走向混沌的道路第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)

保守系統(tǒng)中的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)1．可積與不可積系統(tǒng)2．?dāng)_動(dòng)與KAM定律3.有理環(huán)面破裂與同（異）宿結(jié)構(gòu)4.阿諾德擴(kuò)散5.標(biāo)準(zhǔn)映射第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日保守系統(tǒng)1．可積與不可積系統(tǒng)

分析力學(xué)里人們常用廣義坐標(biāo)q和廣義動(dòng)量p來表示系統(tǒng)的變量，它們是系統(tǒng)哈密頓量正則共軛變量。第一項(xiàng)為動(dòng)能，第二項(xiàng)為勢(shì)能。如果系統(tǒng)僅受勢(shì)能力作用，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，稱為保守系統(tǒng)。實(shí)際系統(tǒng)還受耗散力作用，系統(tǒng)能量就不守恒，因此稱為耗散系統(tǒng)（如：阻尼單擺、范德玻耳方程、洛倫茲方程、平方映射等。)

取相空間某區(qū)域的全部狀態(tài)為初始狀態(tài)，區(qū)域形狀將會(huì)因各代表點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可能不同而發(fā)生變化。耗散系統(tǒng)因能量散失而有吸引子存在，相空間內(nèi)所有軌線都要收縮到吸引子上，初始一定大小的相空間在運(yùn)動(dòng)中逐漸減小，在t→∞時(shí)趨向于零。保守系統(tǒng)的里不存在吸引域，也就不會(huì)有吸引子，相空間是守恒的。第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日保守系統(tǒng)耗散系統(tǒng)的相空間在運(yùn)動(dòng)中逐漸減小，在t→∞時(shí)趨向于零保守系統(tǒng)的相空間是守恒的1．可積與不可積系統(tǒng)第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日可積系統(tǒng)定義一類力學(xué)系統(tǒng)哈密頓系統(tǒng)的正則方程

例：無(wú)阻尼的自由單擺它的廣義坐標(biāo)為擺角，q=θ，廣義動(dòng)量為單擺的其哈密頓量為：1．可積與不可積系統(tǒng)第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日可積系統(tǒng)由正則方程得無(wú)阻尼單擺方程：兩邊同乘得全微分方程

積分

積分常數(shù)C稱為運(yùn)動(dòng)積分

說明自由單擺是一個(gè)完全可積系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由能量決定1．可積與不可積系統(tǒng)第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日可積系統(tǒng)

不是所有的哈密頓系統(tǒng)都可以化成全微分形式，因此它們是不可積的（或者說沒有運(yùn)動(dòng)積分）。一般將哈密頓系統(tǒng)分兩類：完全可積的與不可積的。實(shí)際上完全可積系統(tǒng)是極少數(shù)，絕大多數(shù)系統(tǒng)是不可積。對(duì)一個(gè)N自由度的保守系統(tǒng)，其哈密頓為N對(duì)廣義動(dòng)量

p1,p2,…,pN與廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qN

的函數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程為:如果完全可積，要求有N個(gè)獨(dú)立全微分方程，即要有N個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)常數(shù)

C1．可積與不可積系統(tǒng)第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

由正則共軛變量(p,q)可變換出另一對(duì)正則共軛變量，稱作用-角度變量。對(duì)單自由度系統(tǒng)

母函數(shù)

用了變量以后，運(yùn)動(dòng)方程為積分得

上式說明I與系統(tǒng)能量E一樣，也是運(yùn)動(dòng)積分，I=I(H)可以寫為I(E)。第二式定義了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)頻率：，它不是常數(shù)，與I有關(guān)，是非線性的。的一個(gè)重要特性是周期性，在一個(gè)周期內(nèi)S的變化為：

