專題13函數(shù)模型及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,為常數(shù)且

反比例函數(shù)模型

f（x）」+b（k,b為常數(shù)且。工0）

X

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+hx+c(a,b,。為常數(shù)且。工0)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，b/0,tz>0,

對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=hlogax+c(a,b,。為常數(shù)，。>0,

塞函數(shù)模型f(x)=ax"+b(a,6為常數(shù)，。中0)

2.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

【題型歸納目錄】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

題型三：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型

【典例例題】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

例1.（2022?黑龍江?哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，A8為球門，在某次

小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的P點(diǎn)處接球，此時(shí)=假設(shè)甲沿著平行

邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)。處射門，為獲得最佳的射門角度（即NAOB最大），則射門時(shí)甲離上

方端線的距離為（）

B.576C.10V2D.105/3

端II線單位:米

例2.(2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測(cè)(文))如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=\,。是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P

沿著邊BC、CD與D4運(yùn)動(dòng)，記N8OP=x,將的面積表示為關(guān)于x的函數(shù)f(x),則f(x)=

()

時(shí),/(x)=2tanx

g3兀

B.當(dāng)xi,W*時(shí),/(x)=-tanx

-3冗\(yùn)

C.當(dāng)X€7,乃J時(shí)，/(x)=-tanx

D.當(dāng)xe今，乃)時(shí)，/(x)=tanx

例3.(2022?上海交大附中高三開學(xué)考試)2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海

舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進(jìn)博會(huì)讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際

采購、投資促進(jìn)、人文交流，開放合作四大平臺(tái)作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費(fèi)品展

區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場(chǎng).已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬

元，每生產(chǎn)1萬臺(tái)需另投入380萬元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品尤萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入為

500-2JC,0<x<20

R(x)萬元，且R(X)=L”21406250

370+.................-,x>20

.xx~

(1)寫出年利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺(tái))的函數(shù)解析式；(利潤=銷售收入—成本)

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

例4.(2022?全國?高三專題練習(xí))某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固

定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測(cè)算，總收益滿足函數(shù)

,、400.r-ix2,（0<x<400）_

R（x）=<2'，,其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.

80000,（x>400）

（1）將利潤/U）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

例5.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）勞動(dòng)實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會(huì)、回

報(bào)社會(huì)的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動(dòng)實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x

件時(shí)，售價(jià)為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計(jì)為600+20X元，請(qǐng)你幫他計(jì)算日產(chǎn)量為

件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【方法技巧與總結(jié)】

1.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別

找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2.構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏.

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

例6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，

此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一

年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電

話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意

3

圖，其中A8=A￡=],ZA=ZB=ZE=90°,曲線段CO是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面的

面積為S,周長(zhǎng)為L(zhǎng),則亍的最大值為.（本題中取萬=3進(jìn)行計(jì)算）

B

C例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為20

cm,把沿AC折疊，A8折過去后交于點(diǎn)夕，設(shè)45=xcm,AO=ycm.

\（1）建立變量y與X之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/（x）,并寫出函數(shù)y=f（x）的定義域；

B'

（2）求△〃中的最大面積以及此時(shí)的x的值.

例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、

氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形。8截去同心扇形0A3所得部分.已知扇環(huán)

周長(zhǎng)=3OOcm,大扇形半徑O￡>=100cm,設(shè)小扇形半徑OA=Acm,弧度，則①。關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式。（幻=.②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為以x）=10x+1700,則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比

的最大值為.

