聽課漫筆第三十四課時函數(shù)模型及其應(yīng)用2）【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識網(wǎng)絡(luò)實(shí)質(zhì)問題（增添率）學(xué)習(xí)要求1．能用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)解決如復(fù)利、人口增添等與增添率相關(guān)的問題，服務(wù)2．提升學(xué)生依據(jù)實(shí)質(zhì)問題成立函數(shù)關(guān)系的能力.自學(xué)評論待定系數(shù)法函數(shù)模型的結(jié)果（就1.復(fù)利把前一期的利息和本金加在一同做本金，再計算下一期的利息．是人們常說的“利滾利”）．設(shè)本金為p，每期利率為r，存期為x，則本金與利息和．函數(shù)模型（指、對數(shù)）p，每期2.單利在計算每一期的利息時，本金仍是第一期的本金．設(shè)本金為利率為r，存期為x，則本金與利息和．3．在實(shí)質(zhì)問題中，經(jīng)常碰到相關(guān)均勻增添率的問題，假如本來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，均勻增添率為p，則關(guān)于時間x的總產(chǎn)值y，能夠用公式表示．yN1xp【精模典范】例1：物體在常溫下的溫度變化能夠用牛頓冷卻規(guī)律來描繪:設(shè)物體的初始溫度是TO,經(jīng)過一準(zhǔn)時間t后的溫度是T,則TTa(ToTa)(1)ht,2此中Ta表示環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88c熱水沖的速容咖啡,放在24c的房間中,假如咖啡降到40c需要20min,那么降溫到35c時,需要多長時間?【解】由題意知40248824(1)2

20h

即1(1)42

20h

,解之,得h10,故t1T24(8824)()10,當(dāng)T35時,代入上式,得t3524(8824)(1)10,)10t2即(111，兩邊取對數(shù),264用計算器求得t25.4所以,約需要25.4min,可降溫到35c評論:此題是利用已知的函數(shù)模型來解決物理問題，需由已知條件先確立函數(shù)式，而后再求解.此題的實(shí)質(zhì)為已知自變量的值，求對應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)學(xué)問題，因?yàn)檫\(yùn)算比較復(fù)雜，要修業(yè)生借助計算器進(jìn)行計算.例2：現(xiàn)有某種細(xì)胞100個，此中有占總數(shù)1的細(xì)胞每小時分裂一次，即由21個細(xì)胞分裂成2個細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細(xì)胞總數(shù)能夠超出1010個？（參照數(shù)據(jù)：lg30.477,lg20.301）.剖析：現(xiàn)有細(xì)胞100個，先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細(xì)胞總數(shù)，【解】1小時后，細(xì)胞總數(shù)為113100；1001002222小時后，細(xì)胞總數(shù)為131001310029100；22224小時后，細(xì)胞總數(shù)為1919100227241004100；28小時后，細(xì)胞總數(shù)為127100127100281100;282816可見，細(xì)胞總數(shù)y與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：3y1002xN

x，xx由10031010，得3108，兩邊取以10為底的對數(shù)，得22xlg38，2888∴x，∵45.45，lg3lg3lg2lg2∴x45.45.1010個.答：經(jīng)過46小時，細(xì)胞總數(shù)超出y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系評論:本例用歸納猜想的方法得出了細(xì)胞總數(shù)式；解近似axb這種的不等式，往常在不等式兩邊同時取對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單一性求解．這種經(jīng)過察看幾個特別值的特點(diǎn)，進(jìn)而歸納出函數(shù)一般表達(dá)式的方法叫做“不完整歸納法”，是高中數(shù)學(xué)中特別重要的一種方法．聽課漫筆例3：某企業(yè)擬投資100萬元，有兩種贏利的可能可供選擇：一種是年利率10%，按單利計算，5年后回收本金和利息；另一種是年利率9%，按每年復(fù)利一次計算，5年后回收本金和利息．哪一種投資更有益？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？參照數(shù)據(jù)：1.095

