q假，所以p∧綈q真．答案：B4．中國詩詞大會(huì)在央視的播出引發(fā)了全民的讀書熱，某小學(xué)語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里40名學(xué)生得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．若規(guī)定得分不小于85分的學(xué)生得到“詩詞達(dá)人”的稱號(hào),小于85分且不小于70分的學(xué)生得到“詩詞能手”的稱號(hào)，其他學(xué)生得到“詩詞愛好者”的稱號(hào),根據(jù)該次比賽的成就按照稱號(hào)的不同進(jìn)行分層抽樣抽選10名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得“詩詞能手”稱號(hào)的人數(shù)為（）A．2 B．4C．5 D．6解析:由莖葉圖可得，獲“詩詞能手”的稱號(hào)有16人，據(jù)該次比賽的成就按照稱號(hào)的不同進(jìn)行分層抽樣抽選10名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得“詩詞能手”稱號(hào)的人數(shù)為eq\f(n，10)＝eq\f（16，40)，解得n＝4人．答案：B5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,x2＋1＋a,x＞0)）（a為實(shí)數(shù))，若f（2－x)≥f（x），則x的取值范圍為(）A．(－∞,1］ B．(－∞,－1］C．［－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析:由題可知，函數(shù)f(x）在R上為單調(diào)增函數(shù),因?yàn)閒(2－x）≥f（x)，所以2－x≥x，解得x≤1.答案:A6．已知圓O:x2＋y2＝4（O為坐標(biāo)原點(diǎn))經(jīng)過橢圓C：eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞b＞0）的短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.eq\f（x2,4)＋eq\f（y2,2）＝1 B.eq\f(x2，8）＋eq\f(y2,4）＝1C。eq\f(x2,16)＋eq\f(y2，4）＝1 D.eq\f（x2,32）＋eq\f（y2，16）＝1解析：因?yàn)閳AO：x2＋y2＝4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）經(jīng)過橢圓C：eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a＞b＞0)的短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，所以b＝2，c＝2，則a2＝b2＋c2＝8。所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f（y2,4）＝1.答案：B7．（2017·山東卷)執(zhí)行下面的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為4時(shí)，輸出的y的值為2，則空白判斷框中的條件可能為（）A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤5解析:由程序框圖知，判斷框條件為x＞4時(shí)，輸出的值為y＝log24＝2.答案:B8．已知一個(gè)樣本為x，1,y，5，若該樣本的平均數(shù)為2，則它的方差的最小值為(）A．5 B．4C．3 D．2解析：樣本x,1，y，5的平均數(shù)為2,故x＋y＝2，故xy≤1。故s2＝eq\f(1，4）[（x－2)2＋(y－2)2＋10］＝eq\f（5，2)＋eq\f（1,4）（x2＋y2)≥eq\f(5,2)＋eq\f（1,4）×2xy≥eq\f（5,2）＋eq\f(1，4)×2＝3，故方差的最小值是3。答案：C9．已知函數(shù)f（x)＝2sin(ωx＋φ）(x∈R，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f(x）的圖象向右平移eq\f（π，6）個(gè)單位得到函數(shù)g(x）的圖象,則函數(shù)g（x)的解析式是（）A．2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3）)) B．2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3）)）C．2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（2π,3))） D．2cos2x解析：因?yàn)橛蓤D象知A＝2，eq\f（1，4)T＝eq\f(π,6)－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π,12)）)＝eq\f(π,4),所以T＝π?ω＝2，因?yàn)?sineq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（2×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ))＝2，所以可得2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，12)）)＋φ＝2kπ＋eq\f（π,2），k∈Z，因?yàn)閨φ｜＜π，所以φ＝eq\f（2π,3)，則f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π，3)))。所以圖象向右平移eq\f(π，6)個(gè)單位后得到的圖象解析式為g(x）＝2sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,6)））＋\f（2π，3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3）)).答案：A10．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別在棱AD，BC上，且AE＝BF＝eq\f(1,3）a,過EF的平面繞EF旋轉(zhuǎn)，與DD1，CC1的延長線分別交于G，H點(diǎn)，與A1D1,B1C1分別交于E1，F(xiàn)1點(diǎn)．