作用-角度變量1．可積與不可積系統(tǒng)第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日簡(jiǎn)諧振子以單位質(zhì)量的簡(jiǎn)諧振子為例，它的哈密頓函數(shù)為：由得由哈密頓函數(shù)可得采用作用變量與角變量定義，得1．可積與不可積系統(tǒng)第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)面運(yùn)動(dòng)

采用作用變量與角變量之后，一個(gè)保守系統(tǒng)可以用相空間內(nèi)的環(huán)面上的運(yùn)動(dòng)來表示。對(duì)N自由度系統(tǒng)，一切周期的或準(zhǔn)周期的有界運(yùn)動(dòng)，是在2N維環(huán)面上的具有N個(gè)頻率的運(yùn)動(dòng)。對(duì)2自由度系統(tǒng)，有兩組作用-角度變量：與，相空間是四維的。給出一組的同心圓，是環(huán)繞這組圓的轉(zhuǎn)角，給出另一組同心圓。如能量E恒定，相空間中的運(yùn)動(dòng)由四維降低到三維，運(yùn)動(dòng)限制在三維能面上。在為常數(shù)的二維環(huán)面上，有：1．可積與不可積系統(tǒng)第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)面運(yùn)動(dòng)

當(dāng)系統(tǒng)兩個(gè)特征頻率比

w=ω1/ω2為有理數(shù)，運(yùn)動(dòng)是周期的，軌線經(jīng)有限次的繞環(huán)后閉合，環(huán)面由無(wú)數(shù)條周期軌道組成，稱為有理環(huán)面。如w為無(wú)理數(shù)，稱為無(wú)理環(huán)面，環(huán)面由無(wú)數(shù)條準(zhǔn)周期軌線組成，每一條軌線都隨時(shí)間一圈一圈地覆蓋整個(gè)環(huán)面。如在=常數(shù)處設(shè)置一平面(龐加萊截面)，則截面上那些環(huán)面曲線與截面交點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)圓。二維環(huán)面運(yùn)動(dòng)1．可積與不可積系統(tǒng)第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日擾動(dòng)2．?dāng)_動(dòng)與KAM定律

設(shè)系統(tǒng)未受擾動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)是可積的，哈密量為，受擾動(dòng)時(shí)的哈密量為：ε為無(wú)量綱參數(shù)，它決定擾動(dòng)的強(qiáng)度。如周期為T的擾動(dòng)，則擾動(dòng)可為將展開成級(jí)數(shù)式中n為擾動(dòng)頻率，n,m

某整數(shù)。

代入運(yùn)動(dòng)方程積分得第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

將零級(jí)近似代入運(yùn)動(dòng)方程解得一級(jí)近似解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)頻率與I有關(guān)，當(dāng)在某個(gè)值Ir上出現(xiàn)擾動(dòng)頻率v與系統(tǒng)ω(Ir)頻率間的共振時(shí)，則：或因?yàn)棣?Ir)與Ir有關(guān)，因此此時(shí)的共振稱為非線性共振。當(dāng)發(fā)生非線性共振時(shí)，一級(jí)近似解中分式的分母等于零，得到發(fā)散得結(jié)果，這就是著名的小分母發(fā)散問題。擾動(dòng)2．?dāng)_動(dòng)與KAM定律第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日擾動(dòng)將對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生兩種不同的影響：（1）非線性共振：一個(gè)很小的擾動(dòng)可將導(dǎo)致有理環(huán)面發(fā)生重大改變。這相應(yīng)于相空間的共振有理環(huán)面。（2）非共振情況：相應(yīng)于無(wú)理環(huán)面。這是動(dòng)力學(xué)的一個(gè)久未解決的問題。1954年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家哥爾摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一個(gè)環(huán)面不變定理，后來為阿諾德(Arnold)所證明，美國(guó)數(shù)學(xué)家莫瑟(Moser)在某些條件下也證明了該定理?，F(xiàn)在常稱為KAM定理。該定理考慮一個(gè)近可積系統(tǒng)，即對(duì)一完全可積系統(tǒng)施加了一個(gè)很小的完全不可積擾動(dòng)。KAM定理：如果擾動(dòng)很小，大多數(shù)非共振的不變環(huán)面并不消失，只是發(fā)生一些微小的變形。滿足KAM定理的絕大多數(shù)軌道，其運(yùn)動(dòng)仍然限制在N維環(huán)面上，環(huán)面上的運(yùn)動(dòng)仍然是準(zhǔn)周期的。這些未被破壞的環(huán)稱為KAM環(huán)。

