解答壓軸題2022年廣州數(shù)學(xué)中考一模匯編

1.如圖，在4ABe中，NA=90。，AB=3,AC=4,點(diǎn)M,Q分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

M不與A,B重合)，且MQ1BC,過點(diǎn)M作MN//BC.交AC于點(diǎn)N,連接NQ,設(shè)

BQ=x.

(1)是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，并說(shuō)明理由;

(2)當(dāng)BM=2時(shí)，求x的值；

⑶當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值.

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4=1,tan^BAO=3,將此三角

形繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到LDOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t,

①設(shè)拋物線對(duì)稱軸I與x軸交于一點(diǎn)E,連接PE,交CO于F,求出當(dāng)ACEF與△

COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②是否存在一點(diǎn)P，使XPCD得面積最大？若存在，求出APCD的面積的最大值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+|+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)和點(diǎn)。(4,一2).點(diǎn)E是

直線y=—gx+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo).

(2)如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC,OE,ME.求

四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

⑶F,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

4.矩形。/1BC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知8(8,6),點(diǎn)4在x軸上，點(diǎn)C在y

軸上，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)。出發(fā)沿0TA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停

止.在運(yùn)動(dòng)過程中，△C。。的外接圓交0B于點(diǎn)P.連接CD交0B于點(diǎn)E,連接PD,將△

PED沿PD翻折，得到APFD.

(1)求tan/CDP.

(2)如圖2,移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在。8的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

(3)設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，APED的面積為S,求S關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式.

5.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4在x軸負(fù)半軸上，直線y=-x+

6與x軸、y軸分別交于B,C兩點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，且AC=BC,點(diǎn)P為

LACD內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP且AAPB=90°.

(1)求證：乙PAC=^PBC.

(2)如圖2,點(diǎn)E在線段BP上，點(diǎn)F在線段AP上，且AFBE,^AEF=45°,求

EF2+2AE2的值.

6.如圖1,己知A,B,C是。。上的三點(diǎn)，AB=AC,^BAC=120".

圖i

(1)求證：O0的半徑R=AB.

⑵如圖2,若點(diǎn)D是^BAC所對(duì)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DA,DB,DC.

①如探究DA,DB,DC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②若AB=3,點(diǎn)C與C，關(guān)于AD對(duì)稱，連接CD,點(diǎn)、E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)

B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

7.如圖，AB是。。的直徑，弦CD1AB,Z.CAB=30°.

(1)求證：HACD是等邊三角形.

(2)若點(diǎn)、E是R的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)C作CF1AE,垂足為F,若CF=2,求線段

OF的長(zhǎng).

⑶若O。的半徑為4,點(diǎn)Q是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得點(diǎn)P,,求線段P,Q的最小值.

做題用圖

8.圓內(nèi)接四邊形48CD,點(diǎn)4是給的中點(diǎn)，〃DC=120。.

(1)求/ABC的度數(shù)，并求證：AB+DC=BC.

(2)連接AC,BD相交于點(diǎn)H,如圖1,若4。=3,BC=5,求HD?4C的值.

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上，且PE=1,

PC=3,以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將DE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,并縮短得到線段DF,使得DF=

IDE,如圖2,連接PF,試探索PF的長(zhǎng)是否有最小值，若有請(qǐng)求出該值；若沒有，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

9.如圖①，在四邊形ABCD中，AC1BD于點(diǎn)E,AB=AC=BD,點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線

段AM上的點(diǎn)，且MB=MN

①

(1)求證：BN平分/.ABE；

(2)若連接DN,當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng);

(3)若點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，連接FN,FM(如圖②)，求證：乙MFN=4BDC.

D

②

10.如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=ax2-x+b與直線y=2交于4C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸是直線x=

2,拋物線與%軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,線段4c與y軸交于點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且EC-EA=2,點(diǎn)P(O,t)為線段0B上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)

點(diǎn)，連接PE,過點(diǎn)E作直線PE的垂線交x軸于點(diǎn)F,連接PF,探究在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過

程中，線段PE,PF有何數(shù)量關(guān)系？并證明所探究的結(jié)論；

(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M,求當(dāng)t為何值時(shí)，KDMF為等腰三角形？

11.如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13,AB=25,^DAB=a,且cosa=卷，點(diǎn)E為直線

CD上一動(dòng)點(diǎn)，將線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段EF,連接CF.

