第2課時等比數(shù)列習(xí)題課核心互動探究探究點一錯位相減法【典例1】已知等比數(shù)列{an}滿足:a1=,a1,a2,a3-成等差數(shù)列,公比q∈(0,1),(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【思維導(dǎo)引】(1)根據(jù)a1,a2,a3-成等差數(shù)列求得公比q,寫出通項公式;(2)利用錯位相減法求和.【解析】(1)因為a1,a2,a3-成等差數(shù)列,a1=,所以2a2=a1+a3-,即4q2-8q+3=0,解得q=或q=,又因為q∈(0,1),所以q=,所以an=(2)根據(jù)題意得bn=nan=,Sn=,①②作差得Sn=,Sn=2-(n+2).【母題探究】1.本題中設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和S′n.【解析】由題意知cn=n·2n所以S′n=1×21+2×22+3×23+…+(n-2)×2n-2+(n-1)×2n-1+n·2n,2S′n=1×22+2×23+3×24+…+(n-2)×2n-1+(n-1)×2n+n·2n+1,兩式相減得:-S′n=1×21+22+23+24+…+2n-1+2n-n·2n+1=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以S′n=(n-1)·2n+1+2.2.本題中設(shè)dn=(2n-1)an,求數(shù)列{dn}的前n項和Tn.【解析】由題意可得Tn=1×+3×+…+(2n-1)×,Tn=1×+3×+…+(2n-3)×+(2n-1)×,兩式相減得

Tn=1×+2×+…+2×-(2n-1)×=+×-(2n-1)×=,所以Tn=.【類題通法】錯位相減法的適用題目及注意事項(1)適用范圍:它主要適用于{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項和.(2)注意事項:①利用“錯位相減法”,在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時,應(yīng)注意使兩式錯位對齊,以便于作差,正確寫出(1-q)Sn的表達(dá)式.②利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況.【定向訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N+.(1)求an,bn;(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.【解析】(1)由Sn=2n2+n,得當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-1,當(dāng)n=1時,a1也滿足,所以an=4n-1,n∈N+.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+.(2)由(1)知an·bn=(4n-1)·2n-1,n∈N+,所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N+.【補償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n.{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)令cn=.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.【解析】(1)由題意知當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n+5,當(dāng)n=1時,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.由即解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.由Tn=c1+c2+c3+…+cn,得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)·2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)·2n+2].兩式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)·2n+2]=3×=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.探究點二可化為等比數(shù)列的求和問題【典例2】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n+1-2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=Sn+log2,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【思維導(dǎo)引】(1)利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式.(2)利用(1)的結(jié)論,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和問題求解.【解析】(1)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n+1-2.①當(dāng)n=1時,a1=2;當(dāng)n≥2時,Sn-1=2n-2.②,①-②得an=2n,經(jīng)驗證a1=2符合通項公式,故an=2n.(2)由于an=2n,Sn=2n+1-2.數(shù)列{bn}滿足bn=Sn+log2=2n+1-2-n.所以Tn=(22-2-1)+(23-2-2)+…+(2n+1-2-n)=(22+23+24+…+2n+1)-2n-(1+2+3+…+n)==2n+2-n2-4-n.【類題通法】非等差、等比數(shù)列求和問題的求解方法(1)當(dāng)數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時,在求數(shù)列{an}的前n項和時,可通過轉(zhuǎn)化的思想,將數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求和問題解決,常用的方法有分組求和、裂項求和等.(2)非等差、等比數(shù)列求通項問題,可對an所滿足的關(guān)系式進(jìn)行變形,轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,借助于求和公式得出數(shù)列的通項公式.

【定向訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.【解析】(1)因為Sn=2an-2,①所以,②②-①得,即=2an,即=2(常數(shù)),當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1-2,解得a1=2,所以{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,通項公式為an=2·2n-1=2n.(2)由(1)知an=2n,故Sn=,Tn=2(21+22+…+2n)-2-2-…-2=-4-2n.【補償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的首項a1=5,前n項和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*.(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.(2)求{an}的通項公式以及Sn.【解析】(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*,可得當(dāng)n≥2時,Sn=2Sn-1+n+4.兩式相減得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,從而an+1+1=2(an+1),當(dāng)n=1時,S2=2S1+1+5,所以a1+a2=2a1+6,又a1=5,所以a2=11,從而a2+1=2(a1+1),故總有an+1+1=2(an+1),n∈N*,又a1=5,a1+1≠0,從而=2,即數(shù)列{an+1}是首項為6,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)得an+1=6×2n-1,所以an=6×2n-1-1,于是Sn=-n=6×2n-n-6.探究點三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例3】已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說明理由.【思維導(dǎo)引】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由題意列出等比數(shù)列{an}的首項a1與公比q的方程組解出a1與q,進(jìn)而求an.(2)在(1)的基礎(chǔ)上求出Sn,是否存在正整數(shù)n使得Sn≥2013,關(guān)鍵是看不等式Sn≥2013有無正整數(shù)解.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則a1≠0,q≠0.由題意得即解得故數(shù)列{an}的通項公式為an=3×(-2)n-1.(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.若存在n,使得Sn≥2013,則1-(-2)n≥2013,即(-2)n≤-2012.當(dāng)n為偶數(shù)時,(-2)n>0,上式不成立;當(dāng)n為奇數(shù)時,(-2)n=-2n≤-2012,即2n≥2012,則n≥11.綜上,存在符合條件的正整數(shù)n,且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1,k∈N*,k≥5}.【類題通法】與等差、等比數(shù)列有關(guān)的綜合問題,解題中應(yīng)注意的方法與技巧(1)轉(zhuǎn)化思想:將非等差(比)數(shù)列轉(zhuǎn)化,構(gòu)造出新的等差(比)數(shù)列,以便于利用其公式和性質(zhì)解題.(2)等差(比)數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用.(3)當(dāng)題中有多個數(shù)列出現(xiàn)時,既要研究單一數(shù)列項與項之間的關(guān)系,又要關(guān)注各數(shù)列之間的相互聯(lián)系.(4)涉及前n項和Sn的,要注意an=Sn-Sn-1(n≥2)在an與Sn關(guān)系中的應(yīng)用.【知識拓展】存在性、探索性問題的基本特征及解題策略(1)基本特征:要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.(2)解題策略:假定題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論,然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè),否則,給出肯定結(jié)論.【定向訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n-n2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n+3,當(dāng)n=1時,a1=S1=2×1-12=1也適合上式,所以{an}的通項公式an=-2n+3(n∈N+).又an=log5bn,所以log5bn=-2n+3,于是bn=5-2n+3,bn+1=5-2n+1,所以

.因此{(lán)bn}是公比為的等比數(shù)列,且b1=5-2+3=5,于是{bn}的前n項和Tn=【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10∶S5=1∶2,則S15∶S5等于 (

)

A.3∶4

B.2∶3 C.1∶2

D.1∶3【解析】選A.設(shè)S5=2k(k≠0),則S10=k,所以S10-S5=-k.由S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列得S15-S10=k,于是S15=k,所以S15∶S5=k∶2k=3∶4.2.等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1),則數(shù)列a3,a6,a9,…,a3n,…的前n項和為 (

)【解析】選C.等比數(shù)列中,序號成等差數(shù)列,則這些項仍成等比數(shù)列,則a3,a6,…,a3n,…是等比數(shù)列,且首項為a3,公比為=q3,再用等比數(shù)列的前n項和公式求解,即Sn=.3.(2018·全