9-3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.已知E、F、G、H是空間內(nèi)四個(gè)點(diǎn)，條件甲：E、F、G、H四點(diǎn)不共面，條件乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]點(diǎn)E、F、G、H四點(diǎn)不共面可以推出直線EF和GH不相交；但由直線EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四點(diǎn)不共面，例如：EF和GH平行，這也是直線EF和GH不相交的一種情況，但E、F、G、H四點(diǎn)共面．故甲是乙成立的充分不必要條件．2．(文)(2011·浙江文，4)若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交[答案]B[解析]由題意知直線l與平面α相交，不妨設(shè)直線l∩α＝M，對(duì)A，在α內(nèi)過M點(diǎn)的直線與l不異面，A錯(cuò)誤；對(duì)B，假設(shè)存在與l平行的直線m，則由m∥l得l∥α，這與l∩α＝M矛盾，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)D，α內(nèi)存在與l異面的直線，故D錯(cuò)誤．綜上知選B.(理)a、b、c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A．若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面B．若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交C．若a∥b，則a、b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c[答案]C[解析]如圖(1)知A錯(cuò)；如圖(2)知B錯(cuò)；如圖(3)知D錯(cuò)．在直線c上任取一點(diǎn)P，過P作直線m∥a，則m∥b，因此a，b與c所成的角都等于m與c所成的角，故選C.3．(文)(2011·威海質(zhì)檢)已知直線l、m，平面α，且m?α，則l∥m是l∥α的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]D[解析]由l∥m可知l∥α或l?α，所以“l(fā)∥m”不是“l(fā)∥α”的充分條件，l∥α且m?α，則直線l∥m或直線l與m異面，所以“l(fā)∥m”也不是“l(fā)∥α”的必要條件，故選D.(理)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，則α∥β是l⊥m的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]若α∥β，則由l⊥α知l⊥β，又m?β，可得l⊥m；若α與β相交(如圖)，設(shè)α∩β＝n，當(dāng)m∥n時(shí)，由l⊥α可得l⊥m，而此時(shí)α與β不平行．于是α∥β是l⊥m的充分不必要條件．故選A.4．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面，也與CC1共面的棱為BC、C1D1、DC、AA1、BB15．(2012·武漢市模擬)空間中一條線段AB的三視圖中，俯視圖是長度為1的線段，側(cè)視圖是長度為2的線段，則線段AB的長度的取值范圍是()A．(0,2] B．[2，eq\r(5)]C．[2,3] D．[2，eq\r(10)][答案]B[解析]以線段AB為體對(duì)角線構(gòu)造長方體，設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y2＋z2＝4.))∴AB2＝x2＋y2＋z2＝5－y2，∵x2>0，∴1－y2>0，∴0<y2<1，∴4<AB2<5，∴2<AB<eq\r(5).特別地，當(dāng)AB為面對(duì)角線時(shí)，AB＝2或eq\r(5)成立，∴2≤AB≤eq\r(5).6．如圖是正方體或四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()[答案]D[解析]A中，PS∥QR；B中如圖可知此四點(diǎn)共面；C中PS∥QR；D中RS在經(jīng)過平面PQS內(nèi)一點(diǎn)和平面PQS外一點(diǎn)的直線上，故選D.7．(2011·金華模擬)在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則使直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))[答案]②④[解析]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)在三棱柱的側(cè)面上，MG與這個(gè)側(cè)面相交于G，∴M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②、④中GH與MN異面．8．(文)(2011·南京模擬)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積為________．[答案]eq\r(3)[解析]將三棱柱的側(cè)面A1ABB1和B1BCC1以BB1為折痕展平到一個(gè)平面α上，在平面α內(nèi)AC1與BB1相交，則交點(diǎn)即為M點(diǎn)，易求BM＝1，∴AM＝eq\r(2)，MC1＝2eq\r(2)，又在棱柱中，AC1＝eq\r(14)，∴cos∠AMC1＝eq\f(AM2＋MC\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AM·MC1)＝eq\f(2＋8－14,2×\r(2)×2\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴∠AMC1＝120°，∴S△AMC1＝eq\f(1,2)AM·MC1·sin∠AMC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).(理)在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，則直線PC與AB所成角的大小是________．[答案]60°[解析]分別取PA、AC、CB的中點(diǎn)F、D、E連接FD、DE、EF、AE，則∠FDE是直線PC與AB所成角或其補(bǔ)角．設(shè)PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝eq\r(2)a，DE＝eq\r(2)a，F(xiàn)E＝eq\r(6)a，根據(jù)余弦定理，得cos∠FDE＝eq\f(2a2＋2a2－6a2,2×\r(2)a×\r(2)a)＝－eq\f(1,2)，所以∠FDE＝120°.所以PC與AB所成角的大小是60°.9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_______．[答案]eq\f(3,2)[解析]由三視圖知，該幾何體是一個(gè)四棱柱，底面為直角梯形，上底長1，下底長2，高為1，其面積S＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長為1，∴體積V＝eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,2).10．(文)(2012·福建四地六校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.[證明](1)連接AC交BD于O，連接EO.∵底面ABCD是矩形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．又∵E是PC的中點(diǎn)，∴在△PAC中，EO為中位線，∴PA∥EO.而EO?平面EDB，PA?平面EDB.∴PA∥平面EDB.(2)由PD⊥底面ABCD得PD⊥BC.∵底面ABCD是矩形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.①∵PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC.②由①和②得DE⊥平面PBC.∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.(理)如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(3)設(shè)AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.[解析]解法一：(1)由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，故GH綊BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由如下：連接EG，由BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點(diǎn)知，BE綊GF，所以EF∥BG，由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又點(diǎn)D直線FH上，∴D∈平面CEF.所以C、D、F、E四點(diǎn)共面．(3)由AB＝BE，BE綊AG，及∠BAG＝90°知ABEG是正方形，故BG⊥EA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，∴BG⊥ED.又EC∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE，故CH?平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.解法二：由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.(1)設(shè)AB＝a，BC＝b，BE＝c，則由題設(shè)得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(xiàn)(0,0,2c所以，eq\o(GH,\s\up6(→))＝(0，b,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，b,0)，于是eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).又點(diǎn)G不在直線BC上，所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由如下：由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2ceq\o(EF,\s\up6(→))＝(－a,0，c)，eq\o(CH,\s\up6(→))＝(－a,0，c)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CH,\s\up6(→))，又C?EF，H∈FD，故C、D、F、E四點(diǎn)共面．(3)由AB＝BE，得c＝a，所以eq\o(CH,\s\up6(→))＝(－a,0，a)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(a,0，a)又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2b,0)，因此eq\o(CH,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，eq\o(CH,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0即CH⊥AE，CH⊥AD，又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.故由CH?平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.[點(diǎn)評(píng)]如果所給問題中存在兩兩垂直的直線交于一點(diǎn)，容易將各點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來時(shí)，可用向量法求解．如果其所討論關(guān)系不涉及求角，求距離或所求角、距離比較容易找(作)出時(shí)，可不用向量法求解.能力拓展提升11.(文)(2011·北京市西城區(qū)模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1A．3條 B．4條C．6條 D．8條[答案]C[解析]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1有公共點(diǎn)A的和有公共點(diǎn)C1的各有3條，其余6條所在正方體的面與AC1均相交，且交點(diǎn)不在這些棱上，由異面直線判定定理知，這6條與AC1(理)已知a、b、c是相異直線，α、β、γ是相異平面，下列命題中正確的是()A．a(chǎn)與b異面，b與c異面?a與c異面B．a(chǎn)與b相交，b與c相交?a與c相交C．α∥β，β∥γ?α∥γD．a(chǎn)?α，b?β，α與β相交?a與b相交[答案]C[解析]如圖(1)，正方體ABCD－A1B1C1D1中，a、b、c是三條棱所在直線滿足a與b異面，b與c異面，但a∩c＝A，故A錯(cuò)；同樣在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯(cuò)；如圖(3)，α∩β＝c，a∥c，則a與b12．(文)(2011·四川文，6)l1、l2、l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1、l2、l3共面D．l1、l2、l3共點(diǎn)?l1、l2、l3共面[答案]B[解析]舉反例，由教室內(nèi)共點(diǎn)的三條墻角線可知A、D是錯(cuò)誤的；由三棱柱的三條側(cè)棱可知C是錯(cuò)誤的．故選B.(理)(2011·浙江省嘉興市高三教學(xué)測試)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1、CD1()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行[答案]D[解析]由于C1D1與A1B1平行，MN與C1D1是異面直線，所以MN與A1B1是異面直線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．[點(diǎn)評(píng)]取CD中點(diǎn)Q，BC中點(diǎn)R，則NQ綊eq\f(1,2)D1D，MR綊eq\f(1,2)CC1，∵CC1綊D1D，∴NQ綊MR，∴MN∥QR，∵QR∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥MN，∴B正確；∵M(jìn)N∥QR，QR∥BD，∴MN∥BD，∴C正確；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥PQ，∴CC1⊥MN，∴A正確．13．(文)(2011·石家莊測試)平面α、β相交，在α、β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面．[答案]1或4[解析]當(dāng)這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線與另外兩點(diǎn)連線相交或平行時(shí)，確定一個(gè)平面；否則由這四點(diǎn)可確定四個(gè)平面．(理)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1[答案]60°[解析]將原來的直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)正方體ABDC－A1B1D1C1∵AC1∥BD1，∴∠A1BD1即為異面直線BA1與AC1所成的角．∵△A1BD1為正三角形，∴∠A1BD1＝60°.[點(diǎn)評(píng)]異面直線所成的角是重點(diǎn)考查的一個(gè)內(nèi)容，難點(diǎn)在于尋找異面直線的平行線，本題巧妙地構(gòu)造一個(gè)正方體，借助于正方體的特點(diǎn)，很容易找出異面直線所成的角．14．(2012·河南商丘二模)一個(gè)四棱錐的底面是正方形，其頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心．