KAM定理2．?dāng)_動(dòng)與KAM定律第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.有理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)

擾動(dòng)的一級(jí)近似解沒有回答非線性共振對(duì)有理環(huán)面的影響。數(shù)學(xué)上可用龐加萊截面解決。

未受擾動(dòng)時(shí)，在給定能面中取q2=常數(shù)的龐加萊截面，軌線與截面的交點(diǎn)在I1=常數(shù)的圓上。軌線相繼兩次穿越截面的時(shí)間間隔：

q1

每次的改變量為龐加萊截面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為一二維映射，稱為扭轉(zhuǎn)映射：

受擾動(dòng)時(shí)（ε≠0），扭轉(zhuǎn)映射T0變成Tε，略去下標(biāo)后有式中f與g由擾動(dòng)項(xiàng)確定。扭轉(zhuǎn)映射第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.有理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)

研究繞卷數(shù)的有理環(huán)面在擾動(dòng)下的變化。記有理環(huán)面為Go

，它為一個(gè)由映射Tom的不動(dòng)點(diǎn)組成的圓。兩條不變曲線G+

與G-

，它們分別位于Go

的兩邊。在Tem的作用下，在每個(gè)q=常數(shù)的圓半徑上，存在著轉(zhuǎn)動(dòng)角度剛好2p的點(diǎn)，它們只有徑向移動(dòng)而沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，這些點(diǎn)連結(jié)起來構(gòu)成了在Tem作用下的曲線Ge

，Tom的映像閉合曲線Tom(Ge)。曲線Ge與Tom(Ge)兩者保圍的面積相等且相交，共有2m個(gè)交點(diǎn)。扭轉(zhuǎn)映射對(duì)有理環(huán)面作用第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.有理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)

Tom的作用：Go圓上的點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)動(dòng)2p,曲線G+上的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)小于2p,曲線G-的點(diǎn)就轉(zhuǎn)動(dòng)大于2p。因此Go上的點(diǎn)不動(dòng)，G+的點(diǎn)順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，G-的點(diǎn)逆時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。

Tem的作用：如擾動(dòng)eV很小，Tem的作用不會(huì)改變與圓上點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)情況，順時(shí)針或反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)均不會(huì)變化，只是在每個(gè)q=常數(shù)的圓半徑上，存在著轉(zhuǎn)動(dòng)角度剛好2p的點(diǎn)，它們只有徑向移動(dòng)而沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，將這些點(diǎn)連結(jié)起來，就構(gòu)成了在Tem作用下的曲線Ge

。

此外,還有Tom的映像閉合曲線Tom(Ge)。由于保守系統(tǒng)，曲線Ge與Tom(Ge)兩者不僅保圍的面積相等，且相交，共有2m個(gè)交點(diǎn)。根據(jù)相交點(diǎn)附近點(diǎn)移動(dòng)的走向，可判定其中一半是橢圓點(diǎn)，另一半是雙曲點(diǎn)，它們相間地分布。

橢圓不動(dòng)點(diǎn)附近有較小有理環(huán)面，是一些區(qū)域較小的規(guī)則運(yùn)動(dòng)。擾動(dòng)也將使它們受到破壞，情況與上面相類似。擾動(dòng)產(chǎn)生更高一級(jí)的橢圓不動(dòng)點(diǎn)及圍繞它們更較小一級(jí)的規(guī)則運(yùn)動(dòng)區(qū)。如此的破壞過程還會(huì)繼續(xù)發(fā)展下去，以至產(chǎn)生規(guī)則與不規(guī)則運(yùn)動(dòng)交織在一起的無(wú)窮堪套的自相似結(jié)構(gòu)。扭轉(zhuǎn)映射對(duì)有理環(huán)面作用第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.有理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)