當(dāng)異面直線FF1與DD1所成的角的正切值為eq\f(1，3)時(shí)，GF1＝（)A.eq\f（\r（19)a,3） B。eq\f（\r（19)a，9)C.eq\f(\r(2）a，3) D。eq\f（\r(2）a,9）解析：當(dāng)異面直線FF1與DD1所成的角的正切值為eq\f(1,3)時(shí)，則tan∠CHF＝eq\f(1,3)，因?yàn)镃F＝eq\f(2,3）a，所以CH＝2a，即C1H＝a，所以C1F1＝eq\f(1，3）a，GF1＝eq\r(D1Ceq\o\al(2，1）＋C1Feq\o\al(2,1)＋GDeq\o\al(2，1))＝eq\r(a2＋a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3）a)）\s\up12（2））＝eq\f(\r(19），3)a。答案:A二、填空題（本大題共2個(gè)小題，每小題5分,共10分．請(qǐng)把正確的答案填寫在各小題的橫線上．)11．已知直線x＋y＝k(k＞0）與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有｜eq\o（OA,\s\up13(→）)＋eq\o(OB,\s\up13（→)）｜≥eq\f（\r（3),3)｜eq\o（AB，\s\up13（→）)|，則k的取值范圍是________．解析：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C,則OC垂直平分線段AB。由向量的平行四邊形法則，｜eq\o(OA，\s\up13(→）)＋eq\o（OB,\s\up13(→)）｜＝2|eq\o（OC，\s\up13（→))|,所以2｜eq\o（OC，\s\up13（→）)｜≥eq\f(\r（3),3)|eq\o(AB,\s\up13(→))|.又|eq\o(AB，\s\up13(→））|＝2eq\r（4－｜OC｜2),得|eq\o（OC，\s\up13(→））｜≥eq\f（\r（3),3）eq\r(4－｜OC|2),所以｜eq\o(OC,\s\up13(→）)|≥1，則eq\f（k,\r（12＋12））≥1,k≥eq\r（2），由直線與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同交點(diǎn)，得k＜2eq\r(2）。所以eq\r(2)≤k＜2eq\r（2）.答案:［eq\r(2）,2eq\r（2))12．若曲線y＝lnx＋ax2（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：y′＝eq\f（1，x)＋2ax,x∈（0，＋∞)，因?yàn)榍€y＝lnx＋ax2(a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，所以y′＝eq\f(1，x）＋2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以a≥－eq\f（1，2x2）在（0,＋∞）上恒成立，令f（x）＝－eq\f(1，2x2），x∈（0，＋∞），則f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f（x）＝－eq\f（1,2x2）＜0，所以a≥0。答案：[0,＋∞)三、解答題（本大題共4個(gè)小題，每小題10分，共40分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）13．已知向量a，b滿足｜a|＝2|b|＝2，且(a＋3b）⊥(a－b),求a，b夾角的余弦值．解：因?yàn)?a＋3b）⊥（a－b），｜a|＝2｜b|＝2，所以（a＋3b）·（a－b）＝0,設(shè)向量a與b的夾角為θ,則a·b＝－eq\f（1,2），故cosθ＝eq\f(a·b,｜a||b｜）＝eq\f(－\f(1，2）,2×1)＝－eq\f（1,4）。14．若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋2y≥0，,x－y≤0，，x－2y＋2≥0,））求z＝eq\f(y，x－3）的最小值．解：由約束條件eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0,，x－y≤0，,x－2y＋2≥0，)）作出可行域如圖，聯(lián)立eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，，x－y＝0，))解得A（2,2）,z＝eq\f（y,x－3)的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(3，0)連線的斜率．因?yàn)閗PA＝eq\f（2－0，2－3）＝－2，所以z＝eq\f（y，x－3)的最小值等于－2。15．如圖，拋物線y2＝4x的一條弦AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，取線段OB的中點(diǎn)D,延長OA至點(diǎn)C，使｜OA｜＝|AC|，過點(diǎn)C，D作y軸的垂線，垂足分別為E，G,求|EG｜的最小值．(導(dǎo)學(xué)號(hào)55410151)解：設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1，代入拋物線y2＝4x，得y2－4my－4＝0,設(shè)A（x1，y1)，B(x2，y2），則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4所以｜EG｜＝eq\f（1，2)y2－2y1＝eq\f(1,2）y2＋eq\f（8，y2)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝4時(shí)取等號(hào)，即|EG｜的最小值為4。16．△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b2＋c2＋bc－a2＝0，求eq\f（asin（30°－C），b－c）的值．解：由b2＋c2＋bc－a2＝0，得b2＋c2－a2＝－bc,所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，知A＝120°，因此B＋C＝60°,B＝60°－C。則eq\f（asin(30°－C），b－c)＝eq\f（sinAsin（30°－C），sinB－sinC）＝eq\f（\f（\r（3），2)sin（30°－C），sin（60°－C)－sinC）。又sin(60°－C）－sinC＝eq\f(\r（3)，2)cosC－eq\f（1,2)sinC－sin