已知該四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積是________．[答案]16π[解析]由條件知，該四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面邊長為a，則eq\f(1,3)a2·3＝6，∴a＝eq\r(6)，O1C＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(6)＝eq\r(3)，設(shè)球半徑為R，則R＋eq\r(R2－3)＝3，∴R＝2，∴S球＝4πR2＝16π.15．已知在正方體ABCD－A′B′C′D′中，M、N分別是A′D′、A′B′的中點(diǎn)，在該正方體中是否存在過頂點(diǎn)且與平面AMN平行的平面？若存在，試作出該平面，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．[分析]假設(shè)存在經(jīng)過B點(diǎn)與平面AMN平行的平面α，則平面A′B′C′D′與這兩平行平面的交線應(yīng)平行，由于M、N分別為A′D′、A′B′的中點(diǎn)，∴取C′D′的中點(diǎn)F，B′C′的中點(diǎn)E，則MN∥EF，可證明平面BDFE∥平面AMN，過其他點(diǎn)的截面同理可分析找出．[解析]存在．與平面AMN平行的平面有以下三種情況(E、F分別為所在棱的中點(diǎn))：下面以圖(1)為例進(jìn)行證明．∵四邊形ABEM是平行四邊形，∴BE∥AM，又BE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDFE.∵M(jìn)N是△A′B′D′的中位線，∴MN∥B′D′，∵四邊形BDD′B′是平行四邊形，∴BD∥B′D′，∴MN∥BD，又BD?平面BDE，MN?平面BDE，∴MN∥平面BDFE，又AM?平面AMN，MN?平面AMN，且AM∩MN＝M，∴由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDFE.16．(文)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)．求證：(1)DF⊥AP.(2)在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明G點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．[證明](1)取AB的中點(diǎn)E，則PA∥EF.設(shè)PD＝DC＝a，易求得DE＝eq\f(\r(5),2)a，F(xiàn)E＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(2),2)a，DF＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(\r(3),2)a.由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA.(2)在線段AD上存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC，且G點(diǎn)是AD的中點(diǎn)．取AD的中點(diǎn)G，連接PG、BG，則PG＝BG.又F為AB的中點(diǎn)，故GF⊥PB.∵F為PB中點(diǎn)，∴F點(diǎn)在底面ABCD上的射影為正方形ABCD的中心O，∴FO⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴FO⊥BC.∵G為AD中點(diǎn)，O為正方形ABCD中心，∴GO⊥BC，又GO∩FO＝0，∴BC⊥平面GOF，∴GF⊥BC.∵BC、PB是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線，∴GF⊥平面PBC.(理)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1(1)求異面直線A1M和C1D1(2)證明：平面ABM⊥平面A1B1M[解析]方法1：(1)如圖，因?yàn)镃1D1∥B1A1，所以∠MA1B1為異面直線A1M與C1D因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M而A1B1＝1，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，故tan∠MA1B1＝eq\f(B1M,A1B1)＝eq\r(2).即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為eq\r(2).(2)證明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM?平面平面BCC1B1，得A1B1⊥BM①由(1)知，B1M＝eq\r(2)，又BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B又A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M，而BM?平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B方法2：以A為原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分別作為x、y、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，C1(1,1,2)，D1(0,1,2)，M(1,1,1)．(1)eq\o(A1M,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，cos〈eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝eq\f(－1,\r(3)×1)＝－eq\f(\r(3),3).設(shè)異面直線A1M與C1D1所成角為α，則cosα＝eq\f(\r(3),3)，∴tanα＝eq\r(2).即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值是eq\r(2).(2)證明：eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(B1M,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝0，eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(B1M,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(A1B1,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(B1M,\s\up6(→))，即BM⊥A1B1，BM⊥B1M，又B1M∩A1B1＝B1∴BM⊥平面A1B1M，而BM?平面ABM因此ABM⊥平面A1B1M1．(2012·山西聯(lián)考)已知直線m、n與平面α、β，下列命題中正確的是()A．m∥β，α∥β，則m∥αB．平面α內(nèi)不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥βC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，則n⊥αD．m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n[答案]D[解析]當(dāng)m?α?xí)r，也可滿足m∥β，α∥β，故①錯(cuò)；當(dāng)α∩β＝l，三點(diǎn)A、B、C位于l的兩側(cè)，AB∥l，直線AB到l的距離與點(diǎn)C到l的距離相等時(shí)，滿足A、B、C三點(diǎn)到平面β的距離相等，故②錯(cuò)；由面面垂直的性質(zhì)知，C錯(cuò)，因?yàn)橹挥性跐M足n?β內(nèi)時(shí)，才能由n⊥m得出n⊥α的結(jié)論；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\