3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程高二年級(jí)數(shù)學(xué)

圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘.當(dāng)時(shí)人們用純幾何的方法研究這些與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的性質(zhì)的自然推廣.17世紀(jì)，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開始借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究圓錐曲線.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.與一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2.那么與兩定點(diǎn)的距離之和為一定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合又是什么圖形呢？是圓.一、新課導(dǎo)入1.在一張白紙上用兩個(gè)釘子固定兩個(gè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2，取一條定長(zhǎng)為l的細(xì)繩，使它的兩端固定在F1，F(xiàn)2上.2.套上鉛筆，拉緊繩子，使筆尖慢慢移動(dòng).小實(shí)驗(yàn)通過剛才的小實(shí)驗(yàn)，得到的圖形，我們把它定義為橢圓.二、新課講解我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn).兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半叫做半焦距.我們?cè)O(shè)PF1與PF2的距離之和為2a，定點(diǎn)F1與F2之間的距離為2c.當(dāng)2a>2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)橢圓.當(dāng)2a=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段F1F2.當(dāng)2a<2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P沒有運(yùn)動(dòng)軌跡.求曲線方程的基本步驟？設(shè)點(diǎn)建系列式化簡(jiǎn)、檢驗(yàn).建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則？對(duì)稱、簡(jiǎn)潔.OxyOxyOxyF1F2方案二OxyP方案一F1F2P橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)F1F2xyP(x，y)設(shè)P(x，y

)是橢圓上任意一點(diǎn).設(shè)|F1F2|=2c，則有F1（-c，0），F(xiàn)2(c，0).橢圓上的點(diǎn)滿足|PF1|+|PF2|=2a，且2a>2c.則：①O為了化簡(jiǎn)方程①，我們將其左邊的一個(gè)根式移到右邊，得對(duì)方程②兩邊平方，得②整理，得③對(duì)方程③兩邊平方，得整理，得將方程④兩邊同除以④⑤由橢圓的定義可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以xyF1F2PO令那么方程⑤就是⑥

由于方程②③的兩邊都是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此，方程①到方程⑥的變形都是同解變形.

這樣，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程⑥；

反之，以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)（c，0），（-c，0）的距離之和為2a，即以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.

我們稱方程⑥是橢圓的方程，這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

它表示焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）的橢圓.這里

對(duì)于方案二，如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（0，-c），（0，c），a，b的意義同上，容易知道，此時(shí)橢圓的方程為這個(gè)方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1.方程的右邊是常數(shù)1.2.方程的左邊是和的形式，每一項(xiàng)的分子是x2，y2，分母是兩個(gè)不等的正數(shù).橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：三、應(yīng)用鞏固

例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

方法一：

解：由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，c=2，三、應(yīng)用鞏固

例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

方法二：

解：由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，c=2，將點(diǎn)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，得解得

例2如圖，在圓x2+y2=4上取任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

分析：點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng).我們可以由M為線段PD的中點(diǎn)得到點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程.

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，0）.由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4.①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

例3

如圖設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可用含x，y的關(guān)系式分別表示.由直線AM，BM的斜率之積是，可得出x，y之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），所以直線AM的斜率由已知，有同理，直線BM的斜率所以點(diǎn)M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點(diǎn)的橢圓.化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為

1.一種方法（待定系數(shù)法）；兩種思想（數(shù)形結(jié)合、分類討論）.四、回顧反思2.橢圓的定義；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.標(biāo)準(zhǔn)方程相同點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判斷不同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c

的關(guān)系分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡.xyF1F2POxyF2F1POa2-c2=b2五、課后作業(yè)1．教材P109練習(xí)2(3)．

3．4．2．教材P115習(xí)題3.11．2．4．六、目標(biāo)檢測(cè)1.如果橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1的距離為6，那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為多少？2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上；（2）a=4，c=

，焦點(diǎn)在y軸上.

1.如果橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1的距離為6，那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為多少？

解：根據(jù)橢圓定義，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離之和為2a，本題中a=10，所以|PF2|=20-6=14.2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上；（2）a=4，c=

，焦點(diǎn)在