第4課時(shí)解一元二次方程-公式法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解掌握一元二次方程根的判別式，不解方程能判定一元二次方程根的情況；理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程；掌握公式結(jié)構(gòu)，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過(guò)判別式判斷根的情況；學(xué)會(huì)利用求根公式解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.二、知識(shí)回顧1.什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？配方法：通過(guò)配方，先把方程的左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，然后運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解，這種解一兀二次方程的方法叫做配方法.配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)移常數(shù)項(xiàng)到方程右邊；(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；(3)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(4)化方程左邊為完全平方式；(5)若方程右邊為非負(fù)數(shù)，則利用直接開(kāi)平方法解得方程的根.2.怎樣用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(aW0)的一元二次方程？解：移項(xiàng)，得ax2+bx=-c,b cx2+—x=——,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得a a,b .b. c、/b、x2+—x+(——)2=—-+(一)2,配方，得a 2a a2a(b)2b2—4ac即：x+ — ,I2a) 4a2因?yàn)閍豐0,所以, -b±bb2-4ac當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，x= ；2a當(dāng)b2-4ac-0時(shí)，x=x=—-;12 2a當(dāng)b2-4ac-0時(shí)，原方程無(wú)解.三、新知講解一元二次方程根的判別式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用希臘字母A表示它，即A-b2-4ac.一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系A(chǔ)-b2-4ac>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A-b2-4ac-0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；A-b2-4ac<0o方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.公式法解一元二次方程一般地，對(duì)于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）,當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，它的兩個(gè)根分別是一b+bb2—4ac -b一\b2—4acx= ，x= 1 2a 2 2a—b±b2-4ac（. ）這里，x= （b2-4ac>0J叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的2a方法叫做公式法.公式法解一元二次方程的一般步驟把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0（aW0）；確定a,b,c的值；求出b2-4ac的值，并判斷方程根的情況：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.-b±bb2-4ac當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，將a,b,c和b2-4ac的值代入公式x=——= （注意符號(hào)）.2a四、典例探究.根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況四、典例探究【例1】（2015?重慶）已知一元二次方程2x2-5x+3=0,則該方程根的情況是（ ）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)根都是自然數(shù) D.無(wú)實(shí)數(shù)根總結(jié)：求根的判別式時(shí)，應(yīng)該先將方程化為一般形式，正確找出a,b,c的值.根的判別式與一元二次方程根的情況的關(guān)系如下：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4a<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.練1.（2015?銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下列說(shuō)法不正確的是（ ）A.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定練2.（2015?泰州）已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2-1=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個(gè)根為3,求m的值..根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值或取值范圍【例2】（2015?溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（ ）A.-1B.1 C.-4 D.4總結(jié)：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時(shí)：先計(jì)算根的判別式；再根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于根的判別式的等式或不等式求解；

若二次項(xiàng)系數(shù)出現(xiàn)了字母，應(yīng)注意“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”練3.（2015?涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）A.mW3B.m<3 C.m<3且mW2D.mW3且mW2.用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：x2+2x-2=0；y2-3y+1=0；x2+3=2'；2x.總結(jié)：公式法的實(shí)質(zhì)是配方法，只不過(guò)省去了配方的過(guò)程，而直接利用了配方的結(jié)論;運(yùn)用公式法求解一元二次方程要注意兩個(gè)前提：（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a,b,c的值；（2）必須保證b2-4acN0.練4.（2014?錦江區(qū)模擬）解方程：x（x-2）=3x+1.五、課后小測(cè)練5.當(dāng)x是何值時(shí)，3x2+4x-8的值和2x2-1的值相等?五、課后小測(cè)8.(2014秋?金溪縣校級(jí)月考)解方程：2x2-2??gx-5=0.(2013春?石景山區(qū)期末)用公式法解方程：x(x+2/l)=4.(2015?梅州)已知關(guān)于x的方程x2+2x+a-2=0.(1)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根.(2015?咸寧)已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.(1)證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根.(2015?昆山市一模)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1-x2|=26,求m的值.(2015?南充一模)已知關(guān)于x的一元二次方程kx2-2(k-1)x+k-2=0(kW0)(1)小明考查后說(shuō)，它總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)小華補(bǔ)充說(shuō)，其中一個(gè)根與k無(wú)關(guān).請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)其中的道理.典例探究答案：【例1（2015?重慶）已知一元二次方程2x2-5x+3=0,則該方程根的情況是（ ）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.兩個(gè)根都是自然數(shù) D.無(wú)實(shí)數(shù)根分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△:b2-4ac的值的符號(hào)就可以了.解答：解：>飛=2,b=-5,c=3,.??△:b2-4ac=（-5）2-4X2X3=1>0,?.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選：A.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）4>0。方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）4=0。方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）4<0。方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.練1（2015?銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下列說(shuō)法不正確的是（ ）A.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定分析：先求出△的值，再判斷出其符號(hào)即可.解答：解：?「△=42-4X3X（-5）=76>0,.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．練2（2015?泰州）已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2-1=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個(gè)根為3,求m的值.