無(wú)阻尼單擺，或負(fù)線性恢復(fù)力杜芳方程相圖上，均有四條流線通過界軌線上的雙曲不動(dòng)點(diǎn)，其中兩條流向雙曲點(diǎn)，另兩條背離雙曲點(diǎn)。

數(shù)學(xué)上稱這些流線為不變曲線或流形(manifold)。與相圖上的真正相軌線不同，現(xiàn)在這些雙曲點(diǎn)出現(xiàn)在環(huán)面截面上，它們由截面上的點(diǎn)構(gòu)成。

兩條背離雙曲點(diǎn)的流線稱為穩(wěn)定流形ws，兩條流向雙曲點(diǎn)的流線稱為不穩(wěn)定流形wu。若沿著一條穩(wěn)定流形ws從雙曲不動(dòng)點(diǎn)O出發(fā)，將會(huì)連接到的一條不穩(wěn)定流形wu進(jìn)入雙曲點(diǎn)O。若前后兩個(gè)是不同的點(diǎn),稱為異宿點(diǎn)，當(dāng)前后兩個(gè)是同點(diǎn),稱為同宿點(diǎn)。同(異)宿點(diǎn)第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.有理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)(1)

系統(tǒng)受到小幅周期性擾動(dòng)，對(duì)同宿點(diǎn)，代表點(diǎn)沿著穩(wěn)定流形離開雙曲點(diǎn)后，不會(huì)連接到不穩(wěn)定流形而進(jìn)入雙曲點(diǎn)，一般是與不穩(wěn)定流形相交(異宿點(diǎn)情況相似)；

(2)

一旦發(fā)生相交，交點(diǎn)上的流形與同宿點(diǎn)或異宿點(diǎn)特點(diǎn)相同：即兩條流入流線與兩條流出流線，但它們不是不動(dòng)點(diǎn)。同(異)宿結(jié)構(gòu)過雙曲點(diǎn)是不變曲線，線上的點(diǎn)經(jīng)過多次映射不會(huì)跑出該線。擾動(dòng)的影響是：同宿結(jié)構(gòu)第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.有理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)同(異)宿結(jié)構(gòu)異宿結(jié)構(gòu)(3)由于映射是連續(xù)的，在雙曲點(diǎn)O外會(huì)產(chǎn)生一系列新同宿點(diǎn)，且要反復(fù)作用無(wú)限次數(shù)才能沿著接近到雙曲不動(dòng)點(diǎn)O。

(4)在到達(dá)雙曲不動(dòng)點(diǎn)O前，流線與交叉產(chǎn)生的同(異)宿點(diǎn)越來越密，總共有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)。由于是保守系統(tǒng)，相繼兩次交叉所包圍的面積是定值，于是越趨近雙曲不動(dòng)點(diǎn)O，在新宿點(diǎn)會(huì)越來越密同時(shí)，振蕩幅度越來越大。擾動(dòng)的影響是：第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日4.阿諾德擴(kuò)散

若不可積擾動(dòng)足夠小，KAM無(wú)理環(huán)面仍然可以保持，有理環(huán)面發(fā)生破裂，產(chǎn)生出一系列新橢圓不動(dòng)點(diǎn)與雙曲不動(dòng)點(diǎn)。新生橢圓不動(dòng)點(diǎn)在擾動(dòng)連續(xù)作用下，又產(chǎn)生出更小一級(jí)的橢圓不動(dòng)點(diǎn)與雙曲不動(dòng)點(diǎn)；在雙曲不動(dòng)點(diǎn)附近，通過不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形構(gòu)成復(fù)雜的異宿結(jié)構(gòu)。它們是二維環(huán)面上的非規(guī)則運(yùn)動(dòng)區(qū)。KAM環(huán)面將環(huán)面上規(guī)則與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng)區(qū)域分隔開來。在整個(gè)環(huán)面上共存了規(guī)則的與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。擾動(dòng)對(duì)二維環(huán)面運(yùn)動(dòng)影響