1.解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

2.利用模型/（x）=ar+b±求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.

x

題型三：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型

例10.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）天文學(xué)上用絕對(duì)星等衡量天體的發(fā)光強(qiáng)度，用目視星等衡量觀測(cè)者看到的天

體亮度，可用M=，"-51g]■近似表示絕對(duì)星等加、目視星等小和觀測(cè)距離d（單位：光年）之間的關(guān)

系.已知織女星的絕對(duì)星等為0.58,目視星等為0.04,大角星的絕對(duì)星等為-0.38,目視星等為-0.06,則

觀測(cè)者與織女星和大角星間的距離的比值約為（）

A.IO-22B.10°172C.IO-0044D.10^172

例U.（2022.河南.模擬預(yù)測(cè)（文））金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時(shí)

需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度〃與其采摘后時(shí)間f（天）滿足的函數(shù)解析式為

/?=mln（f+a）,（a>0）.若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%,采摘后3天，金針菇失去的新鮮度

為80%.那么若不及時(shí)處理，采摘下來的金針菇在多長(zhǎng)時(shí)間后開始失去全部新鮮度（已知0=1.414,結(jié)

果取一位小數(shù)）（）

A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天

例12.（2022?陜西西安?三模（理））2022年4月16B,神舟十二號(hào)3名航天員告別了工作生活183天的

中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關(guān)鍵是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間獲得

速度增量的公式。=匕吊膽，其中為火箭的速度增量，匕為噴流相對(duì)于火箭的速度，，"。和町分別代

,n\

表發(fā)動(dòng)機(jī)開啟和關(guān)閉時(shí)火箭的質(zhì)量，在未來，假設(shè)人類設(shè)計(jì)的某火箭匕達(dá)到5公里/秒色，從100提高到

600,則速度增量增加的百分比約為（）（參考數(shù)據(jù)：In2=0.7,ln3=l.l,In5al.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

例13.（2022?貴州?模擬預(yù)測(cè)（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對(duì)入侵地

的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為Q,一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相

鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間.在物種入侵初期，可用對(duì)數(shù)模型K（〃）=/Un〃（幾為常數(shù)）來描述該物種累

計(jì)繁殖數(shù)量”與入侵時(shí)間K（單位：天）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且。=：+1,在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)

得出。=6,7=5（）.據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量比初始累計(jì)繁殖數(shù)量增加11倍所需要的時(shí)間為

（In2ko.69,ln3?1.10）（）

A.22.0天B.13.8天C.24.8天D.17.9天

例14.（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)

召，積極參與幫扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)

貼10萬元.若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：

VL82~1.22,-^1/73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

例15.（2022?廣西?模擬預(yù)測(cè)（理））異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系

通常以基函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重了滿足丫=日"其中女和a為正常數(shù)，

該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態(tài)的8倍，則。為（）

A.-B.[C.1D.-

例16.（2022?貴州貴陽?二模（理））2021年11月24日，貴陽市修文縣發(fā)生了4.6級(jí)地震，所幸的是沒有

人員傷亡和較大財(cái)產(chǎn)損失，在抗震分析中，某結(jié)構(gòu)工程師提出：由于實(shí)測(cè)地震記錄的缺乏，且考慮到強(qiáng)震

記錄數(shù)量的有限性和地震動(dòng)的不可重復(fù)性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)計(jì)特征的非平穩(wěn)

7Y

一,o<

地震波時(shí)程，其中地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)/（）=1,乙4（單位：秒）分別為控制強(qiáng)震

1

平穩(wěn)段的首末時(shí)刻；。（單位：秒）表示地震動(dòng)總持時(shí)；C是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次

抗震分析中，地震動(dòng)總持時(shí)是20秒，控制強(qiáng)震平穩(wěn)段的首末時(shí)刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,

則當(dāng)f=15秒時(shí)，地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)值是（）

A.e-1B.1C.9D.e-2

【方法技巧與總結(jié)】

1.在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、

銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2.在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求

解最值問題.【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

I.（2022?遼寧葫蘆島?二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度無（單位：。C）的關(guān)系.現(xiàn)

收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)（冷》）（，=1,2,乙7）得到下面的散點(diǎn)圖：

350-?

300-

<-、

^250-

200-

..由此散點(diǎn)圖，在至之間，下面四個(gè)

-315020℃36℃

100-?

50'????