(1)求平行四邊形ABCD的面積；

⑵當(dāng)點(diǎn)C,B,F三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與力B相交于點(diǎn)G,求線段BG的長(zhǎng);

⑶求線段CF的長(zhǎng)度的最小值.

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點(diǎn)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DP.

(1)若將AO/IP沿DP折疊，點(diǎn)A落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)4處，試求AP的長(zhǎng)；

⑵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，過點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E,將△ZMP與4PBE分別沿

DP與PE折疊，點(diǎn)4與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A',B'處，若P,4,B'三點(diǎn)恰好在同一直線

上，且4B'=2,試求此時(shí)AP的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí)，過點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G,將與△

PBG分別沿DP與PG折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處，請(qǐng)直接寫出F到BC的距

離.

13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC為直徑，AC和BD交于點(diǎn)E,AB=BC.

(1)求乙4DB的度數(shù)；

(2)過B作AZ)的平行線，交力C于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系，并

說(shuō)明理由；

(3)在(2)條件下過E,F分別作AB,BC的垂線，垂足分別為G,H,連接GH,交B。于

若"G=3,S四邊形AGMO：S四邊形CHA/O=8:9，求0°的半徑,

14.如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)4(6,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①過動(dòng)點(diǎn)P作y軸的垂線交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)、P的坐標(biāo)是多少時(shí)，以。為圓心，

OD的長(zhǎng)為半徑的。。與AC相切？

②是否存在點(diǎn)P，使為直角三角形？若存在，有幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P

的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由.

15.已知拋物線y=a/+Ox+c(a力0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其對(duì)稱軸為

x=1,且4(一1,0),C(0,2).

(1)直接寫出該拋物線的解析式;

(2)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，APAC的周長(zhǎng)存在最大值還是最小值，請(qǐng)求出取值范圍(最大值或最

小值)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為線段CH上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,H重合)，點(diǎn)P是

(2)中所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE//PC交x軸于點(diǎn)E,連接PD,PE,若CD的長(zhǎng)為m,

△PDE的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，試說(shuō)明S是否存在最值，若存在，請(qǐng)

求出最值，并寫出S取得的最值及此時(shí)m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.如圖，在AABC中，4c=45。，點(diǎn)。在4c上，且^ADB=60°,AB為4BCD外接圓的切

線.

(1)用尺規(guī)作出△BCD的外接圓(保留作圖痕跡，可不寫作法)；

(2)求NA的度數(shù)；

(3)求色的值.

17.如圖1,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)71(-1,0)和點(diǎn)8(3,0).

⑴求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(2)如圖2,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為F,點(diǎn)0(2,3)在該拋物線上.

①求四邊形ACFD的面積：

②點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合)，過點(diǎn)P作PQlx軸交該拋物

線于點(diǎn)Q,連接AQ,DQ,當(dāng)XAQD是直角三角形時(shí)，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于4(一3,0),點(diǎn)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,連接PA,PC,AC.

①求AACP的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②求△ACP的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

19.如圖，己知拋物線y=a(x-2)2+c與x軸從左到右依次交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),連接AC,BC.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)P是該拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB,PC,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h,試

探究：

①當(dāng)h為何值時(shí)，\PA-PC\的值最大？并求出這個(gè)最大值；

②在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，乙4PB能否與乙ACB相等？若能，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.己知點(diǎn)A,B在O。上，Z.AOB=90°,OA=V2.

(1)點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求UPB的度數(shù);

（2）如圖①，當(dāng)tanzO/lP=V2-1時(shí)，求證：乙4PO=NBP。；

圖①

⑶如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在廂上移動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)P,8重

合），若4QPA的面積為Sr4QPB的面積為52，求S1+S2的取值范圍.

圖②備用圖

21.己知AB是。。的直徑，C,E是。。上的點(diǎn)，C0J.4B于點(diǎn)D,EF1AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)

E作EG10C于點(diǎn)，延長(zhǎng)EG交。4于點(diǎn)H.

22.如圖，在四邊形OABC中，OA〃BC,/.OAB=90",0為原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,8）,點(diǎn)A的

坐標(biāo)為（26,0）,點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E

同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)。

也停止運(yùn)動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)開始，設(shè)D（E）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABDE是矩形；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，DE=C02

(3)連接AD,記△4DE的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—/+bx+c與x軸交于4(—3,0),8(1,0)兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,連接PA,PC,AC.

①求AACP的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

②求AACP的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

24.如圖①，已知ZiMBC內(nèi)接于。0,NBOC=120。，點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)”是念的

中點(diǎn)，BM交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)N是a的中點(diǎn)，CN交AB于點(diǎn)E,BD,CE相交于點(diǎn)F.

②（符用圖）

⑵求證:EF=DF；

⑶在（1）中，若4ABe的邊長(zhǎng)為2,將&ABD繞點(diǎn)D,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△

HGD（DH<DG）,AB與DH交于點(diǎn)J,DG與CN交于點(diǎn)I,當(dāng)0<m<60時(shí)，4DIJ

的面積S是否改變？如果不變，求S的值；如果改變，求S的取值范圍.

25.如圖，以原點(diǎn)。為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A,B兩點(diǎn)，在半徑。8上取一點(diǎn)

（其中0<m<3）,過點(diǎn)M作y軸的平行線交。。于C,D,直線AD,CB交于

點(diǎn)P.

(1)當(dāng)巾=1時(shí)，求sin”。。的值；

(2)若4。=2DP,試求m的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將經(jīng)過點(diǎn)A,8,C的拋物線向右平移n個(gè)單位，使其恰好經(jīng)過P點(diǎn),

求n的值.

26.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在X軸負(fù)半軸上，直線y=-x+

6與無(wú)軸、y軸分別交于B,C兩點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，且AC=BC,點(diǎn)P為

△ACD內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP且/.APB=90°.

(1)求證：4PAC=4PBC；

(2)如圖2,點(diǎn)E在線段BP上，點(diǎn)F在線段AP上，且AF^BE,^AEF=45",求

EF2+2AE2的值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)PE=BE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

27.已知點(diǎn)A,B在。。上，乙AOB=90°,OA=V2.

(1)點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求^APB的度數(shù)；

(2)如圖①，當(dāng)tan/OAP=&-l時(shí)，求證：NAPO=NBP。；

①

⑶如圖②，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在用上移動(dòng)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)P,B重

合)，若XQPA的面積為Si，&QPB的面積為S2,求S1+S2的取值范圍.

28.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在X軸負(fù)半軸上，直線y=-x+

6與x軸、y軸分別交于B,C兩點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，且AC=BC,點(diǎn)P為

△4C。內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP且44PB=90。.

(1)求證：4PAC=APBC；

(2)如圖2,點(diǎn)E在線段BP上，點(diǎn)F在線段AP上，且AF=BE,^AEF=45°,求

EF2+2AE2的值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)PE=BE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

29.如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)4(6,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)P為該拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①動(dòng)點(diǎn)P作y軸的垂線交直線AC于點(diǎn)。，點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，以。為圓心，OD

的長(zhǎng)為半徑的。。與AC相切？

②是否存在點(diǎn)P，使XACP為直角三角形？若存在，有幾個(gè)？寫出所有符合條件的點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

30.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以點(diǎn)D為圓心、DC為半徑作M"，點(diǎn)E在AB上,

且與A,B兩點(diǎn)均不重合，點(diǎn)M在4。上，且ME=MD,過點(diǎn)E作EF1ME,交BC于

點(diǎn)F,連接DE,MF.

(1)求證：EF是&所在OD的切線；

(2)當(dāng)M4=［時(shí)，求MF的長(zhǎng)；

⑶試探究：AMFE能否是等腰直角三角形？若是，請(qǐng)直接寫出MF的長(zhǎng)度；若不是，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

31.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx-4(a0)的圖象與x軸交于

A(-2,0),C(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

⑵如圖1,連接BC,在線段BC上是否存在點(diǎn)E,使得4CDE為等腰三角形？若存在，求

出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,若點(diǎn)P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0,n<0),連接PB,

PD,BD,求4BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

32.己知：二次函數(shù)y=ax2-2ax-3(a>0),當(dāng)2WxW4時(shí)，函數(shù)有最大值5.

(1)求此二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

(2)將函數(shù)y=a/-2ax-3(a>0)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，得到的新圖象與直

線y=n恒有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右，四個(gè)交點(diǎn)依次記為A,B,C,D,當(dāng)以BC為直徑的

OF與x軸相切時(shí)，求n的值.

⑶若Pl。,%)是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，若關(guān)于m的一元二次方程

m2-ym恒有實(shí)數(shù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)k的最大值.

o+fc-4+yo=O

33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(4,-1)的拋物線交y軸于4點(diǎn)，交工軸于B,C兩點(diǎn)

(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).