第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日4.阿諾德擴(kuò)散

高維KAM環(huán)面能否成為等能面的邊界，對(duì)不滿足KAM定理的導(dǎo)致不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的少數(shù)軌道(即不穩(wěn)定軌道)起限制作用。N個(gè)自由度系統(tǒng)具有2N維的相空間和2N－1維等能面。

N維環(huán)面成為等能面邊界的條件：N≥2N－2。即只有N≤2系統(tǒng)的環(huán)面才有可能把等能面包圍起來或分割成幾個(gè)部分。N≥3系統(tǒng)不會(huì)滿足這樣條件。高維相空間里KAM環(huán)面不會(huì)被等能面隔離，不穩(wěn)定軌道會(huì)在各個(gè)KAM環(huán)面之間來回穿行，并逐步擴(kuò)散到整個(gè)等能面上去，這種現(xiàn)象被稱為阿諾德擴(kuò)散。

高維空間的阿諾德擴(kuò)散第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日5.

標(biāo)準(zhǔn)映射

與耗散系統(tǒng)中兩系統(tǒng)間的同步與鎖模相對(duì)應(yīng)，單自由度保守系統(tǒng)受周期性外力作用時(shí)產(chǎn)生不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)哈密頓為：運(yùn)動(dòng)方程為：選取時(shí)間系列：t0,t1,t2,…，運(yùn)動(dòng)方程退化為離散映射：該映射給出I

和q

在前后兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上關(guān)系，又可寫成：離散映射T為擾動(dòng)的特征時(shí)間第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日5.

標(biāo)準(zhǔn)映射穩(wěn)定性條件設(shè)擾動(dòng)勢(shì)只與廣義坐標(biāo)q

有關(guān)：

二維映射

二維映射穩(wěn)定性條件為：本征值方程本征值方程的解第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日5.

標(biāo)準(zhǔn)映射采用無(wú)量綱作用量略去常數(shù)相位因子由不動(dòng)點(diǎn)的條件即：標(biāo)準(zhǔn)映射可得由此可得兩個(gè)奇點(diǎn)

與耗散系統(tǒng)圓映射情況有點(diǎn)相似，在保守系統(tǒng)中，標(biāo)準(zhǔn)映射給出的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)行為與參數(shù)K取值有關(guān)。對(duì)不同參數(shù)K值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并畫出I-q平面上的相。

標(biāo)準(zhǔn)映射第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日5.

標(biāo)準(zhǔn)映射隨機(jī)海K=0.5時(shí)，在周期1與周期2區(qū)之間，除了一些橫貫左右的點(diǎn)線外，還存在一些光滑曲線。點(diǎn)線是破裂了的有理線，光滑曲線是沒有破裂的KAM不變線。說明隨機(jī)性受KAM不變線約束而存在于局部區(qū)域內(nèi)；

K=1.0時(shí)，周期1與周期2區(qū)之間的光滑曲線消失，成了彌散點(diǎn)，KAM線破裂了。隨KAM不變線破裂，局部隨機(jī)區(qū)逐步向全局?jǐn)U散，匯成廣泛彌散開的大?！S機(jī)海(Stochasticsea)。這是一種全局性的混沌形態(tài)。第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日5.