%2224262830323436

溫度/°C

回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a-\--C.y=a+加'D.y=a^b\nx

x

2.（2022.全國.模擬預(yù)測(cè)）影響租金的因素有設(shè)備的價(jià)格、融資的利息和費(fèi)用、稅金、租賃保證金、運(yùn)

費(fèi)、各種費(fèi)用的支付時(shí)間、租金的計(jì)算方法等，而租金的計(jì)算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法

每期租金R的表達(dá)式為R=P叱匕。+尸子（其中P為租賃資產(chǎn)的價(jià)格；N為租賃期數(shù)，可按月、季、半

N

年、年計(jì)；i為折現(xiàn)率；，?為附加率）.某小型企業(yè)擬租賃一臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備，租金按附加率法計(jì)算，每年年末

支付，已知設(shè)備的價(jià)格為84萬元，折現(xiàn)率為8%,附加率為4%,若每年年末應(yīng)付租金為24.08萬元，則

該設(shè)備的租期為（）

A.4年B.5年C.6年D.7年

3.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻

繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟.其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量

損耗滿足傳輸公式：乙=32.44+201g。+20lg尸，其中。為傳輸距離，單位是km,尸為載波頻率，單位是

MHz,乙為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB.若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB,則傳輸距

離增加了約（參考數(shù)據(jù)：吆2=0.3,lg4?0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

4.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）施工企業(yè)承包工程，一般實(shí)行包工包料，需要有一定數(shù)量的備料周轉(zhuǎn)金，由建

設(shè)單位在開工前撥給施工企業(yè)一定數(shù)額的預(yù)付備料款，構(gòu)成施工企業(yè)為該承包工程儲(chǔ)備和準(zhǔn)備主要材料、

結(jié)構(gòu)件所需的流動(dòng)資金.確定工程預(yù)付款起扣點(diǎn)的依據(jù)是：未完施工工程所需主要材料和構(gòu)件的費(fèi)用等于

工程預(yù)付款的數(shù)額.計(jì)算公式為：T=P-^~（T：工程預(yù)付款起扣點(diǎn)，P：承包工程合同總額，M-.工

N

程預(yù)付款數(shù)額，N：主要材料及構(gòu)件所占比重）.某施工企業(yè)承接了一個(gè)合同總額為208萬元的新工程，

該工程預(yù)付款起扣點(diǎn)為160萬元，主要材料及構(gòu)件所占比重為65%,則建設(shè)單位應(yīng)預(yù)付給施工企業(yè)的金額

為合同總額的（）

A.12%B.15%C.18%D.21%

5.（2022?北京?二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量產(chǎn)（單位：mg/L）

與時(shí)間單位：h）間的關(guān)系為P=《e-k,其中庶，4是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么

再過5h后污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

6.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）某污水處理廠為使處理后的污水達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，需要加入某種藥劑，加入該藥

劑后，藥劑的濃度C（單位：mg/n?）隨時(shí)間f（單位：h）的變化關(guān)系可近似的用函數(shù)

C（f）=>0）刻畫.由此可以判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達(dá)到最大值，需經(jīng)過

（）

A.3hB.4hC.5hD.6h

7.（2022?云南曲靖?二模（文））某大型家電商場(chǎng)，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售A、8兩種電器，已知這兩種電器

每臺(tái)的進(jìn)價(jià)都是1萬元，若廠家規(guī)定，一家商場(chǎng)進(jìn)貨8的臺(tái)數(shù)不高于A的臺(tái)數(shù)的2倍，且進(jìn)貨8至少2臺(tái)，

而銷售A、5的售價(jià)分別為12000元/臺(tái)和125（X）元/臺(tái)，若該家電商場(chǎng)每周可以用來進(jìn)貨A、B的總資金為

6萬元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場(chǎng)在一個(gè)周內(nèi)銷售A、3電器的總利潤（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）的

最大值為（）

A.1.2萬元B.2.8萬元C.1.6萬元D.1.4萬元

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一

個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以

用指數(shù)模型：/（/）=?”描述累計(jì)感染病例數(shù)/?）隨時(shí)間r（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與4，T

近似滿足凡=1+”.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出%=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)

感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為（In2ao.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

