第一節(jié)函數(shù)及其表示

最新考綱?

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示

函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段).

考向預測?

考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段函數(shù)以及函數(shù)與

其他知識的綜合仍是高考的熱點，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度.

學科素養(yǎng)：通過函數(shù)^念考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；通常通過函數(shù)定義域、函數(shù)解析式

及分段函數(shù)問題考查數(shù)學運算及直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩個集

集合A,B是兩個非空的________集合A,8是兩個非空的________

合A，B

按照某種確定的對應關(guān)系力使對按某一個確定的對應關(guān)系力使對

對應于集合A中的________一個數(shù)x,于集合4中的_______一個元素

關(guān)系在集合B中都有________的數(shù)./U)a,在集合B中都有________的元

和它對應.素b與之對應

稱/：A-B為從集合A到集合B的稱/：AfB為從集合A到集合B的

名稱

一個函數(shù).一個映射.

記法y=/(x),xdAA—B

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)xGA中，x叫做自變量，x的取值范圍4叫做函數(shù)的；與x的

值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合①x)|xeA｝叫做函數(shù)的.顯然，值域是

集合8的子集.

(2)函數(shù)的三要素：、和.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的和完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是

判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：、、.

［提醒］函數(shù)圖象的特征：與無軸垂直的直線與其最多有一個公共點.利用這個特征可

以判斷一個圖形能否作為一個函數(shù)的圖象.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的，這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

I提醒I分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并

集，值域是各段值域的并集.

二、必明3個常用結(jié)論

1.函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射.

2.直線x=4（4是常數(shù)）與函數(shù)y=/（x）的圖象有。個或1個交點.

3.判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致.

三、必練4類基礎題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“，”或"X”）.

（1）對于函數(shù)A-B,其值域是8.（）

（2）函數(shù)與映射是相同的概念，函數(shù)是映射，映射也是函數(shù).（）

（3）只要集合A中的任意元素在集合B中有元素對應，那么這個對應關(guān)系就是函數(shù).（）

（4）若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù).（）

（5）分段函數(shù)不是一個函數(shù)而是多個函數(shù).（）

（二）教材改編

2.［必修l-Pi8例2改編］下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+l是相等函數(shù)的是（）

A.y=（Vx+I）2B.y=Vx^+l

C.y=：+lD.

3.［必修LP17例1改編］已知7U）=A/FTZ+擊，若4-2）=0,則a的值為.

（三）易錯易混

4.（忽視有變量范圍）設函數(shù)五x）=［產(chǎn)+,則使得"）21的自變量x

［4-Vx-1,x>1

的取值范圍為.

5.（忽視新元范國）已知/（\反）=工一1,則於）=.

（四）走進高考

x?_4v>2

''若歡遍))=3,則a=________

{|x—3|+a,x<2.

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一函數(shù)的定義域［基礎性］

1.函數(shù)丫=遙接+（》一1）。的定義域是（）

A.{x|—3<x<l}

B.3—34<2且xWl}

C.{x|0<x<2}

D.{A*|1<X<2}

2.如果函數(shù)兀0=ln（—2x+a）的定義域為（-8,1）,那么實數(shù)。的值為（）

A.-2B.-1

C.1D.2

3.［2022?江西撫州模擬］若函數(shù)./W的定義域為［0,61，則函數(shù)吟的定義域為（）

A.(0,3)B.[1,3)U(3,8]

C.[1,3)D.[0,3)

4.[2022?陜西渭南高三檢測]若函數(shù)、=屋急存的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是

）

A.（0,1]B,（0,i）C,[0,i]D.[0,i）

一題多變........................................................?

1.（變問題）將題3中的“函數(shù)駕的定義域”改為“函數(shù)的定義域為.”

2.（變條件，變問題）將題3改為“已知函數(shù)人X—5）的定義域為[0,6],則函數(shù)1x）的定

義域為.”