標(biāo)準(zhǔn)映射標(biāo)準(zhǔn)映射相圖第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)電子混沌電路1.外激勵(lì)的非線性LC諧振電路2.微分方程的模擬電子電路3.實(shí)際動(dòng)力體系的電子模擬電路

第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

如果在通常的LC諧振電路中，使用非線性電阻、電容或電感等一些非線性電子元件，如果這些元件的數(shù)值（電阻值、電容量或電感量）是外加電壓或頻率的函數(shù)，就構(gòu)成一種非線性LC

諧振電路，在合適的驅(qū)動(dòng)電壓作用下，將會(huì)呈現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌特性。這里以單結(jié)晶體管作為非線性電阻，變?nèi)荻O管作為非線性電容為例，介紹一下外激勵(lì)非線性LC

電路進(jìn)入混沌的基本情況。

1.外激勵(lì)非線性LC諧振電路非線性LC諧振電路

第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

這里將一只單結(jié)晶體管聯(lián)結(jié)為一個(gè)非線性電阻。單結(jié)晶體管也稱雙基極二極管，它有兩個(gè)基極b1

和b2和一個(gè)發(fā)射極e

。e對(duì)基極b1和b2就是一個(gè)PN

結(jié)，具有單向?qū)щ娦?。兩個(gè)基極之間的電阻是半導(dǎo)體的內(nèi)電阻。當(dāng)b2-

b1

間加上電壓ubb，b2-

b1

間的發(fā)射極電位決定于內(nèi)電阻上的分壓比h：

當(dāng)發(fā)射極外加電壓高于e點(diǎn)電位的二極管壓降ud(0.6V)時(shí)，ue>hubb+ud,e-

b1導(dǎo)通。在混沌電路中，通常將基極b2和發(fā)射極聯(lián)在一起，成了二端元件。當(dāng)ue<hubb+ud時(shí),單結(jié)晶體管的伏安特性呈正電阻，電路中電流為b2-

b1

電流，當(dāng)ue>hubb+ud時(shí)，e-

b1導(dǎo)通，隨電流增大，兩端電壓下降，成負(fù)電阻。1.外激勵(lì)非線性LC諧振電路單結(jié)晶體管伏安特性第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日單結(jié)晶體管混沌電路

1.外激勵(lì)非線性LC諧振電路

單結(jié)晶體管可選BT33D，電路如下。這是串聯(lián)的強(qiáng)迫振蕩電路，非線性電阻(R2)即單結(jié)晶體管，電感L和電容C，電阻R1、R3都是線性元件。電阻R3（也是電流取樣電阻）和電源構(gòu)成了單結(jié)晶體管的偏置電路。L＝30mH，C＝0.03μF，R1＝125Ω，R3＝33.8kΩ，Ec＝28V

第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日電路中的混沌狀態(tài)

設(shè)驅(qū)動(dòng)為：以f與u0為該電路的兩個(gè)可變參數(shù)，研究取不同的數(shù)值時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

研究發(fā)現(xiàn)存在以下一些工作狀態(tài)：

①驅(qū)動(dòng)電壓的幅度u0＝0時(shí)，電路處于單穩(wěn)狀態(tài)；

②固定驅(qū)動(dòng)電壓幅度，改變驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率f，當(dāng)逐步接近電路的固有頻率時(shí)，電路出現(xiàn)突變的鎖頻狀態(tài)；

③固定驅(qū)動(dòng)電壓的頻率f，將驅(qū)動(dòng)電壓的幅度u0由小到大增加，在u0的一定變化范圍內(nèi)出現(xiàn)倍周期分岔與混沌運(yùn)動(dòng)。但在不同頻率f下，出現(xiàn)倍周期分岔與混沌的u0值范圍不同，倍周期分岔與混沌的過程也不一樣；

④當(dāng)f遠(yuǎn)離f0時(shí)，隨輸入信號(hào)幅度值逐步升高，電路出現(xiàn)倍周期分岔－混沌－反倍周期的過程；

⑤當(dāng)u0值進(jìn)一步升高時(shí)，倍周期分岔與混沌現(xiàn)象消失，電路表現(xiàn)出一般非線性電路所共有的畸變波形的特征。1.外激勵(lì)非線性LC諧振電路第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日電路中的混沌狀態(tài)

