2021青浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)解析一.填空題（本大題共題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．已知集合A(，B4，則集合A____________．【考點(diǎn)】集合【解析】A32．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi2i，則zz____________．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)【解析】z1iiz13i13i32i1243．已知三階行列式1x4139的值為0，則x____________．【考點(diǎn)】行列式1241x49x8124x12180【解析】139x24．已知△中，A30,B45,BC6，則AC____________．【考點(diǎn)】解斜三角形【解析】可化簡為62sinAsinBsinA2125．已知函數(shù)f(x)3xa31x最小值為53，則a____________．【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與基本不等式aa5【解析】fxxxa()33112131313xx，可知a169116．(x2)9的展開式中x9系數(shù)是____________．2x【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式rr1119r【解析】(x2)9TCxCx展開式的公式2182rrrrr1992x2x2當(dāng)r9，r33121TCxx33331922，系數(shù).27．若從一副52張的撲克牌中隨機(jī)抽取1張，放回后再抽取1張，則兩張牌都是K的概率為____________．（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）．【考點(diǎn)】排列組合.1【解析】每次抽到K的概率都是211，兩張都是K的概率為13169.8．已知正三角形的邊長為1，點(diǎn)D在邊上，且1BD，則AB____________．3【考點(diǎn)】向量運(yùn)算.B【解析】)33215o33336.9．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(7,0)，直線yx1與該雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則此雙曲線的方程是____________．3【考點(diǎn)】雙曲線.【解析】中點(diǎn)在yx1上，則中點(diǎn)做標(biāo)是25)--；聯(lián)立方程組可得33yx1得7axay7aa整理2222227a2x2ax27a2a222xy122a7a27-2ax2a7aa0，222222a42xx=得a2=21227-2a3化簡可得xy.2212510．已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)0，則方程f(x)0在區(qū)間(0,6)內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)的最小值是____________個．【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn).【解析】函數(shù)yf(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)可知f(0)f1.5f(且函數(shù)周期為31.5(0，有定義可知f(0)ff(6)f(f(2)ffff1.5f(f(4.5)0故在的零點(diǎn)是7個.f(ff(4)11.已知直線l:yx1與x軸交于點(diǎn)A,將線段的n等分點(diǎn)從左至右依次記為PP,過這些分點(diǎn)1,2,n1分別作x軸的垂線，與直線l的交點(diǎn)依次為1,2,nQQ,從而得到n1個直角三角形11,P,若這些三角形的面積之和為n2S,則limSnnn____________.【考點(diǎn)】等差數(shù)列求和，數(shù)列極限.nn12111【解析】由題意，A1,0,P,0,P,0,,0,Q,12n11nnnnnnn2211Q,,,2n1nnnn11n111n2S,S,，所以QOPQPP2nn2nn11212111,nnnnn12122Sn1n1n11n1n211122nnnn2nn，n1nn1121,2nn4nn11S.nnn4n44n4x2,x2416xfxx，滿足12.已知函數(shù)，若對任意的x，都存在唯一的12,2xa1,x2

2fxfx，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.12【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性，值域包含關(guān)系，指數(shù)不等式，分類討論思想3【解析】當(dāng)x111.1)時,16164x4x16211x1當(dāng)x時，若a2,則2,2fx|xa|ax1122a21在,2上單調(diào)遞增,,fx22a211依題意,162a24111,所以,2162a2a6.又a2,所以a[2,6);(2)若a2,則fxax1|xa|1221xa2,xa,ax22a1fx在,a上單調(diào)遞增,fx,fx在a,2上單調(diào)遞減，此時fx,12，依題意,2a11則

162，解得a又a2,所以a[綜上,a[6).二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共13.已知a,bR，則a0,b0是ab的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】基本不等式，充分必要條件【解析】因?yàn)閍0,b0，由基本不等式得，ab2;若ab,舉例a0,b0符合，所以不能推出a0,b0，故選A.414.下列點(diǎn)不在直線2x1t22y2t2（t為參數(shù)）上的是（）A.(2)B.(2)C.(2,D.2)【考點(diǎn)】直線的參數(shù)方程【解析】轉(zhuǎn)化成一般方程為xy10，因此點(diǎn)(2)不在直線上，因此選B．15.點(diǎn)P在直線l:yx1上，若存在過P的直線交拋物線yx2于,B兩點(diǎn)，且，則稱P為“友善點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．直線上的所有點(diǎn)都是“友善點(diǎn)”B．直線上僅有有限個點(diǎn)是“友善點(diǎn)”C．直線上的所有點(diǎn)都不是“友善點(diǎn)”D．直線上有無窮多個點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“友善點(diǎn)”【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)【解析】由拋物線性質(zhì)可知，直線AB接近于與拋物線相切時，AB的值趨向0；直線AB接近于與拋物線對稱軸平行時，AB的值趨向．因此考慮直線AB從與拋物線相切的位置旋轉(zhuǎn)至與拋物線對稱軸平行的過程時，AB的取值范圍為(0,)，因此在這過程中，一定有一個位置使得，因此直線上的所有點(diǎn)都是“友善點(diǎn)”，故選A．16.已知函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?，給出以下兩個結(jié)論：①若函數(shù)yf(x)的圖像是軸對稱圖形，則函數(shù)yf(f(x的圖像是軸對稱圖形；②若函數(shù)yf(x)的圖像是中心對稱圖形，則函數(shù)yf(f(x的圖像是中心對稱圖形．它們的成立情況是（）A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①②均不成立D.①②均成立【考點(diǎn)】函數(shù)圖像的對稱性【解析】5①f(x)x1ffxx并不是軸對稱圖形，反例如下左1是雙曲線，軸對稱，但((11111是雙曲線，軸對稱，但((11112x2x2(x12x圖．②若yf(x)的圖像關(guān)于(a,b)對稱，有f(x)f(2ax)b，即f(x)bf(2ax)，因此f(f(xf(2bf(2ax，而f(2bf(2ax不一定能化簡為b'f(f(2a'x的形式，因此②不成立．反例：f(x)(x3關(guān)于對稱，但f(f(x((x33并不中心對稱，如下右圖．故選C．三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=7617.本題滿分分本題共有21小題滿分62小題滿分8分.如圖，已知圓錐的體積為，底面半徑與的夾角2