反思感悟

1.給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域

分母不等于

分式0

開偶次方根，被開方數(shù)大于等于0

根號

對數(shù)函數(shù)真數(shù)部分大于0

體

具對數(shù)

數(shù)

函底數(shù)大于0且不等于1

解

有指數(shù)

式

析—指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1

正切

伙

—y=tanx,xITEZ)

。次方X0=1,A^O

實際應用題考慮解析式有意義且考慮實際問題有意義

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

已知函數(shù)人￥）的定義域為已知復合函數(shù)/，（刈的

口目,求復合函數(shù)/[g（x）]定義域為[atb]t求函數(shù)

的定義域J（x）的定義域

vv

由不等式解求出.v=g*）（xE[a句）

得七則x的取值范圍的值域，即為.v/x）的

即為所求定義域定義域

考點二函數(shù)的解析式[綜合性]

[例1]（1）已知_/（：+l）=lgx,則人x）的解析式為.

(2)(一題多解)已知二次函數(shù)人x)滿足人2r+l)=4f—6x+5,則|x)的解析式為.

(3)［2022?佛山一中月考］已知函數(shù)兀0滿足式x)+"—x)=F,則函數(shù)/U)的解析式為

聽課筆記:

反思感悟求函數(shù)解析式常用的方法

；由已知條件/U(A))=F(.V),可將/??(.<)改寫成關(guān)

法一

*于g(.r)的表達式，然后以、替代g(x),便得

配湊法

：Ax)的表達式

0:苗手弦而y=/(g(x))加漏藪初訐及，令

法二1=g(x),從中求出x=<P")，然后代人表達

換藕一i式求出/。)，再將I換成x,得到/(x)的

:解析式，要注意新元的取值范圍

:先設出含力待定系數(shù)的解析式，再利用恒］

法三?等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程;

待定系數(shù)法1(組)，通過解方程(組)求出相應的待定系數(shù):

0

已知關(guān)于/(X)與/(全)或/■(-*)的表達式,

法四

可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式

解方程組法

組成方程組，通過解方程求出/(X)

I提醒］由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析

式時，如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.

【對點訓練】

1.若函數(shù)2x)=^QW0),那么人3等于()

A.1B.3C.15D.30

2.已知/(五+專)=x+］,則函數(shù)Xx)的解析式為.

3.已知人x)是一次函數(shù)，且滿足就x+l)—〃U—l)=2x+17,則式x)=

4.己知府)滿足軟X)+/Q)=3X,則於)=.

考點三分段函數(shù)［基礎性、綜合性］

角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值

|例2］(1)［2022?安徽合肥檢測］已知函數(shù)

Xd---,X>2,

段)=X-2則歡1))=()

x2+2,x<2,

A.--B.2

2

C.4D.11

小二則居）+代）的值為（

（2）［2022?鄭州模擬］已知於）=)

C.-1D.1

聽課筆記：

反思感悟分段函數(shù)的求值問題的解題思路

（1）求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當

出現(xiàn)州。））的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.

（2）求自變量的值：先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量

的值，切記要代入檢臉.

角度2分段函數(shù)與方程

2乂Y>0

''若八G+/U）=O,則實數(shù)a的值等

{x+1,x<0.

于()

A.—3B.—1

C.1D.3

聽課筆記：

反思感悟

根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值時，應根據(jù)自變量與分段函數(shù)各段的定義域分類討

論，結(jié)合各段的函數(shù)解析式求解，要注意求出的自變量的值應滿足解析式對應的自變量的范

圍.

角度3分段函數(shù)與不等式

［例4J［2022?湘贛皖長郡十五校一聯(lián)］設函數(shù)=X"0，則滿足y（x+2）/3x）的x

（2X,x>0,

的取值范圍是（)

A.x<lB.

C.-2<x<lD.0<x<1

聽課筆記：

反思感悟

與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題主要表現(xiàn)為解不等式(有時還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性).若自變量取值不確定，往往要分類討論求解；若自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參

數(shù)，則只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應解析式求解即可.

【對點訓練】

1"2022.長沙長郡中學月考]已知函數(shù)段)=[2'：1'X-0,且火初)=3,則實數(shù)xo的值

(3x2,X<0,

為()

A.-1B.1

C.-1或1D.-1或一:

xxV0

'’則式2)+*-1)=.

