2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練：空間的垂直關(guān)系

一、選擇題（共18小題）

1.已知直線平面a,直線m〃平面/?,若a_!_/?,則下列結(jié)論正確的是（）

A」〃?；?u?B.l//m

C.m1aD」1m

2.①垂直于同一直線的兩條不同的直線平行；

②垂直于同一平面的兩條不同的直線平行；

③平行于同一平面的兩條不同的直線平行；

④平行于同一直線的兩條不同的直線平行.

以上4個(gè)關(guān)于空間直線與平面的命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知平面a_L平面0,anp=I,點(diǎn)46a,Ail,直線AB〃八直線4C1L直線m〃a,

m//p,則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.ACImC.AB//pD.AC1p

4.下列命題正確的是（）

A.平面a內(nèi)的一條直線a垂直于平面0內(nèi)的無數(shù)條直線，則a10

B.若直線m與平面a內(nèi)的一條直線平行，則血〃a

C.若平面al\,且an夕=1,則過a內(nèi)一點(diǎn)P與/垂直的直線垂直于平面￡

D.若直線a與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則不能說一定有ala

5.設(shè)a,/?,y為平面，m,n,I為直線，則下列判斷正確的是（）

A.若al/?,a0/?=Z,mil,則ml/?

B.若any=m,aly,01y,則10

C.若a_Ly,0_Ly,m1a,則m_L夕

D.若n_La,nip,m1a,則zn10

6.在正方體ABCO-AiBiGDi中，E,F,G分別是B?,的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷:

①FG〃平面A&DiD；

②EF〃平面BGDi：

③FG〃平面BGDi；

④平面EFG〃平面BCiD「

其中推斷正確的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

7.空間四邊形48co的四邊相等.則它的兩對角線4C,8。的關(guān)系是（）

A.垂直且相交B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交D.不垂直也不相交

8.已知函數(shù)f（%）=M+bx+c,則Fa6R,使/（Xo）<0"是"c<0"的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

9.設(shè)瓶，71是兩條不同的直線，a,B，y是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若m_La,n//a,則m_Ln；②若a〃夕，S〃y,m1a,則③若m〃a,n//a,則

m〃n；④若a_Ly,0工丫,則a〃夕.其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

10.如果24,PB,PC兩兩垂直，那么點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影一定是△ABC（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

11.若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，且c>d,貝『匕>b”是“a-c>b-4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

12.如圖，在正方體4BCD-AiBiGDi中，E,F分別為BC,的中點(diǎn)，則下列直線中與直線

A.直線力&B.直線4/1C.直線A/D.直線4G

13.設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,/?,y是三個(gè)不同的平面，則下列命題是真命題的是（)

A.若zn1n,nua,則？n1a8.若6101,m//n,則nJ.a

C.若m〃a,n//a,則m〃九D.若aly,/?1y,則a〃/?

14.空間中直線l和三角形的一邊AC及另一邊BC的中線同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊

AB的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不確定

15.己知a,5是兩條直線，*0,y是三個(gè)平面，則下列命題正確的是（）

A.若?！?b〃4a//b,貝ija〃0

8.若戊1氏aLa,貝Ua〃/?

《若戊10,aJLy,0Cy=a,則Q_La

D.若a〃氏a//a,貝ijQ〃/?

16.設(shè)a,/?,y為三個(gè)不同的平面，m,ri是兩條不同的直線，則下列命題為假命題的是（）

A.若？nla,7110,mln,貝!|a1/?

B.若al￡,aC\p=n,mua,mln,則m1/?

C.若THua,則a1/?