，且3，P是母線的中點(diǎn)，3(1)求圓錐的表面積;(2)求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.【考點(diǎn)】圓錐表面積，異面直線的夾角1【解析】(1)h,SSOSBS32(3)23表(236(2)如圖，取中點(diǎn)H,連接PH,AH,異面直線與所成角為或其補(bǔ)角,211AHPHAPH,所以異面直線與所成角的大小為,,tan21

2221.18.本題滿分分本題共有21小題滿分62小題滿分8分.xxxfx22sin222,已知函數(shù)2222(1)求函數(shù)fx在區(qū)間0,上的值域;(2)若方程fwx3w0在區(qū)間0,上至少有兩個不同的解，求w的取值范圍【考點(diǎn)】二倍角公式，三角函數(shù)【解析】(1)xxxf(x)22sin2222sinx2x,22222sinx4tx,t,,令444,由ysint的圖像知,sint2,12,即2sinx,1,2sinx[2,2],所以函數(shù)424fx的值域?yàn)閇2,(2)2sin(0),3,2sin3fxxx44,3sinx42Z或2(),解得x2k(k)xkkZ4343x,444,由于方程fx)3(0)在區(qū)間[0,]上至少有兩個不同的解,,解得5,所以的取值范圍為5,431212.719.由于新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服短缺，某地政府決定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供x(x[0,10])(萬元)專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服．A公司在收到政府x(萬元)補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)12量將增加到tk6x4(萬件)，其中k為工廠工人的復(fù)工率(k．A公司生產(chǎn)t萬件防護(hù)服還需投入成本(209xt萬元)．（）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤y(萬元)表示為補(bǔ)貼x(萬元)的函數(shù)(政府補(bǔ)貼x萬元計(jì)入公司收入)；（）對任意的x[0,10](萬元)，當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到多少時，A公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到0.01）．【考點(diǎn)】應(yīng)用題【解析】（）由題意，yxt(209xt)t8x2012kx306820x4360k，180k8x20x4即360ky180k8x20x4，x[0,10]，k．360k（）對任意的x[0,10]萬元，A公司都不產(chǎn)生虧損，則180k8x200x4在x[0,10]上恒成立，不等式整理得，180k2084xx2084x2，令mx2，則m2,12，則20848428xxmm8m20，x2mm882函數(shù)在2,12上遞增，得hmm201281220116hmh，m1232所以180k116，即k3211630.65．180所以當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到0.65時，對任意的x[0,10]萬元，A公司都不產(chǎn)生虧損．xy52220.,B分別是橢圓C:ab0)的左右頂點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB6，點(diǎn)在橢圓C上．過點(diǎn)ab322P(0,的直線l交橢圓C于M,N兩個不同的點(diǎn)．8（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若點(diǎn)B落在以線段MN為直徑的圓的外部，求直線l的傾斜角的取值范圍；（）當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時，設(shè)直線AM,分別交y軸于點(diǎn)S,T,記PSPO,PTPO，求的取值范圍．【考點(diǎn)】橢圓5【解析】（）因?yàn)锳B6，所以a3；又點(diǎn)在圖像C上即3252231，9b2所以b5，所以橢圓C的方程為xy．22195（）由（）可得B0，①當(dāng)直線l的斜率不存在時，25，以線段MN為直徑的圓交x軸于(5,0)，點(diǎn)B0在以線段MN為直徑的圓的外部，符合，此時90，②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l:y3，設(shè)Mxy、Nxy，(,)(,)1122y3由22得9k2)x254360，xy+195(54k)4369k)0解得222k或32k（）3因?yàn)辄c(diǎn)B0在以線段MN為直徑的圓的外部，則0，又54kxx12259k36xx1259k2，(xy)(xy)k)xxk)(xx)1802112212127解得k1或k（）29由（i）、（）得實(shí)數(shù)k的范圍是23或k17k，22π72由①、②得直線l的傾斜角的范圍是；(arc,),πarc)34232（）設(shè)直線l:y3，又直線l的傾斜角為銳角，由（2）可知k，3記M(x,y)、11N(x,y)，22yy所以直線AM的方程是：，直線的方程是：y1x3所以直線AM的方程是：，直線的方程是：y2x3x3x312，3y3y令x0，解得1，所以點(diǎn)S為1yxx113y；同理點(diǎn)T為2x+32，3y所以1PS3x+313y，23x+32，0,3，3y由，，可得：1x+313y，233x+32，3yy所以12x3x3122，由（254kxx1229k5，36xx1229k5，3323118xkxx所以12221212xxxxxx33391212123654k2k3k1189k59k5223654k99k59k522210k19k2k12210k19k22101422,29k133，4綜上所以的范圍是,2．31021.(本題滿分分）本題共有31小題滿分42小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知數(shù)列a}為等差數(shù)列，且a25，n823．?dāng)?shù)列b}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，12b，且對任意n正整數(shù)s,t都有bbb成立．stst（）求數(shù)列a}、b}的