(1)求此拋物線的解析式

(2)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)

判斷拋物線的對(duì)稱軸/與0C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

(3)已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A,C兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),

△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△P4C的最大面積.

34.已知，如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD的延長(zhǎng)線上，且BE=

DF,連接EF.

(2)將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a滿足0°<a<45°時(shí)，設(shè)EF與射線

AB交于點(diǎn)G,與AC交于點(diǎn)H,如圖所示，試判斷線段FH,HG,GE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由；

⑶若將UEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接DF,BE,并延長(zhǎng)EB交直線DF于點(diǎn)P,連接PC,

試說(shuō)明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑并求線段PC的取值范圍.

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx-4(a0)的圖象與x軸交于

4(一2,0),C(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,連接BC,在線段BC上是否存在點(diǎn)E,使得&CDE為等腰三角形？若存在，求

出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,若點(diǎn)P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0,n<0),連接PB,

PD,BD,求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

36.已知：二次函數(shù)y=ax2-2ax-3(a>0),當(dāng)2WxW4時(shí)，函數(shù)有最大值5.

(1)求此二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

(2)將函數(shù)y=ax2-2ax-3(a>0)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，得到的新圖象與直

線y=n恒有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右，四個(gè)交點(diǎn)依次記為A,B,C,D,當(dāng)以BC為直徑的

圓與x軸相切時(shí)，求n的值.

⑶若點(diǎn)P(xo-yo)是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，若關(guān)于m的一元二次方程

2

m-yom+k-4+yo=O恒有實(shí)數(shù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)k的最大值.

37.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

⑴如圖1,四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:

中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如圖，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,/.APB=/.CPD,點(diǎn)E,

F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你

的猜想：

(3)若改變⑵中的條件，使N4P8=NCPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH

的形狀.(不必證明)

38.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00,AB是的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E,且DC2=

CE-CA.

(1)求證：BC=CD-,

(2)分別延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作4F1CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若PB=0B,

CD=2V2,求DF的長(zhǎng).

39.已知在平行四邊形ABCD中，NB=60。，E,F分別為AB,AD邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且在運(yùn)動(dòng)過程

中保持/ECF=60。，AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線.

(1)如圖①，若AD=AB,

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，探索｛AE+AFy.AC的值；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)力不重合時(shí)，探索Q4E+AF):4c的值；

(2)如圖②，參考(1)研究方法，若AD=2AB,

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)4重合時(shí)，探索(AE+2AF):AC的值；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)力不重合時(shí)，探索CAE+2AFy.AC的值;

⑶如圖③，參考(1)(2)研究方法，若AD=3AB時(shí)，試探索是否存在常數(shù)3使得

iAE+3AFy.AC=t,若存在，請(qǐng)直接寫出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

B

圖0

40.已知直線，i：y=kx(k40)；拋物線：y=ax2+bx+1.

(1)若拋物線經(jīng)過(3,t)兩點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x上，求此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)

坐標(biāo)；

⑵若把直線h向上平移(1+1)個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線12,且無(wú)論非零實(shí)數(shù)k為何值，直線

12與拋物線都只有一個(gè)交點(diǎn).

①求此時(shí)拋物線的解析式；

②已知MN是過點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線，點(diǎn)P是此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P

不在y軸上)，過點(diǎn)P作直線PQHy軸與直線MN交于點(diǎn)Q,0為原點(diǎn).求證△POQ

是等腰三角形.

41.在坐標(biāo)系xOy中，拋物線y--x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)4(一3,0)和8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)若點(diǎn)D為此拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)XDAC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的

坐標(biāo)；

⑶設(shè)拋物線頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M,記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點(diǎn)N

是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，如果直線MN與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫

出點(diǎn)N縱坐標(biāo)t的取值范圍.

42.如圖，已知點(diǎn)4(一3,0),二次函數(shù)y^ax2+bx+V3的對(duì)稱軸為直線x=-l,其圖象過點(diǎn)A

與軸x交于另一點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿△ABC的BA,BC

邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，

連接MN,將△BMN沿MN翻折，若點(diǎn)B恰好落在拋物線弧上的B,處，試求t的值

及點(diǎn)B'的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，Q為BN的中點(diǎn)，試探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以8,Q,P為

頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，試說(shuō)明理由.