設(shè)驅(qū)電壓動(dòng)為：

以f與u0為該電路的兩個(gè)可變參數(shù)，研究取不同的數(shù)值時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

固定驅(qū)動(dòng)電壓的頻率f，將驅(qū)動(dòng)電壓的幅度u0由小到大增加，在u0的一定變化范圍內(nèi)出現(xiàn)倍周期分岔與混沌運(yùn)動(dòng)。

1.外激勵(lì)非線性LC諧振電路第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

這是一個(gè)廣泛研究過的電路。通常它由電阻R，電感L與一只硅二極管D阻成。硅二極管在反向偏置時(shí)其極間電容即為回路電容，且其容量隨電壓變化而變化，但與所加電壓是非線性關(guān)系。正向偏置時(shí)為一直流電壓源。圖中右側(cè)的場(chǎng)效應(yīng)管電路是提高輸入阻抗以便用示波進(jìn)行測(cè)量。電路中，R＝100W，L＝0.25H。1.外激勵(lì)非線性LC

諧振電路二極管－電感混沌電路

第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二極管－電感混沌電路

實(shí)驗(yàn)時(shí)，電路上加上正弦電壓，并使外加電壓頻率與由電感和二極管反向電容組成的回路的固有頻率相接近，即接近共振狀態(tài)。逐步改變輸入電壓的大小，同時(shí)用示波器檢測(cè)二極管上的電壓波形。當(dāng)輸入電壓很小時(shí)，輸出電壓為高度相等的整流波形。隨著外加電壓的增加，二極管上出現(xiàn)一串高度不等的整流波形電壓。這時(shí)二極管電壓經(jīng)歷了倍周期分岔，并最終進(jìn)入混沌。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)波形可以計(jì)算費(fèi)根鮑姆常數(shù)等各項(xiàng)常數(shù)，結(jié)果如表。

11―15db13.2db功率譜中平均峰高比6.3±0.36.619噪聲指數(shù)2.4±0.12.50…費(fèi)根鮑姆第二常數(shù)4.26±0.14.66920…費(fèi)根鮑姆第一常數(shù)實(shí)驗(yàn)值理論值各項(xiàng)數(shù)值1.外激勵(lì)非線性LC

諧振電路第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.微分方程模擬電子電路

能產(chǎn)生混沌行為的典型非線性常微分方程是由三個(gè)獨(dú)立變量的一階微分方程，如洛倫茲方程或羅斯勒方程。在研究動(dòng)力系統(tǒng)的相圖時(shí)，常將一個(gè)二階微分方程化為兩個(gè)一階方程。同樣地，可以通過數(shù)學(xué)上變換，可將三個(gè)一階微分方程化為一個(gè)三階微分方程來。因此可將產(chǎn)生混沌行為非線性微分方程寫成一個(gè)三階方程：式中為各項(xiàng)系數(shù)，為一非線性函數(shù)，系數(shù)為包括0在內(nèi)的各種正負(fù)常數(shù)，因此從一般方程可變換出許多形式的非線性方程。但不是所有的方程都具有混沌行為。三階方程的系統(tǒng)有三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)，具有混沌行為要求至少有一個(gè)是正值。一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)之和代表了相體積沿軌道的平均變化速率，如果三個(gè)指數(shù)之和小于零，，系統(tǒng)相體積在運(yùn)動(dòng)中會(huì)逐漸減小，是耗散系統(tǒng)；如等于零，，相體積不變，此為保守系統(tǒng)。三階非線性微分方程第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日非線性函數(shù)電路2.微分方程模擬電子電路非線性函數(shù)f(x)