D.若aJ.0,/?1y,貝ija_Ly

17.如圖，P為△ABC所在平面a外一點(diǎn)，PFla,PCLAC,則△ABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

18.設(shè)m,n是空間中不同兩條直線，a,0是空間中兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中，正確的

是（）

A.若m〃a,n〃0,a〃R,則m〃n

B.若a_L0,ml/?,則m〃a

C.若mlri,7nla,a〃B，則九〃夕

D.若a_L/?,an/?=Z,m//a,mil,則7n10

二、填空題（共8小題）

19.有下列說法：

①若兩個(gè)平面a〃出aua,be/7,則a//b\

②若兩個(gè)平面a〃出aua,he/7,則Q與b是異面直線;

③若兩個(gè)平面a〃出aua,be/7,則Q與b一定不相交;

④若兩個(gè)平面a〃B，aua,bu0,則a與b平行或異面;

⑤若兩個(gè)平面an￡=b,aua,則a與￡一定相交.

其中正確的是（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.

20.代數(shù)式1+—空中省略號(hào)“…”代表以此方式無限重復(fù)，因原式是一個(gè)固定值，可以用如下方法

1+—

求得：令原式=t,貝Ul+:=t,則t2-t—1=0,取正值得￡=等，用類似方法可得

/+,6+拈+…=.

21.在正方體ABC?！狝iBiGDi中，。是底面48CD的中心，E,F,G,H分別是Cg,

的中點(diǎn)，請寫出一個(gè)與為。垂直的平面：.

22.已知m,n是兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：

①若?nJ.a,nip,mln,貝ijal￡；

②若血〃a,n//p,mln,則a〃伙

③若mla,n〃§,mln,則0：〃0；

④若mla,n〃，,a//P，則7nln.

其中所有正確的命題是.

23.在三棱錐P-ABC中，己知PA1PB,PB1PC,PC1PA,如右圖所示，則在三棱錐P-48C

的四個(gè)面中，互相垂直的面有對.

24.在正方形SGiG2G3中，E,F分別為G1G2，G2G3的中點(diǎn).現(xiàn)在沿SE,SF及EF把這個(gè)正方形

折成一個(gè)四面體，使GrG2,G3,重合，記為G,則SG與平面EFG的位置關(guān)系為.

25.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA1底面4BC0,且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面1平面PCD.（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可）

AB

26.已知24垂直于正方形4BCD所在平面，連接PB、PC、PD、AC.BD,則下列垂直關(guān)系中

正確的序號(hào)是

①平面H481平面PBC②平面24B1平面P4D③平面R481平面PCD

三、解答題（共5小題）

27.已知三棱柱ABC-4BK'的底面為直角三角形，兩條直角邊4C和8c的長分別為4和3,側(cè)棱

AA'的長為10.

（1）若側(cè)棱A4'垂直于底面，求該三棱柱的表面積；

（2）若側(cè)棱44與底面所成的角為60。，求該三棱柱的體積.

28.如圖，48為。。的直徑，P4垂直于。。所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，ANLPM,N

為垂足.

（1）求證：AN1平面PBM.

（2）若4QJLPB,垂足為Q,求證：PB1NQ.

29.如圖，在矩形ABC。中，AB=2AD=2,E為邊CD的中點(diǎn)，以EB為折痕把△CEB折起，使

點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且使平面PEB1平面力BED.

(1)證明：PB1平面PEA；

(2)求點(diǎn)E到平面丹W的距離.

30.在多面體4BCDEFG中，四邊形48CD與4DEF是邊長均為a的正方形，四邊形4BGF是直角

梯形，ABLAF,且FA=2FG=4FH.

(1)求證：平面BCG1平面EHG；

(2)若a=4,求四棱錐G-BCEF的體積.

31.在長方體ABCD-中，矩形441。］。和D^CD的中心分別為M,N,求證:

M/V〃平面ABCD.

答案

1.A

【解析】對于A,直線，J.平面a,aA.fi,則1〃6或，u0,A正確；

對于B,直線，_L平面a,直線m〃平面且a10,貝Il〃zn或，與m相交或，與m異面，所以B錯(cuò)

誤；

對于C,直線m〃平面￡,且aJ./5,則zn1a或m與a相交或mua或m〃a,所以C錯(cuò)誤；

對于D,直線，1平面a,直線Tn〃平面/?,且a10,則1〃?n或，與m相交或，與相異面，所以D錯(cuò)

誤.