43.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線丫=/+6；+?經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)，已知6(4,0),

(1)求該拋物線的解析式和點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)D(m,n)(-l<m<2)在拋物線圖象上，當(dāng)△4CD的面積為當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

O

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為I,點(diǎn)。關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)為E.能否在拋物線圖象

和/上分別找到點(diǎn)P,Q,使得以點(diǎn)D,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若能，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

44.己知，如圖，&ABC的三條邊BC=a,CA=b,AB=c,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且^ADB=

Z.BDC—/.CDA—120°,DA~u,DB-v,DC=w.

(1)若Z.CBD=18°,則4BCD=

(2)將&ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到AACD,畫出△4CD,若“40=20。，求

^CAD,度數(shù)；

(3)試畫出符合下列條件的正三角形：M為正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，M到正三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離分

別為a,b,c,且正三角形的邊長(zhǎng)為u+v+w,并給予證明.

45.如圖：4D與。。相切于點(diǎn)D,AF經(jīng)過圓心與圓交于點(diǎn)E,F,連接DE,DF,且EF=6,

AD=4.

(1)證明：AD2=AE-AF；

(2)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)B,使DB=AD,直徑EF上有一動(dòng)點(diǎn)C,連接CB交DF于點(diǎn)G,連接

EG,設(shè)Z.ACB=a,BG—x,EG=y.

①當(dāng)a=90。時(shí)，探索EG與BD的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由；

②當(dāng)a=120°時(shí)，求y與x的關(guān)系式，并用x的代數(shù)式表示y.

46.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,

B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為8(3,0),直線y=-%+3恰好經(jīng)過B,C兩點(diǎn).

y

(1)寫出點(diǎn)c的坐標(biāo)；

(2)求出拋物線y=x2+bx+c的解析式，并寫出拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線頂點(diǎn)為D且乙4PD=乙4CB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

47.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+bx+c與%軸交于4(一3,0),8(1,0)兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C,D是拋物線的頂點(diǎn)，E是其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式，并在-4WXW2范圍內(nèi)畫出此拋物線的草圖；

(2)若點(diǎn)F和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ//OF交拋物

線于點(diǎn)Q,是否存在以點(diǎn)0,F,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

48.如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,8),并且經(jīng)過4(8,0),點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

(含端點(diǎn))，過點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(4,0),

連接PD,PE,DE.

⑴求拋物線的解析式；

(2)猜想并探究：對(duì)于任意一點(diǎn)P,PD與PF的差是否為固定值，如果是，請(qǐng)求出此定值，如

果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求：①當(dāng)4PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②使&PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).

2

49.如圖，拋物線yi=^x+bx+c與%軸交于點(diǎn)4,8,交y軸于點(diǎn)C(0,-2V3),且拋物線對(duì)

稱軸x=-2交x軸于點(diǎn)D,E是拋物線在第3象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線力的解析式；

⑵將&OCD沿CD翻折后，。點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)0'是否在拋物線yi上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶若點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在x軸上，過？作x軸的垂線交拋物線yi

于點(diǎn)F,

①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②直線CD上是否存在點(diǎn)P,使\PE-PF\最大？若存在，試寫出\PE-PF\最大值.

50.如圖1,拋物線y^ax2+bx+3(a*0)與x軸，y軸分別交于點(diǎn)71(-1,0),B(3,0),點(diǎn)C三

點(diǎn).

(1)試求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)D(2,m)在第一象限的拋物線上，連接BC,BD.試問，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存

在一點(diǎn)P,滿足乙PBC=KDBC?如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，將4BOC沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，

記平移后的三角形為AB'O'C.在平移過程中，AB'O'C與4BCD重疊的面積記

為S,設(shè)平移的時(shí)間為t秒，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式？

51.如圖：4ABe中，4c=45。，點(diǎn)。在4c上，且乙4。8=60。，AB為4BCD外接圓的切線.

A

(1)用尺規(guī)作出△BCD的外接圓(保留作圖痕跡，可不寫作法)；

(2)求NA的度數(shù)；

(3)求言的值.

52.如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P為。A邊上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)0,A不重合),

連接CP,過點(diǎn)P作PM1CP交AB于點(diǎn)D,且PM=CP,過點(diǎn)M作MN//OA,交B0

于點(diǎn)N,連接ND,BM,設(shè)OP=t.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示).

⑵試判斷線段MN的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變？并說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BNDM的面積最小.

