機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第四節(jié)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

三、常數(shù)變易法

第七章n

階線性微分方程的一般形式為為二階線性微分方程.時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復(fù)習(xí):

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為

0

的常數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個函數(shù)在區(qū)間

I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關(guān)解,則方程的通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理5.是對應(yīng)齊次方程的n

個線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89考研)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、常數(shù)變易法復(fù)習(xí):常數(shù)變易法:對應(yīng)齊次方程的通解:設(shè)非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.

已知對應(yīng)齊次方程通解:設(shè)③的解為③由于有兩個待定函數(shù),所以要建立兩個方程:④機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束⑤令于是將以上結(jié)果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系數(shù)行列式是對應(yīng)齊次方程的解P10目錄上頁下頁返回結(jié)束積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設(shè)為只有一個必須滿足的條件即方程③,因此必需再附加一個條件,方程⑤的引入是為了簡化計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束情形2.僅知③的齊次方程的一個非零特解代入③化簡得設(shè)其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:代入③目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的通解為

的通解.解:

將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組: