13.2.3直線與平面的位置關(guān)系1.了解直線與平面的三種位置關(guān)系,會判斷直線與平面的位置關(guān)系.2.掌握空間中直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,并能簡單應(yīng)用.3.了解直線和平面垂直的相關(guān)概念,了解點到平面的距離、直線和平面的距離、

直線和平面所成的角的概念.4.掌握空間中直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并能簡單應(yīng)用.位置關(guān)系公共點個數(shù)圖形表示符號表示直線a在平面α內(nèi)無數(shù)個

①

a?α

直線a與平面α相交有且只有一個

a∩α=A直線a與平面α平行沒有

a∥α直線與平面的三種位置關(guān)系

直線與平面平行

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果平面外一條

直線與此平面內(nèi)

的一條直線平行,

那么該直線與此

平面平行

?②

a∥α

性質(zhì)定理一條直線與一個

平面平行,如果過

該直線的平面與

此平面相交,那么

該直線與交線平

行

?l∥m

直線與平面垂直

a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么稱直線a與平面α垂直,記

作a⊥α.直線a叫作平面α的垂線,平面α叫作直線a的垂面,垂線和平面的交點稱為

垂足.

判定定理性質(zhì)定理文字語言如果一條直線與一個平

面內(nèi)的兩條④

相交

直線垂直,那么該直線

與此平面垂直垂直于同一個平面的兩

條直線⑤

平行

圖形語言

符號語言

?a⊥α

?a∥b常用結(jié)論

過一點有且只有一條直

線與已知平面垂直,過

一點有且只有一個平面

與已知直線垂直

兩種距離從平面外一點引平面的垂線,這個點和垂足間的距離,叫作這個點到這個平面的

距離.一條直線和一個平面平行,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫作這條直

線和這個平面的距離.

直線與平面所成的角1.斜線:一條直線與一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫作這個

平面的斜線.2.斜足:斜線與平面的交點叫作斜足.3.斜線段:斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段.(1)概念:如圖,過平面外一點P向平面α引斜線和垂線,那么過斜足A和垂足O的直

線就是斜線在平面內(nèi)的射影,線段⑦

OA

就是斜線段PA在平面α內(nèi)的射影.

(2)常用結(jié)論:如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直,那么這條直線

就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.(1)概念:平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫作這條直線與

這個平面所成的角.(2)規(guī)定:如果一條直線垂直于平面,那么稱它們所成的角是直角;如果一條直線與

平面平行或在平面內(nèi),那么稱它們所成的角是0°角.(3)取值范圍:設(shè)直線與平面所成的角為θ,則⑧

0°≤θ≤90°

.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α.

(

?)直線l和平面α相交也滿足l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi).2.如果兩條平行線中的一條直線與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行.

(

?)a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,則a∥b.

(

?)直線a和直線b可能平行、相交或異面.ABCD中,AB∥CD,若AB?平面α,CD?平面α,則直線CD與平面α內(nèi)的任意

直線平行.

(

?)由題意知CD∥α,則平面α內(nèi)的直線與CD可能平行,也可能異面.m與平面α所成的角為θ,則θ可能為135°.

(

?)直線與平面所成的角θ的范圍為0°≤θ≤90°.l垂直于平面α,則l與平面α內(nèi)的直線可能相交,可能異面,也可能平行.

(

?)l與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.a⊥b,b⊥α,則a∥α.

(

?)a也可能在平面α內(nèi).l垂直于平面α內(nèi)的兩條直線,則直線l垂直于平面α.

(

?)直線l必須垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線,才有l(wèi)垂直于平面α.

如何證明直線與平面平行

2.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用,也就是通過線線平行推

出線面平行,再通過線面平行推出線線平行,復(fù)雜的題目還可繼續(xù)推下去.有如下示意圖:

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上,點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN∥平面ABB1A1.證明

證法一:如圖所示,作ME∥BC,交BB1于點E,作NF∥AD,交AB于點F,連接

EF,

則FE?平面ABB1A1,且

=

,

=

.∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C=BD,CM=DN,∴B1M=NB.∴

=

=

.∵BC=AD,∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,∴四邊形MNFE為平行四邊形,∴MN∥EF.∵MN?平面ABB1A1,EF?平面ABB1A1,∴MN∥平面ABB1A1.證法二:如圖所示,連接CN并延長交BA所在直線于點P,連接B1P,名師點睛

利用直線和平面平行的判定定理來證明線面平行時,關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直

線平行的直線,常利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形、梯形的中位線定理、平行線

分線段成比例定理、基本事實4等尋找平行的直線.