二、多選題

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km（不超過

3km按起步價(jià)付費(fèi)）；超過3km但不超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時(shí);超過部分

按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元，下列結(jié)論正確的是（）

A.出租車行駛2km,乘客需付費(fèi)8元

B.出租車行駛4km,乘客需付費(fèi)9.6元C.出租車行駛10km,乘客需付費(fèi)25.45元

D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費(fèi)用之和超過他乘出租車行駛10km一次的費(fèi)用

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間r（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲

線.據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（）

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)

C.注射該藥物9小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為5考31時(shí)

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“雙11”購物節(jié)中，某電商對(duì)顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物付款總

額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過50元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物總額超過

50元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過100元但不超過300元，則按標(biāo)

價(jià)給予9折優(yōu)惠；（4）如果購物總額超過300元，其中300元內(nèi)的按第（3）條給予優(yōu)惠，超過300元的部

分給予8折優(yōu)惠.某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（）

A.如果購物總額為78元，則應(yīng)付款為73元

B.如果購物總額為228元，則應(yīng)付款為205.2元

C.如果購物總額為368元，則應(yīng)付款為294.4元

D.如果購物時(shí)一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某一池澹里浮萍面積了（單位：m2）與時(shí)間f（單位：月）的關(guān)系為

>=2',下列說法中正確的說法是（）

A.浮萍每月增長(zhǎng)率為1

B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過30m2

C.浮萍每月增加的面積都相等

D.若浮萍蔓延到2m\3m2,6m?所經(jīng)過時(shí)間分別為r“，G，則4+弓=4

三、填空題

13.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）一種藥在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有療效，而低于500mg病人就有

危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg,如果藥在血液中以每小時(shí)10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮

藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過小時(shí)內(nèi)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.（附：

1g2?0.3010,lg3?0.4771,精確到O.lh）

14.（2022?遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè)）某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比上一年利潤

增長(zhǎng)4%,則2026年的利潤是萬元.（結(jié)果精確到1萬元）

15.（2022?北京?二模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限”廠>0）,勞累程度

T（O<T<1）,勞動(dòng)動(dòng)機(jī)儀1<6<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-10T.6?w.

己知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；

②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高；

③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)：

④甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

16.（2022.全國?高三專題練習(xí)）長(zhǎng)江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了

重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量

的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實(shí)際蓄水量）+（水庫總蓄水量）X100）來

衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：

（i）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間I。/。。］;

（ii）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；

（iii）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記尤為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式：

?y=+6x；②y=l（）\/7；③）,=［0否；④y=lOOsin^^x.

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是.

四、解答題

17.（2022?上海交大附中高三期中）“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞

性和挑戰(zhàn)性極強(qiáng).如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門點(diǎn)A出發(fā)，沿著助滑道曲線/（x）=-病二7（-64*40）滑

到臺(tái)端點(diǎn)B起跳，然后在空中沿拋物線g（x）=ax2-20以-6（x>0）飛行一段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線段BC

的長(zhǎng)度稱作運(yùn)動(dòng)員的飛行距離，計(jì)入最終成績(jī).已知8（力=加-20or-匕在區(qū)間［0,30］上的最大值為

〃（起滑門）

-30,最小值為-70.助滑道、空中飛翔

8（臺(tái)端）\

C（著陸點(diǎn)）

（1）求實(shí)數(shù)。，方的值及助滑道曲線A8的長(zhǎng)度.

（2）若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門點(diǎn)A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米，

石q2.236）.

18.（2022?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）有一條長(zhǎng)為120米的步行道OA,4是垃圾投放點(diǎn)電，以。為

原點(diǎn)，OA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)3（x,0）,現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點(diǎn)?（f,0）,函數(shù)f（x）

表示與點(diǎn)B距離最近的垃圾投放點(diǎn)的距離.

⑴若1=60,求人o（10）、啟（80）、40（95）的值,并寫出啟（力的函數(shù)解析式；

（2）若可以通過/（x）與坐標(biāo)軸圍成的面積來測(cè)算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利.問：垃圾投放點(diǎn)電

建在何處才能比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利？

19.（2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試）某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后，建立

了一個(gè)預(yù)測(cè)該市一天中的大氣污染指標(biāo)/（,）與時(shí)間，（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系的函數(shù)模型：

/1）=g（r）+；-a+2”,問0,24）,其中g(shù)（f）=；sin（即1岡），代表大氣中某類隨時(shí)間f變化的典型污

-

染物質(zhì)的含量，參數(shù)。代表某個(gè)已測(cè)定的環(huán)境氣象指標(biāo)，且0,-.現(xiàn)環(huán)保部門欲將/（，）的最大值M（4）

作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)布.

⑴求g（r）的值域；

（2）若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,請(qǐng)求出M（a）的表達(dá)式，并預(yù)測(cè)該市目前的大

氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會(huì)超標(biāo)？請(qǐng)說明理由.

20.（2022?安徽亳州?高三期末（理））如圖所示，兩村莊A和B相距10km,現(xiàn)計(jì)劃在兩村莊外以A8為直

徑的半圓弧48上選擇一點(diǎn)C建造自來水廠，并沿線段。和CB鋪設(shè)引水管道.根據(jù)調(diào)研分析，C4段的引

水管道造價(jià)為2萬元/km,CB段的引水管道造價(jià)為〃?萬元/km,設(shè)。=^km,鋪設(shè)引水管道的總造價(jià)為

y萬元，且已知當(dāng)自來水廠建在半圓弧A8的中點(diǎn)時(shí)，y=30>/2.

⑴求m的值，并將y表示為X的函數(shù);

A--------------------H

（2）分析y是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.（2022?全國?高三專題練習(xí)）十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油

車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，2020年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，

通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本3ooo萬元，每生產(chǎn)x（百輛）需另投入成本y（萬元），且

10X2+I00A:,0<X<40

y=\八100002八.由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售

501%+------4500,x240

、x

完.

（1）求出2020年的利潤S（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額一成本）

（2）當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

22.（2022.全國?高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生

態(tài)水果特色小鎮(zhèn)經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料單位：千克）滿足

5（X2+3）,0<X<2

如下關(guān)系：卬。）=50x，肥料成本投入為1Ox元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

---,2<xV5

,l+x

費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為7（x）（單

位：元）

⑴寫單株利潤/（x）阮）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；

（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？

專題13函數(shù)模型及其應(yīng)用

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù)且ax0)

反比例函數(shù)模型

f(x)=-+b(k,6為常數(shù)且a40)

X

二次函數(shù)模型/(x)=ax1+Zzr+c(a,b,c為常數(shù)且a工。)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,。為常數(shù)，8H0,a>G,awl)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

f(x)=biogax+c(a,b,c為常數(shù)，bwO,a>0,awl)

基函數(shù)模型n

/(x)=ax+b(a9b為常數(shù),。工0)

2.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

(1)審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

【題型歸納目錄】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

題型三：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型

【典例例題】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

例1.(2022.黑龍江?哈爾濱三中三模(理))如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，48為球門，在某次

小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的P點(diǎn)處接球，此時(shí)tanNAPB=(,假設(shè)甲沿著平行

邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)。處射門，為獲得最佳的射門角度(即NAQ8最大)，則射門時(shí)甲離上

方端線的距離為()

56B.576C.10V2D.105/3

【解析】

【分析】

力2+150

先根據(jù)題意解出A8長(zhǎng)度，設(shè)?！?〃，得到cosZAQ8=再分析求值域，判斷取等條

J/+325"+22500'

件即可求解.

【詳解】

設(shè)45=x,并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

DJJinnc

所以tan/3PH=——RtanZAPB=—

HP25531

52

——I—3

所以tanZAPH=tan(/APB+ZBPH)==-

,AHAB+BHx+10x+103口「目一”「

又tan/APH=-----=-------------=--------，所以------=-,解4得ax=5,即AB=5,

PHPH25255

設(shè)。”=力，/ze[0,25],l/ii]AQ=^Q^+AH2=V/r+152,

BQ=y]QH2+BH2=Jh2+}02，所以在AAQB中，有

cos408=m+「/八150

2AQxBQJ/+325川+22500

令m=/?2+150(1504,”4775),所以"=切一巾。,

cosZ.AQB=[=]

所以,77-150)2+325(〃?-150)+2250013750?25門，

Vfn~m

因?yàn)?504m4775,所以」4,4上，則要使NAQB最大，

775m150

cosZ.AQB=,/375075

即375025「要取得最小值,即J-號(hào)+2+1取得最大值,

J——1+—+1Vm2m

Vfntn

375025111

即一年+丁在行4K瓦取得最大值,

人1J___1_

令/=—G/(r)=-3750r2+25/+l,

m市詢

所以/⑺的對(duì)稱軸為：f=皋，所以/⑺在三，上單調(diào)遞增，在4，上單調(diào)遞減,

300//D3UUJUU12）U

所以當(dāng)，=工時(shí)，/（，）取得最大值，即NAQ8最大，此時(shí)_1=工，即m=300，

300m300

所以"=150,所以/?=5?,即為獲得最佳的射門角度（即/AQ8最大），

則射門時(shí)甲離上方端線的距離為：5瓜.

故選：B.

例2.（2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在矩形A8C￡＞中,

43=2,BC=\,。是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC、C。與ZM運(yùn)動(dòng)，記N3OP=x,將△P4B的面積表示

為關(guān)于X的函數(shù)/（%）,則〃%）=（

A.當(dāng)無￡(05時(shí)，/(x)=2tanx

g3九

B.當(dāng)無i輪］，時(shí)，/(x)=-tanx

-3九\

C.當(dāng)工￡丁萬)時(shí)，/(x)=-tanx

D.當(dāng)xe亍，乃J時(shí)，/(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【分析】

分T。?、片、.學(xué)乃)三種情況討論，求出△EW的邊AB上的高，結(jié)合三角形的面積

公式可得H」"(x)的表達(dá)式.

【詳解】

JI_____

?;OB=OC=1,則NBOC=1,易得OC=OD=Jr+/=&,:.0C2+0D2=CD2,

時(shí)，點(diǎn)尸在線段8c上(不包括點(diǎn)3),則

止匕時(shí)NPQ4=;r-x,則A4=04tan（1一x）=-tanx,則

故選：C.

例3.(2022?上海交大附中高三開學(xué)考試)2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海

舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進(jìn)博會(huì)讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際

采購、投資促進(jìn)、人文交流，開放合作四大平臺(tái)作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費(fèi)品展

區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場(chǎng).已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬

元，每生產(chǎn)1萬臺(tái)需另投入380萬元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入為

500-2x,0<x<20

R(x)萬元，且R(x)=di、21406250

370+--------；-,%>20

、XX

(1)寫出年利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬臺(tái))的函數(shù)解析式；(利潤=銷售收入一成本)

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

-2X2+120X-150,0<X<20

【答案】(1)S=-10A-^^+1990,X>20

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為25萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元【解析】

【分析】

(1)分0<x420和x>20兩種情況,由利潤=銷售收入一成本，知5=與?。)-(380》+150),再代入

R(x)的解析式，進(jìn)行化簡(jiǎn)整理即可，

(2)”10<x420時(shí)，利用配方法求出S的最大值，”lx>20時(shí)，利用基本不等式求出S的最大值，比較兩

個(gè)最大值后，取較大的即可

(1)

當(dāng)0<x420時(shí)，S=xR(x)-(380x+150)

=500x-2x2-38()x-150=-2x2+120x-150.

當(dāng)尤>20時(shí)，S=xR(x)-(380x+150)

=370x+2140-^^-380x-150=-10x-^^+1990,

所以年利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺(tái))的函數(shù)解析式為

-2X2+120X-150,0<X<20

s=-10^-^^+1990,x>20⑵

x

當(dāng)0cx420時(shí)，S=-2x2+120x-150=-2(x-30)2+1650,

所以函數(shù)S在(0,20］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=2()時(shí)，S取得最大值1450,

當(dāng)x>20時(shí)，S=-10x-^=^+1990=-(10.r+^=^)+1990

XX

<-230x?空^+1990=-500+1990=1490,

當(dāng)且僅當(dāng)10^=色絲，即x=25時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S取得最大值1490,

x

因?yàn)?490>1450,

所以當(dāng)年產(chǎn)量為25萬臺(tái)時(shí)?，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元

例4.(2022?全國?高三專題練習(xí))某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固

定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測(cè)算，總收益滿足函數(shù)

,、2

/?("=400X--2A:,(I0<X<400)',其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.

80000,(%>400)

(1)將利潤人犬)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益=總成本+利潤)【答案】(1)

,--x2+300x-20000,(0^iJv400)

f(x)=j2；

-100x+60000,(x>400)

(2)300,25000元.

【解析】

【分析】

(I)由題意，由總收益=總成本+利潤可知，分蟋/400及x>400求利潤，利用分段函數(shù)表示；

(2)在魄*400及x>400分別求函數(shù)的最大值或取值范圍，從而確定函數(shù)的最大值.從而得到最大利潤.

(1)

由題意，當(dāng)噴!k400時(shí)，f(x)=400x-0.5x2-20000-100x=300x-0.5x2-20000;

當(dāng)x>400時(shí)，=8(XXX)-1(X)A--2(XX)()=6(XXX)-1(X)x；

,--x2+300A--20000,(Ogijr400)

故1L/(x)=J2；

-100A-+60000,(%>400)

(2)

當(dāng)噴上400時(shí)，f(x)=300x-0.5x2-20000；

當(dāng)x=300時(shí)，/a)nmi=7(300)=25000(Jo)

當(dāng)X>400時(shí)，/a)?ra</(400)=20000(TC)

?1?25000>20000,

當(dāng)x=300時(shí)，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元.

例5.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))勞動(dòng)實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會(huì)、回

報(bào)社會(huì)的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動(dòng)實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x

件時(shí)，售價(jià)為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計(jì)為600+20x元，請(qǐng)你幫他計(jì)算日產(chǎn)量為

件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【答案】2007.94

【解析】

【分析】

將利潤表示為關(guān)于x的一個(gè)二次函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可.

【詳解】

由題意易得II利潤y=sxx—(600+20x)=x(820-2x)-(600+20x)=-2(x-200)2+79400,

故當(dāng)日產(chǎn)量為200件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，

故答案為：200,7.94.

【方法技巧與總結(jié)】

1.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別

找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2.構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏.

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

例6.(2022.全國?高三專題練習(xí))某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，

此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一

年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為()

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x(xwN*),設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬元，求得》關(guān)于X的表達(dá)式，利用基本

不等式求出y的最小值及其對(duì)應(yīng)的x值，即可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x(xeN"),設(shè)備年平均費(fèi)用為>萬元，

則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2+4+6+…+2x=%0=x(x+l),

廠廠…丫尺的也出加可4100+0.5x+x（x+l）1003、J100343/匚一、

所以x年的平均費(fèi)用為y=------------——-=x+—+->2x——+—=—（力兀），

xx2Vx22

當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，等號(hào)成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

故選：B.

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電

話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意

3

圖，其中AB=AE=5，ZA=ZB=ZE=90°,曲線段CQ是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的

面積為S,周長(zhǎng)為L(zhǎng),則，的最大值為.（本題中取萬=3進(jìn)行計(jì)算）

【答案】6-3^【解析】【分析】

設(shè)圓弧的半徑為X,根據(jù)平面幾何知識(shí)寫出|關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用基本不等式求解函數(shù)的最大值即

可.

【詳解】

33

設(shè)圓弧的半徑為x(0<x4]),根據(jù)題意可得：BC=DE=AB-x=--x

S-AEDE+(AB-DE)(AE-力+(乃—=gg-+-工)工='一"+

24尤7LXQ-J1qQ—v-2

L=2AB+