2

53.己知：如圖拋物線yt=x-4x+a過點(diǎn)4(0,3),拋物線與拋物線為關(guān)于V軸對(duì)稱，拋

物線y2的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是第四象限內(nèi)拋物線yi

上的一點(diǎn).

⑴求出拋物線力的解析式；

(2)若APAB是等腰三角形，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶是否存在點(diǎn)Q使得AQAB的面積最大？若存在，請(qǐng)求出AQAB的最大面積；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

54.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y

軸交于C(0,3),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直

線BC的上方.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接PO,PC,并把APOC沿CO翻折，得到四邊形POP'C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊

形POP'C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形

ABPC的最大面積.

55.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,

B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為8(3,0),直線y=-x+3恰好經(jīng)過B,C兩點(diǎn).

(1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求出拋物線y=x2+bx+c的解析式，并寫出拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線頂點(diǎn)為D且UPD=Z.ACB,求出P的坐標(biāo).

56.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+bx+c與x軸交于71(-3,0),5(1,0)兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C,D是拋物線的頂點(diǎn)，E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn).

ox

(1)求拋物線的解析式，并在2范圍內(nèi)畫出此拋物線的草圖；

⑵若點(diǎn)F和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ//OF交拋物

線于點(diǎn)Q,是否存在以點(diǎn)。，F(xiàn),P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

57.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y

軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A,B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC,

tan/AC。=

3

圖1

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)經(jīng)過C,D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)力,

C,E,F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，

求該圓半徑的長(zhǎng)度.

⑷如圖2,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，2APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和AAPG的最大面積.

圖2

答案

1.【答案】

(1)當(dāng)BQ=MN時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形,

vMN//BC,

■■四邊形BMNQ為平行四邊形.

(2)NBQM=乙4=90°,NB=4B,

???△BMQs△BCA,

解得刀=也

(3)v=90°,AB=3,AC=4,

??.BC=yjAB2-VAC2=5,

QBMs△ABC,

QB_QM_BMpnX_QM_BM

AB~ACBC1'3-4-5'

解得，QM=gx,

???MN〃BC,

MNAMMN3-今

/.—=—,n即n一=—―,

BCAB53

解得，MN=5—§X,

則四邊形BMNQ的面積=ix(5-^x+x)x^x=-g(x-g)+||,

當(dāng)x=1|時(shí)，四邊形BMMQ的面積最大，最大值為||.

2.【答案】

(1)vOA=1.tanZ.BAO=3,

萼=3,解得OB=3,

OA

又由旋轉(zhuǎn)可得OB=OC=3,

???4(1,0),B(0,3),C(-3,0),

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得

(a+b+c=0,(a——1,

9a-3b+c=0,,解得\b=-2,

\c=3.(c=3.

???拋物線解析式為y=-x2-2x+3.

(2)①由(1)可知拋物線對(duì)稱軸為x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

COD為直角三角形，

???當(dāng)4CEF與4COD相似時(shí)有兩種情況，即Z.FEC=90°或/.EFC=90",

若LFEC=90。，貝UPE1CE,

■-?對(duì)稱軸與x軸垂直，

此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)；

若Z.EFC=90。，貝(JPE1CD,

如圖，過P作PG_Lx軸于點(diǎn)G,

貝UZ.GPE+乙PEG=Z.DCO+乙PEG,

：.乙GPE=/.OCD,且乙PGE=/.COD=90。，

??.△PGEs△COD,

PG_GE

OC=ODf

???E(-l.O),G(t,O),且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t,

*'*GE=-1—t,PG=-t?—2t+3,

奇”=三二，解得t=一2或t=3,

"P點(diǎn)在第二象限，

t<0,即t——2,

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3),

綜上可知滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3)；

②設(shè)直線CD解析式為y=kx+m,

3fem=

把C,0兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得-+0',解得

m=1..m=1.

直線CD解析式為y=：%+l,

如圖2,過尸作PN1%軸，交x軸于點(diǎn)N,交直線CD于點(diǎn)M,

vP點(diǎn)橫坐標(biāo)為3

PN=-t2-2t+3,MN=4+1,

3

■：P點(diǎn)在第二象限，

P點(diǎn)在M點(diǎn)上方，

2

PM=PN-MN-t2-2t+3-(-t+l)=-t2--t+2=~(t+^\+—,

\3/3\6/36

當(dāng)t=-J時(shí)，PM有最大值，最大值為嚷,

o36

???S“CD=SAPCM+SAPDM=\PM-CN+-N