如何判定直線與平面垂直

(1)利用直線與平面垂直的定義,即證明直線a垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線,從

而得到直線a⊥平面α(一般不易驗證任意性);(2)利用直線與平面垂直的判定定理,即如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交

直線垂直,那么該直線與此平面垂直,簡記為“線線垂直?線面垂直”(a⊥b,a⊥c,

b?α,c?α,b∩c=M?a⊥α);(3)利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì),即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于

一個平面,那么另一條也垂直于這個平面(a∥b,b⊥α?a⊥α).(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線,使已知直線和這兩條直線垂直;(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線;(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.

思路點撥本題求解的關(guān)鍵是在平面PBC內(nèi)尋找兩條與AE垂直的相交直線.證明

∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直徑,∴BC⊥AC.∵PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE.如圖所示,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上任意一

點,過點A作AE⊥PC于點E,求證:AE⊥平面PBC.∵PC⊥AE,PC∩BC=C,PC,BC?平面PBC,∴AE⊥平面PBC.

用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直時,定理中三個條件缺一不可,尤其

要說明平面內(nèi)的兩條直線相交,如此例中PC∩BC=C.變式

若本例中其他條件不變,作AF⊥PB于點F,求證:PB⊥平面AEF.

證明

∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直徑,∴BC⊥AC.∵PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE,PC∩BC=C,PC,BC?平面PBC,∴AE⊥平面PBC.∵PB?平面PBC,∴AE⊥PB.又∵AF⊥PB,AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,∴PB⊥平面AEF.

求直線與平面所成角的大小的步驟(1)作角:①作垂線:過斜線上一點(不是斜足)作平面的垂線;②作射影:連接垂足和斜足;③確定平面角:斜線與它在平面上的射影所成的角即為所求,即將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的角).(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角,關(guān)鍵是證垂直.(3)計算:通常在垂線段、斜線和射影所構(gòu)成的直角三角形中計算.如何探究直線與平面所成的角在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中點,求直線AE與平面ABC1

D1所成角的正弦值.思路點撥取CD的中點F,連接EF交平面ABC1D1于點O,則∠EAO即為直線AE與平面ABC1D1

所成的角,利用直角三角形求解.解析

如圖,取CD的中點F,連接EF交平面ABC1D1于點O,連接AO,B1C.

易得B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,∵BC1∩D1C1=C1,BC1?平面ABC1D1,D1C1?平面ABC1D1,∴B1C⊥平面ABC1D1.由E,F分別為A1B1,CD的中點,易得EFB1C,∴EF⊥平面ABC1D1,∴∠EAO為直線AE與平面ABC1D1所成的角.在Rt△EOA中,EO=

EF=

B1C=

,AE=

=

=

,∴sin∠EAO=

=

.∴直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值為

.

線面平行中的探索性問題

1.平行關(guān)系的探索性問題經(jīng)常是在一條直線上確定一個點,使過該點的直線平行

于一個固定平面,求解此類問題要注意逆向推理,也要注意線面平行的性質(zhì)定理

和判定定理的交替使用.2.存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題,在數(shù)學(xué)命題中,常以“是否存在”的開放形式出現(xiàn),其結(jié)果若存在,則需要找出來,若不存在,則需要說

明理由.解答這類問題時,我們可以先假設(shè)結(jié)論存在,若推證無矛盾或能導(dǎo)出合理

結(jié)果,則結(jié)論確定存在;若推證有矛盾,則結(jié)論不存在.如圖所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=2AB,AB∥DC.在DC上是否存在一

點E,使D1E∥平面A1BD?若存在,試確定點E的位置;若不存在,請說明理由.思路點撥結(jié)合圖形可先假設(shè)存在滿足題意的點E,且E是DC的中點,然后利用題中所給條件

進行證明.解析

存在.當點