2022年中考數(shù)學(xué)常考點(diǎn)02方程(組)與不等式(組)

y題型歸納

一'一元二次方程的解法

一元二次方程的解法不是唯一的，常用的方法是配方法和公式法，對于結(jié)構(gòu)比較特殊的一

元二次方程也可采用因式分解法.

【例】(2021?黑龍江齊齊哈爾市.中考真題)解方程：x(x-7)=8(7-x).

【答案】&=7,々=一8

【分析】

先移項(xiàng)再利用因式分解法解方程即可.

【詳解】

解：???x(x-7)=8(7—x),

，x(x-7)+8(x—7)=0,

A(x-7)(x+8)=0,

??Xj=7,=-8.

二'分式方程的解法

去分母時，要準(zhǔn)確找出分式方程中各分式的最簡公分母，求出整式方程的根后，要注意驗(yàn)根.

【例】(2021.江蘇泰州市?中考真題)解方程：上j2x+l=白5.

x-22-x

【答案】x=-l

【分析】先將分式方程化簡為整式方程，再求解檢驗(yàn)即可.

【詳解】

解：等式兩邊同時乘以(片2)得2<+尤-2=5,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得34-3,

系數(shù)化為1得4-1

檢驗(yàn)：當(dāng)尸-1時,X-2H0,

???戶-1是原分式方程的解.

三'二元一次方程組的解法

二元一次方程組的常用解法有“代入法”和“加減法”.

（1）“代入法”的一般步驟：

第一步：從方程組中找出或者由已知方程轉(zhuǎn)化為“y=kx+b”或“％=沖+〃”的形式；

第二步：將方程“丁=依+"'或'”=租），+〃”代入另一個方程，消去一個未知數(shù)；

第三步：解所得一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

第四步：將所得未知數(shù)的值代入“y=^+?！被?x=〃?y+〃"，求出另一個未知數(shù)的值；

第五步：作出結(jié)論.

（2）“加減法”的一般步驟：

第一步：變形-----使兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等；

第二步：消元-----將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)；

第三步：解所得一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

第四步：將所得未知數(shù)的值代入原方程組中的某一方程，求出另一個未知數(shù)的值；

第五步：作出結(jié)論.

四、一元一次不等式（組）的解法

（1）解一元一次不等式的步驟一般為去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)

化為1.特別要注意的是不等號的方向.

（2）解一元一次不等式組的步驟：第一步，分別求出各不等式的解集；第二步，利用數(shù)軸求

出它們的公共部分，即不等式組的解集

（3）已知不等式（組）的解集，求不等式（組）中待定字母的取值范圍問題，首先把不等式

（組）的解集用含有字母的形式表示出來，然后把它與已知解集聯(lián)系起來求解.這類問題有時

要運(yùn)用方程知識，有時要運(yùn)用不等式知識，在求解過程中可以利用數(shù)軸進(jìn)行分析.

【例】（2021.江蘇常州市.中考真題）解方程組和不等式組：

x+y=0

（1）\,°

2x-y=3

f3x+6>0

（2）\日

x—2<—x

x=\

【答案】（1）\,；（2）-2<x<l

【分析】

（1）利用加減消元法，即可求解；

(2)分別求出各個不等式的解，再取公共部分，即可求解.

【詳解】

x+y=0①

解:

=3②，

①+②，得3JC=3,解得：x=\,

把ml代入①得：尸-1,

fx=1

...方程組的解為：

3尤+6>0①

(2)〈?

x-2<-x?

由①得：x>-2,

由②得：x<\,

...不等式組的解為：-2Vx<l

【例】(2021.內(nèi)蒙古通遼市?中考真題)若關(guān)于x的不等式組；一—有且只有2個整數(shù)

2x—a<5

解，則。的取值范圍是.

【答案】-l<a<l

【分析】

分別求出兩個不等式的解集，根據(jù)不等式組只有2個整數(shù)解列不等式即可得答案.

【詳解】

解不等式3尤-221得：x>\,

解不等式2x—a<5得：歲，

.??不等式的解集為號xV等，

?.?不等式組只有2個整數(shù)解，

不等式組的整數(shù)解為1、2,

解得：-1VH1,

故答案為：-IV方1

五、一元二次方程根的判別式與根的情況

要判斷一元二次方程是否有根，即判斷力2一4"與0的大小.當(dāng)〃一4">0時，方程有

兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)82—4ac=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)戶-4acV0時，方

程沒有實(shí)數(shù)根.

【例】（2021?湖南懷化市.中考真題）對于一元二次方程-3x+4=0,則它根的情況為（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.兩根之和是3

C.兩根之積是-2D.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】

先找出a=2/=-3,c=4,再利用根的判別式判斷根的情況即可.

【詳解】

解：-3x+4=0

a=2,b=—3,c=4

/.△才_4ac=9-32=-23<0

,這個一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，故A正確、。錯誤.

VX?X=—=2,故C錯誤.