2.B

【解析】對于①，在空間中，垂直于同一直線的兩條不同的直線可能平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤：

對于②，由線面垂直的性質(zhì)可得垂直于同一平面的兩條不同的直線平行，故②正確；

對于③，平行于同一平面的兩條不同的直線可能平行、相交或異面，故③錯(cuò)誤；

對于④，由平行的傳遞性可得平行于同一直線的兩條不同的直線平行，故④正確.

3.D

【解析】如圖，AB//l//m,

AC1I,ACLm,AB//1AB//p.

4.D

【解析】A項(xiàng)，平面a內(nèi)的一條直線a垂直于平面0內(nèi)的任意一條直線，則a工.，故A錯(cuò)誤：

B項(xiàng)，直線m與平面a內(nèi)的一條直線平行，也可能Tnua,故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，平面a_L0,且an0=1,則過a內(nèi)一點(diǎn)P與2垂直的直線，只有當(dāng)此直線在a內(nèi)時(shí)才垂直于

B，故C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，a與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直可以推出a_La,故D正確.

5.D

【解析】A選項(xiàng)不正確，

因?yàn)楦鶕?jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上在平面a內(nèi)或者平行于a”這個(gè)條件，才能判定租1伙

B選項(xiàng)不正確，

因?yàn)閙可能平行于0或與。相交但不垂直；

C選項(xiàng)不正確，

因?yàn)楫?dāng)al/?時(shí)，m〃?；騎nu?；

D選項(xiàng)正確，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，得到a〃氏由mla,可得ml/?.

6.A

【解析】因?yàn)樵谡襟wABCO—AiBiGDi中，E,F,G分別是人隹。BG，的中點(diǎn)，

所以FG/ZBCr，

因?yàn)锽Ci〃4Di，

所以FG//ADX.

因?yàn)镕G<t平面44]￡>M，ADtu平面44道1。,

所以FG〃平面44道1。，故①正確；

因?yàn)镋F〃4G，41G與平面BCR相交，

所以EF與平面BgDi相交，故②錯(cuò)誤：

因?yàn)镋,F,G分別是A/i，8停1，BBi的中點(diǎn)，

所以FG//BC、.

因?yàn)镕GU平面BGDi，BC;u平面BGDi，

所以FG〃平面BQ5,故③正確；

因?yàn)镋F與平面BG5相交，

所以平面EFG與平面相交，故④錯(cuò)誤.

7.C

8.B

【解析】f(x)=/+bx+c,開口向上，要滿足Tx()€R,使/'(a)<0”成立，

只需保證4>0,此時(shí)，爐一4c>0,即c<Q,而"c<處'是"c<0”的必要不充分條件.

44

9.A

1().D

【解析】設(shè)P在平面4BC內(nèi)的投影為。，

因?yàn)镻4,PB,PC兩兩垂直，

所以PA_1平面PBC,

所以PA1BC,

又因?yàn)槭?底面4BC,

所以PO1BC,

所以BC1平面PA。，

所以401BC,同理可證B014C,CO1AB,

所以。是△ABC的垂心.

11.C

【解析】由c>d,a-c>b-d,相加得a>b.反之不成立.

所以c>d,則“a>b”是"a-c>b-d”的必要不充分條件.

12.D

【解析】根據(jù)異面直線的概念可看出直線必必都和直線EF為異面直線；BiG和EF在

同一平面內(nèi)，且這兩直線不平行.

所以直線出6和直線EF相交，即選項(xiàng)D正確.

13.B

【解析】直線垂直于一個(gè)平面的兩條相交直線，直線才和平面垂直，

所以A不正確；

若直線垂直平面，則和直線平行的直線也垂直于這個(gè)平面，

所以B正確；

和一個(gè)平面都平行的兩條直線可能平行或異面或直線相交，

所以C不正確；

垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行也可能相交，

所以D錯(cuò)誤.