1.5386，剖析：可分別依據(jù)復(fù)利與單利的計算方法，別計算出本息和，再進(jìn)行比較，判斷好壞．

分【解】本金100萬元，年利率計算，5年后回收的本息和是

10%，按單利100(110%5)150萬元，本金100萬元，年利率9%，按每年復(fù)利一次計算，5年后回收的本息和是100(19%)5153.86萬元，所以，按年利率9%的復(fù)利一次計算要比按年利率10%的單利計算更有益，5年后多得利息3.86萬元．評論：我國現(xiàn)行的按期積蓄中的自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)是一種近似復(fù)利計息的積蓄．追蹤訓(xùn)練一1．某工廠的一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量第二年比第一年增添21%，第三年比第二年增添44%，求這兩年的均勻增添率．解：設(shè)該產(chǎn)品第一年的年產(chǎn)量為a，兩年的平均增添率為x，則a12a121%144%x解得x1.32132%2．在銀前進(jìn)行整存整取的按期積蓄，當(dāng)?shù)狡跁r，銀行會將本息和進(jìn)行自動轉(zhuǎn)存，某人2005年3月1日在銀行存入10000元的一年按期，年利為2.25%，若他臨時不取這筆錢，當(dāng)?shù)?010年3月1日時，該筆存款的本息和為多少元？（精準(zhǔn)到0.01元）答案：10000(12.25%)511176.78元.已知鐳經(jīng)過100年剩留本來質(zhì)量的95.76%，計算經(jīng)過多少年剩留本來質(zhì)量的一半？剖析：設(shè)本來的質(zhì)量為1，由題意可知經(jīng)過100乘1年剩留0.9576，聽課漫筆經(jīng)過100乘2年剩留0.95762，經(jīng)過100乘x年剩留0.9576x，依題意有0.9576x12【解】設(shè)經(jīng)過100乘x年后剩留本來質(zhì)量的一半，依題意，有0.9576x1，2兩邊取對數(shù)，得xlg0.9576lg2解得x16.00.10016.001600（年）.答：約經(jīng)過1600年剩留本來質(zhì)量的一半.【選修延長】一、函數(shù)與圖像高考熱門1.（1998全國文11，理10）向高為H的水瓶中灌水，注滿為止.假如灌水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象以下圖，那么水瓶的形狀是（）【解】答案BH時，灌水量VV0，即水深至一半剖析：如上圖所示，取水深hV'2V02V0，時，實(shí)質(zhì)灌水量大于水瓶總水量之半.A中V'，C、D中V'22故清除A、C、D，選B.思想點(diǎn)拔：1）解答應(yīng)用題的基本步驟：①設(shè)：合理、適合的設(shè)出變量；②寫：依據(jù)題意，抽象歸納數(shù)目關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語言表示，獲得數(shù)學(xué)識題；③算：對所得數(shù)學(xué)識題進(jìn)行剖析、運(yùn)算、求解；④答：將數(shù)學(xué)識題的解復(fù)原到生活實(shí)質(zhì)問題，給出最后的答案.2）在用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)質(zhì)問題時的能力要求有：①閱讀理解能力；②抽象歸納能力；③數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用能力；④剖析、解決數(shù)學(xué)識題的能力.3）剖析圖表是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要方面，特別要能夠聯(lián)合圖表剖析函數(shù)，應(yīng)好好領(lǐng)會．追蹤訓(xùn)練二1．我國是水資源比較困窮的國家之一，各地采納價風(fēng)格控手段以達(dá)到節(jié)儉用水的目的．某市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+消耗資．該市規(guī)定：（1）若每戶每個月用水量不超出最低限量m立方米時，只付基本費(fèi)9元和每個月的定額消耗資a元；（2）若每戶每個月用水量超出m立方米時，除了付基本費(fèi)和消耗資外，超出部分每立方米付n元的超額費(fèi)；（3）每戶每個月的消耗資不超出5元．y（元）與月用水量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系；（Ⅰ）求每戶月水費(fèi)（Ⅱ）該市一家庭今年第一季度每個月的用水量和支付的花費(fèi)以下表所示，試剖析一、二、三各月份的用水量能否超出最低限量，并求m,n,a的值．（Ⅰ）由題意，每個月用水量為x（立方米），支付花費(fèi)y（元），則9a,0xm此中0a5（Ⅱ）∵0a5yxmna,xm，9∴99a14，由表知，一、二月份的水費(fèi)均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米，將x4和x5分別代入y的189(4mn)a，分析式，得9(5m)na26①由②①得n8，進(jìn)而a8m23③，又∵三月份用水量為2.5立方米，②若2.5m，將x2.5代入y9xmna得10982.5