12a

%+/=-2=],故8錯誤.

a2

故選:A.

六、利用一元二次方程解應(yīng)用題

利用一元二次方程解有關(guān)“銷售定價(jià)”應(yīng)用題的步驟：第一步：根據(jù)題意，設(shè)出相關(guān)未知

數(shù)；第二步：用含有未知數(shù)的代數(shù)式準(zhǔn)確表示出銷售一件商品的利潤以及相應(yīng)的銷售量；第

三步：列出一元二次方程；第四步：解方程，求出方程的解；第五步：檢驗(yàn)，作答.

【例】（2021?遼寧本溪市.中考真題）某網(wǎng)店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進(jìn)價(jià)為每個40

元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價(jià)為60元時，每星期賣出100個.如果調(diào)整銷售

單價(jià)，每漲價(jià)1元，每星期少賣出2個，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價(jià)銷售，設(shè)銷售單價(jià)為x元，每星期銷

售量為y個.

(1)請直接寫出y(個)與x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)銷售單價(jià)是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元？

(3)當(dāng)銷售單價(jià)是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】(1)y=-2x+220；(2)當(dāng)銷售單價(jià)是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是

2400元；(3)當(dāng)銷售單價(jià)是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

【分析】

(1)根據(jù)題意中銷售量y(個)與售價(jià)無(元)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)題意列出方程(-2x+220)(x-40)=2400,解方程即可求解；

(3)設(shè)每星期利潤為w元，構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】

(1)由題意可得，y=100-2(x-60)=-2x+220；

(2)由題意可得，

(-2x+220)(x-40)=2400,

解得，*=70,x2=80,

當(dāng)銷售單價(jià)是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元.

答：當(dāng)銷售單價(jià)是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元.

(3)設(shè)該網(wǎng)店每星期的銷售利潤為卬元，由題意可得

w=(-2x+220)(x-40)=-2%2+300JT-8800,

當(dāng)、=-二=75時，w，有最大值，最大值為2450,

當(dāng)銷售單價(jià)是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

答：當(dāng)銷售單價(jià)是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

七、用分式方程解應(yīng)用題

用分式方程解決實(shí)際問題時，要認(rèn)真審題，恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，準(zhǔn)確找出題中的等量關(guān)系.在

解題過程中，要注意檢驗(yàn)，所求根既要滿足方程，又要滿足題意.

【例】(2021.內(nèi)蒙古中考真題)小剛家到學(xué)校的距離是1800米.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)

現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎

自行車按原路返回學(xué)校.已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平

均速度是跑步的平均速度的L6倍.

（1）求小剛跑步的平均速度；

（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說明理

由.

【答案】（1）小剛跑步的平均速度為150米/分；（2）小剛不能在上課前趕回學(xué)校，見解析

【分析】

（1）根據(jù)題意，列出分式方程即可求得小剛的跑步平均速度；

（2）先求出小剛跑步和騎自行車的時間，加上取作業(yè)本和取自行車的時間，與上課時間20

分鐘作比較即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為L6x米/分，

1800—1800

根據(jù)題意，得----+4.5=----

1.6xx

解這個方程，得x=150,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=150是所列方程的根，

所以小剛跑步的平均速度為150米/分.

（2）由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分,

則小剛跑步所用時間為而=12（分），

騎自行車所用時間為12-4.5=7.5（分），

在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，

所以小剛從開始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+7.5+3=22.5（分）.

因?yàn)?2.5>20,

所以小剛不能在上課前趕回學(xué)校.

八、列二元一次方程組解應(yīng)用題一般步驟：

第一步：審，明確文字中表述的兩個等量關(guān)系和兩個未知數(shù)；

第二步：設(shè)，用字母表示未知數(shù)；

第三步：歹U,用含未知數(shù)的代數(shù)式表示等量關(guān)系各部分的數(shù)量，并將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程;

第四步：解，解所列方程組，求出方程組的解；

第五步：驗(yàn)，檢驗(yàn)方程組的解是否符合題意；

第六步：答，規(guī)范寫出答語.

九、一元一次不等式（組）的應(yīng)用

用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際問題中的不等關(guān)系抽象出來，用不等式（組）的知識解答應(yīng)用題和方案設(shè)

計(jì)型試題.

【例】（2021.黑龍江中考真題）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴(kuò)大糧食

生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)

具和1件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元.

（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不

超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具〃?件，則有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

【答案】（1）購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需1.5萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需0.5萬元；（2）購進(jìn)

甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具

7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件；（3）購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件所需資金最少，最少資

金為10萬元.

【分析】

（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需x萬元，購進(jìn)1件乙種農(nóng)機(jī)具需y萬元，然后根據(jù)題意可得

2x+y=3.5q一

；Q，進(jìn)而求解即可；

x+3y=3

（2）由（1）及題意可得購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具為（10-/H）件，則可列不等式組為

9.8<1.5m+0.5（10-/n）<1