在電路上可用二極管及線性放大器的適當(dāng)?shù)穆?lián)接來實(shí)現(xiàn)。第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

f(x)=|x|

的電路

這種情況的微分方程可以如下構(gòu)成：式中只有一個(gè)控制參數(shù)A。由圖可見，該電路以為電壓驅(qū)動(dòng)，用了三個(gè)串接的反向積分器以產(chǎn)生，和x等三個(gè)量，并一定比例將三個(gè)信號(hào)及一個(gè)由電池產(chǎn)生的直流電壓相加起來，再反饋到第一個(gè)積分器的輸入端。

2.微分方程模擬電子電路第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

f(x)=|x|的電路2.微分方程模擬電子電路

為了得到合適的參數(shù)A取值范圍，可計(jì)算方程解x(t)

對(duì)A的分岔圖。取方程右邊的正負(fù)號(hào)為負(fù)號(hào)，初始條件為，得的分岔圖。

可見當(dāng)參數(shù)A由0.8向0.64085逼近時(shí)，系統(tǒng)以倍周期分岔進(jìn)入混沌。A值小于0.64085后，出現(xiàn)類似于平方映射那樣的帶有大大小小窗口的典型的混沌帶，而在附近出現(xiàn)周期3窗口，是不穩(wěn)定的。方程在這里的長(zhǎng)時(shí)間演化是對(duì)無(wú)窮大發(fā)散的。第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.微分方程模擬電子電路

f(x)=|x|的電路

f(x)=|x|混沌電路的三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)為:可見三個(gè)指數(shù)之和小于零，這是耗散系統(tǒng)。所以該電路存在奇怪吸引子。第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日單二極管非線函數(shù)電路

這是用單二極管完成的非線性函數(shù)為R(x)微分方程：該方程的三個(gè)李雅普諾夫指數(shù)分別為(0.042,0,0.342)，也是耗散系統(tǒng)。電路上與上面f(x)=|x|電路基本相同，主要差別在以阻容積分電路代替了第二個(gè)有源積分器。電路中各個(gè)電阻值均為1kΩ。類似地可以用非線性函數(shù)D(x)組成的微分方程，與R(x)電路的差別在只在二極管正反向不同。

2.微分方程模擬電子電路第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日躍變非線性函數(shù)電路

躍變非線性函數(shù)利用了運(yùn)算放大器的內(nèi)在非線性特性，即理想放大器開環(huán)特性。當(dāng)輸入電壓過零時(shí)，理想放大器輸出從負(fù)飽和值躍變到正飽和值。一個(gè)簡(jiǎn)單的以躍變非線性函數(shù)的微分方程為：式中不同正負(fù)號(hào)有不同的李雅普諾夫指數(shù)，取正號(hào)時(shí)為，[0.152,0,0.652]，負(fù)號(hào)時(shí)為[0.601,0,1.101]。2.微分方程模擬電子電路取方程中正號(hào)時(shí)電路。圖中的電阻R的選取是使運(yùn)算放大器正向飽和電流為1mA，其它電阻均為1kΩ，電容的單位為微法。第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)方程取負(fù)號(hào)，并設(shè)x項(xiàng)的系數(shù)是可調(diào)參數(shù)B，則方程變?yōu)椋捍藞D是對(duì)不同參數(shù)B時(shí)，在平面內(nèi)的吸引子形式。2.微分方程模擬電子電路躍變非線性函數(shù)電路

對(duì)方程的不同正負(fù)號(hào)，奇怪吸引子有不相的形式。當(dāng)取正號(hào)時(shí)，奇怪吸引子是一種單折帶形式，有點(diǎn)象羅斯勒吸引子；當(dāng)取負(fù)號(hào)時(shí)，奇怪吸引子是一種雙旋結(jié)構(gòu)，類似于洛侖茲吸引子。第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

這是一個(gè)具有非線性電阻的混沌電路電路，是由美籍華人蔡少棠首先發(fā)起研究的。圖中電阻R是非