{ex-1,x>0,

(1+x2xv0

3.[2021.深圳模擬]已知函數(shù)段)=]'一,若於一4)42%—3),則實數(shù)x的取

[1,x>0

值范圍是.

微專題?學通學活巧遷移新定義函數(shù)

交匯創(chuàng)新

所謂“新定義”函數(shù)，是相對于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)或尚未介紹的

一類函數(shù).函數(shù)新定義問題的一般形式是：由命題者先給出一個新的概念、新的運算法則，

或者給出一個抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問題.

[例][2022?廣東深圳模擬]在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整

點，若函數(shù)火x)的圖象恰好經(jīng)過，?(〃WN*)個整點，則稱函數(shù)負x)為〃階整點函數(shù).給出下列函

數(shù)：

①/(x)=sin2x；②g(x)=j?；③4(x)=g)；④p(x)=lnx.其中是一階整點函數(shù)的是()

A.①②③④B.①③④

C.①④D.④

解析：對于函數(shù)7(x)=sin2x,它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0,0),所以它是一階整點

函數(shù)，排除D項；對于函數(shù)ga)=V,它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0,0),(1,1),所以它

不是一階整點函數(shù)，排除A項；對于函數(shù)〃(x)=g)”,它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0,1),(―1,

3),…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B項.故選C項.

答案：C

名師點評

本題意在考查考生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).破解新定

義函數(shù)題的關(guān)鍵是緊扣新定義的函數(shù)的含義，學會語言的翻譯、新舊知識的轉(zhuǎn)化，便可使問

題順利獲解.如本例，若能把新定義的一階整點函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)式幻的圖象恰好經(jīng)過1個整

點，問題便迎刃而解.

［變式訓練I

1.［2022?山東濱州月考］具有性質(zhì).心)=—/W的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函

x(0<x<1),

0(x=1),中滿足“倒負”變換的函數(shù)是

{W(X>1)

()

A.①②B.②③

C.①③D.只有①

2.若函數(shù)人x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：

(l)VxGR,都有八一x)+y(x)=0；

(2)Vxi,X2GR，且尤|r及，都有f(xi)-f(x2)<o

Xl-X2

在①/(x)=sinx,?J(x)=-2x3,③f(x)=1—x這三個函數(shù)中，是"優(yōu)美函

數(shù)”.

第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)函數(shù)及其表示

積累必備知識

1.數(shù)集集合任意唯一確定任意唯一確定

2.(1)定義域值域(2)定義域值域?qū)P(guān)系(3)定義域?qū)P(guān)系解析法圖

象法列表法

3.對應關(guān)系

*.、

1.答案：(l)x(2)X(3)x(4)X(5)X

2.解析：對于A,函數(shù)y=(斤的定義域為盤僅2一1},與函數(shù)y=x+l的定義域

不同，不是相等函數(shù)；對于B,定義域和對應關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；

對于C,函數(shù)y=9+l的定義域為{x|x#0},與函數(shù)y=x+l的定義域不同，不是相等

函數(shù)；

對于D,定義域相同，但對應關(guān)系不同，不是相等函數(shù).故選B.

答案：B

3.解析：因為-=:x+3+,

所以7(—2)=4-2+3+解得a=l.

答案：1

4.解析：因為大X)是分段函數(shù)，所以兀v)》l應分段求解.當X<1時，火x)2l,即(x+l)2》l.

解得xW—2或x>0,所以'2或OWx<l；當時，貝x)2l,即4—Vx—121,

解得IWXWIO.

綜上所述，xW-2或OWxWlO.

答案：(-8,-2]U[0,10]

5.解析：令/=」,則t20,x—t2,所以式。=產(chǎn)一l(r2O).即加0=/—l(x令0).

答案：X2—1(x^0)

6.解析：因為遍>〃=2,所以/(n)=(通)2—4=2,

所以歡遙))=x2)=|2—3|+〃=1+。=3,解得a=2.

