6.向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握向量加法的定義以及向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.2.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并能解決相關(guān)問題．知識點向量求和法則及運算律圖示幾何意義三角形法則平面上任意給定兩個向量a，b，在該平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(AC,\s\up6(→))，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))稱為a與b的和(也稱eq\o(AC,\s\up6(→))為向量a與b的和向量)，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))平行四邊形法則平面上任意給定兩個不共線的向量a，b，在該平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，作出向量eq\o(AD,\s\up6(→))，因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，因此eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)模的不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|1．任意兩個向量的和仍然是一個向量．(√)2．|a＋b|≤|a|＋|b|等號成立的條件是a∥b.(×)3．任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．(×)4．求任意兩個非零向量的和都可以用平行四邊形法則．(×)一、向量加法及其幾何意義例1如圖(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.解(1)作法：如圖，在平面內(nèi)任意取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.(2)如圖，在平面內(nèi)任意取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.反思感悟應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則應(yīng)注意的問題(1)三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即n個首尾相連的向量的和對應(yīng)的向量是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量．(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合．(3)求作三個或三個以上的向量和時，用三角形法則更簡單．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解作法：在平面內(nèi)任取一點O，如圖所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.二、向量加法運算律的應(yīng)用例2(1)化簡或計算：①eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).解①eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.(2)如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，AC，AB的中點．化簡eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).解由題意知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).由題意可知eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.反思感悟解決向量加法運算時應(yīng)關(guān)注兩點(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算．(2)要靈活應(yīng)用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OA,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(DC,\s\up6(→))答案C解析eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).(2)已知正方形ABCD的邊長等于1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(2)解析|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).向量a，b的模與a＋b的模之間的關(guān)系典例已知非零向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，且不共線，求|a＋b|的取值范圍．解∵a與b不共線，且|a|＝2，|b|＝3，∴||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，∴1<|a＋b|<5，故|a＋b|的取值范圍為(1,5)．[素養(yǎng)提升](1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)a與b反向時，左邊等號成立，當(dāng)a與b同向時，右邊等號成立．(2)解答本題可利用向量加法的三角形法則作出圖形輔助解答．1．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則a＋b等于()A.eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))答案D解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，∴a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).2．(多選)下列各式一定成立的是()A．a(chǎn)＋b＝b＋a B．0＋a＝aC.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|答案ABC解析A成立，為向量加法交換律；B成立，這是規(guī)定；C成立，即三角形法則；D不一定成立，只有a，b同向或有一者為零向量時，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.3．已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中結(jié)果為0的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案B解析由向量加法的運算法則知①④的結(jié)果為0.故選B.4.如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))答案D解析eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).5.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝________.答案0解析eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.1．知識清單：(1)向量加法的三角形法則．(2)向量加法的平行四邊形法則．(3)向量加法的運算律．2．方法歸納：作圖法．3．常見誤區(qū)：作和向量時，共起點或首尾順次相接，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等號成立的條件．1．(多選)下列命題正確的是()A．向量的加法運算滿足結(jié)合律和交換律B．當(dāng)向量a與向量b不共線時，a＋b的方向與a，b都不同向，且|a＋b|<|a|＋|b|C．當(dāng)向量a與向量b同向時，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起點和終點答案ABC解析A顯然正確；根據(jù)向量的和的意義、三角形法則可判斷B，C都正確；D錯誤，如平行四邊形ABCD中，有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，起點和終點都不相同．2．如圖所示的方格中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OH,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(FO,\s\up6(→))D.eq\o(EO,\s\up6(→))答案C解析設(shè)a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形(圖略)，則夾在OP，OQ之間的對角線對應(yīng)的向量即為向量a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，則a與eq\o(FO,\s\up6(→))長度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up6(→)).3．已知四邊形ABCD為菱形，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))答案C解析對于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→))；對于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))；對于C，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；對于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(DC,\s\up6(→)).4．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，則下面結(jié)論正確的是()A.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)) B.eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))≠0 D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0答案D解析由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0.5．在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))的長度等于()A．1B．2C．3D．4答案D解析矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，所以AC＝2，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，所以其長度為4.6．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＋eq\o(OP,\s\up6(→))化簡后等于________．答案eq\o(AM,\s\up6(→))解析(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).7．已知點G是△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝________.答案0解析如圖所示，連接AG并延長交BC于E點，點E為BC的中點，延長AE到D點，使GE＝ED，則eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.8．若a等于“向東走8km”，b等于“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案8eq\r(2)km北偏東45°解析如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，且△ABC為等腰直角三角形，則|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8eq\r(2)，∠BAC＝45°.9．如圖，已知向量a，b.(1)用平行四邊形法則作出向量a＋b；(2)用三角形法則作出向量a＋b.解(1)如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.(2)如圖，在平面內(nèi)任取一點O′，作eq\o(O′D,\s\up6(→))＝a，eq\o(DE,\s\up6(→))＝b，連接O′E，則eq\o(O′E,\s\up6(→))＝eq\o(O′D,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝a＋b.10．如圖，∠AOB＝∠BOC＝120°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，求eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).解如圖所示，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，由向量加法的平行四邊形法則，可知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).∵∠AOB＝120°，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，∴∠BOD＝60°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OD,\s\up6(→))|.∵∠BOC＝120°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.11．(多選)已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中正確的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)) B.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→)) D.eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))答案ABC解析由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))≠eq\o(FD,\s\up6(→))，故D不正確．12．若|a|＝|b|＝1，則|a＋b|的取值范圍為________，當(dāng)|a＋b|取得最大值時，向量a，b的方向________．答案[0,2]相同解析由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.當(dāng)|a＋b|取得最大值時，向量a，b的方向相同．13．如圖所示，△ABC中，eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)，且BC＝3，則|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))|＝________.答案2解析∵eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)，∴DE∥BC，且DE＝eq\f(1,3)BC＝1.如圖所示，作eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，連接DF，則eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|－|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝2.14．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，則|a＋b|＝________.答案3e