14.B

15.C

16.D

【解析】對于A,由m1a,n1/?,且得出a_L0,所以A正確：

對于B,由alQ,aQP=n,mua,mLn,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出zn10,所以B正確；

對于C,由mJL0,mua,根據(jù)面面垂直的判定定理得出a_L氏所以C正確；

對于D,若a_L氏2,則a與y可能相交，也可能平行，所以D錯(cuò)誤.

17.B

【解析】由PB_La,又AC1PC,PCCPB=P,所以4（7_1平面P8。，AC1

BC,故選B.

18.D

【解析】對于A,由m〃a,B，a//fi,可得m〃n或zn與兀相交或Tn與n異面，故A錯(cuò)誤；

對于B,由al氏ml/?,可得771〃?；?71<^^故B錯(cuò)誤；

對于C,由m_Ln,m1a,a〃夕，可得n〃/?或nu0,故C錯(cuò)誤；

對于D,由aJ.Q,aC\/3=I,m//a,mil,得m10,故D正確.

19.③④

【解析】①錯(cuò).a與b也可能異面；

②錯(cuò).a與b也可能平行；

③對.因?yàn)閍〃氏

所以a與夕無公共點(diǎn)，

又因?yàn)閍ua,bu0,

所以a與匕無公共點(diǎn)；

④對.由己知及③得，a與b無公共點(diǎn)，

所以a〃b或a與b異面：

⑤錯(cuò).a與0也可能平行.

20.3

21.平面BDG（平面GHF、平面AHF、平面EB/i均可，答案不唯一）

22.①④

【解析】借助于長方體模型來解決本題，對于①，可以得到平面a,0互相垂直，如圖（1）所示，故

①正確；對于②，平面a,/?可能垂直，如圖（2）所示，故②不正確；對于③，平面a,0可能垂直,

如圖(3)所示，故③不正確；對于④，由mla,a〃/?可得mlS，因?yàn)?1〃0,所以過九作平面y,

且yn0=g,如圖(4)所示，所以幾與交線g平行，因?yàn)樗詍ln,故④正確.

m

(1)(2)(3)(4)

23.3

【解析】因?yàn)镻A_LPB,PA1PC,PBCPC=P,

所以241平面PBC,

因?yàn)镻Au平面PAB,PAu平面PAC,

所以平面P4BJ.平面P8C,平面PAC_L平面P8C.

同理可證：平面PAB1平面PAC.

24.垂直

25.DM1PC(或1PC等)

【解析】由題意得8014C,

因?yàn)镻A1平面4BCD,

所以PA1BD.

又P4nAC=A,PAMCu平面PAC,

所以BD±平面24C,

所以BD±PC,

所以當(dāng)DM1PC(或BM1PC)時(shí)，即有PC1平面MBD,

而PCu平面PCD,

所以平面MB。1平面PCD.

26.①②

【解析】易證BC1平面PA8,則平面248_1.平面P8C：又AD〃BC,故4DJ.平面P4B,則

平面P4D1平面P48.

27.(1)因?yàn)閭?cè)棱44,1.底面ABC,

所以三棱柱的高h(yuǎn)等于側(cè)棱A4的長，

而底面三角形ABC的面積SAABC=\AC-BC=6,周長C=4+3+5=12,

于是三棱柱的表面積S表=C/i+2S&ABC=132.

(2)如圖，過A作平面48c的垂線，垂足為H,為三棱柱的高.

因?yàn)閭?cè)棱AA,與底面所成的角為60。，

所以^A'AH=60°,可計(jì)算得A'H=AA'-sin60°=5V3.

又底面三角形ABC的面積S*BC=6,

故三棱柱的體積V=S^ABCA'H=6x543=30V3.

28.(1)因?yàn)锳B為。。的直徑，

所以AM1BM.

又PA1平面ABM,

所以PA1BM.

又因?yàn)镻AnAM=A,

所以8Ml.平面PAM.

又ANu平面PAM,

所以BMLAN.

又ANJ.PM,且BMC!PM=M,

所以AN1平面PBM.

(2)由(1)知4N_L平面PBM,

又PBu平面P8M,

所以AN1PB.

又因?yàn)?Q1PB,ANQAQ=A,

所