答案：2

提升關(guān)鍵能力

考點一

2—x>0,

12+X-X2>0,

｛x-10,

(x<2,

解得｛-3<x<4,所以一3<r<2且xWl.故函數(shù)的定義域為｛x|-3<x<2且

(x￥=1,

答案：B

2.解析：因為-2%+”>0,所以又因為函數(shù)定義域為(-8,1),所以|=1,所以

。=2.

答案：D

3.解析：因為函數(shù)7U)的定義域為[0,6],所以0W2xW6,解得0WxW3.又因為X-3W0,

所以xW3,函數(shù)翳的定義域為[0,3).故選D項.

答案：D

4.解析：要使函數(shù)的定義域為R,則分2—4依+2>0恒成立.①當〃=0時，不等式為

2>0,恒成立；②當aWO時，要使不等式恒成立，則(:即

U=(-4a)2-4a-2<0,

[a>0,解得由①②得故選D.

(a(2a-1)<0,22

答案：D

一題多變

1.解析：因為函數(shù)火x)的定義域為[0,6J,則OWx—5W6,即5?11,所以函數(shù)於

-5）的定義域為[5,11].

答案：[5,11]

2.解析：因為函數(shù)人x-5）的定義域是[0,6],則0WxW6,有一5Wx-5Wl,所以函數(shù)

兀t）的定義域為[—5,1].

答案：[-5,1]

考點二

例1解析：（i）（換元法）令三+1=，則.因為co,所以01,所以加）=怛/，即

X1—11—1

兀V）的解析式是兀0=lg三（x>l）.

2

(2)方法1：(換元法)令2x+l=f(reR),則》=『，所以大"=4(詈)-6XV1+5=A—

5/+9(r￡R),所以_/U)=f—5x+9(xdR).

方法2:(配湊法)因為42%+1)=4/—6犬+5=(2*+1)2—101+4=(2%+1)2—5(2》+1)+9,

所以?x)=f—5x+9.

方法3：(待定系數(shù)法)因為7U)是二次函數(shù)，所以設兀0=加+法+c(a#0),則夫2x+l)

=a(2x+\)2+h(2x+1)+c=4ax2+(4?+2h)x+a+b+c.因為fi,2x+1)=4/—6x+5,所以

4a=4,a=1,

4a+2b=-6,解得，b=-5,

a+b+c=5,、c=9.

所以7U）-5x+9.

解析：（3）（消去法yw+紈一犬尸e",①

迷一x）+〃U）=er,②

①②聯(lián)立消去;（-X）得3Kx）=2er-e',

所以危尸1-*—#.

答案：⑴y（x）=ig六（x>D

（2）/（x）=x2-5x+9

（3次r）="一#

對點訓練

I.解析：（1）方法1：由于y（l—2x）=W^（x￥0）,

當》三時，始=3也=15.故選C.

16

方法2：設1—2x=f,貝Ux=F，

結(jié)合41-2x）=詈（彳r0）可知,

44-(1一。2

刖1

(1-t)2(1-t)2

所以大》=孚京=15.故選C.

2(1三)

答案：C

2.解析：令/=?+：(x>0).

因為4+盍22,則戶=才+：+2?22),得到X+[=/-2,Q22).

所以由/(4+2)=x+1,得：

_/(，)=*一2(t22),即其力=叱-2(x12).

答案:2(x22)

3.解析：(待定系數(shù)法)設4x)=ax+b(a#O),

則3J(x+l)~2J(x-l)^ax+5a+b,

所以ax-\-5a+h=2x-\-17對任意實數(shù)x都成立，

所以1a=2,解得卜=2,所以次x)=2x+7.

答案：2x+7

4.解析：(解方程組法)因為2/U)+./g)=3x,①

所以將x用;替換，得“Q+於)=[,②

由①②解得/U)=2x—3x#0),

即式x)的解析式是兀v)=2x-gx#0).

答案：2x—2(xW0)

考點三

例2解析：(1)因為犬1)=12+2=3,所以以1))=五3)=3+3=4.故選C項.

3-Z

⑵43=店t)+1=必)+1=3甘1=|,

"一?=cos(-T=cosT=--，

答案：⑴