分析（1）找出方程a,b及c的值，計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負(fù)即可作出判斷；（2）將乂=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過(guò)解新方程即可求得m的值.解答：解：（1）,/a=1,b=2m,c=m2-1,,△二b2-4ac=（2m）2-4X1X（m2-1）=4>0,??方程x2+2mx+m2-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Vx2+2mx+m2-1=0有一個(gè)根是3,.32+2mX3+m2-1=0,解得，m=-4或m=-2.點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）4>0。方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）4=0。方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）4<0。方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．【例2（2015?溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A．-1 B．1 C．-4 D．4分析：根據(jù)方程根的情況與判別式的關(guān)系知△=42-4X4c=0,然后解一次方程即可.解答：解：???一元二次方程4x2-4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，.△=42-4X4c=0,

/.c=1,故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的判別式△:b2-4ac：當(dāng)^〉。，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)^R，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.練3(2015?涼山州)關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x?+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是()A.mW3B.m<3C.m<3且mW2D.mW3且mW2分析：根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根的判別式△:b2-4ac的意義得到m-2W0且△三0,即22-4X(m-2)X1三0,然后解不等式組即可得到m的取值范圍.解答：解：???關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，.??m-2W0且△三0,即22-4X(m-2)X1三0,解得mW3,?.m的取值范圍是mW3且mW2.故選：D.點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根的判別式△:b2-4ac：當(dāng)△A。，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)^R,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△?,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.【例3】用公式法解下列方程：x2+2x-2=0；y2-3y+1=0；x2+3=2,.-12x.-b±匕?！治?1)求出b2-4ac的值，代入公式x= ￥ 求出即可；一b±卜2-(2)求出b2-4ac的值，代入公式y(tǒng)= —三求出即可;(3)求出b2-4ac的值是負(fù)數(shù)，即可得出原方程無(wú)解.解答：解：(1)這里a=1,b=2,c=-2,Vb2-4ac=22-4X1X(-2)=12>0,..x=-毒產(chǎn)-1±e-1+Vs,x2=-1-(2)這里a=1,b=-3,c=1.Vb2-4ac=(-3)2-4X1X1=5>0,??y,y2X1 _._3+V5_3-巡.y1 2,y2 2_；(3)移項(xiàng)，得x2-2v'&+3=0,這里a=1,b=-2'J2,c=3.Vb2-4ac=(-2；2)2-4X1X3=-4<0.,原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生運(yùn)用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號(hào)，再根據(jù)情況代入求根公式求解.練4(2014?錦江區(qū)模擬)解方程：x(x-2)=3x+L分析：整理后求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可.解答：解：x(x-2)=3x+1,整理得：x2-5x-1=0,b2-4ac=(-5)2-4X1X(-1)=29,_5±V29x2，x1-二'x2 2.點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確運(yùn)用公式法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵,難度適中.練5.當(dāng)x是何值時(shí)，3x2+4x-8的值和2x2-1的值相等？分析：根據(jù)3x2+4x-8的值和2x2-1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解.解答：解：根據(jù)題意得：3x2+4x-8=2x2-1,即x2+4x-7=0,a=1,b=4,c=-7,△=b2-4ac=16+28=44>0,則x14；?逗-2±;五點(diǎn)評(píng)：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運(yùn)用的條件：判別式^三。.課后小測(cè)答案：一、選擇題(2015?云南)下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是( )A.4x2-5x+2=0 B.x2-6x+9=0 C.5x2-4x-1=0 D.3x2-4x+1=0解：A、??Z=25-4X2X4=-7<0,??.方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確；B、???4=36-4X1X4=0,??.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、???4=16-4X5X(-1)=36>0,???方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、???4=16-4X1X3=4>0,??.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.(2015?貴港)若關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為()A.-1 B.0 C.1 D.2解：???關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有實(shí)數(shù)根，?△=(-2)2-8(a-1)=12-8aN0且a-1W0,.?.@^~|且aW1,二整數(shù)a的最大值為0.故選：B.(2015?煙臺(tái))等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a,b,2,且a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的兩根，則n的值為()A.9B.10 C.9或10 D.8或10解：???三角形是等腰直角三角形，二①a=2,或b=2,②a=b兩種情況，①當(dāng)a=2，或b=2時(shí)，?「a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的兩根，；.x=2,把x=2代入X2-6x+n-1=0得，22-6X2+n-1=0,解得：n=9，當(dāng)n=9,方程的兩根是2和4,而2,4,2不能組成三角形，故n=9不合題意，②當(dāng)a=b時(shí)，方程x2-6x+n-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，；.△二(-6)2-4(n-1)=0解得：n=10,故選B.(2015?株洲)有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0,其中a?cW0,aWc.下列四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的是()A.如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C.如果5是方程M的一個(gè)根，那么1是方程N(yùn)的一個(gè)根D.如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1解：A、如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么△:b2-4ac=0,所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，那么△二b2-4acN0,三>0,a所以a與c符號(hào)相同，^>0,所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，結(jié)論正確，不符合題意；CC、如果5是方程M的一個(gè)根，那么25a+5b+c=0,兩邊同時(shí)除以25,得二±c+《b+a=0,所以《255 5是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么ax2如x+c=cx2+bx+a,(a-c)x2二a-c,由aWc,得x2=1,x=±1,結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意;故選D.(2013?日照)已知一元二次方程x2-x-3=0的較小根為x1,則下面對(duì)x1的估計(jì)正確的是()C.2<x1<3D.-1<x1<0A.-2<x1C.2<x1<3D.-1<x1<0解：x2-x-3=0,b2-4ac=(-1)2-4X1X(-3)=13,方程的最小值是1一J.73<,.;13<4,，3>-13>-4.---2,」衛(wèi)堤后79，?二一=>七 ->-—2222 2 2故選：A.二、填空題(2011秋?冊(cè)亨縣校級(jí)月考)用公式法解方程2x2-7x+1=0,其中b2-4ac=41,x;WIT_7--V414―，x2--~~4-解：2x2-7x+1=0,a=2,b=-7,c=1,.??b2-4ac=(-7)2-4X2X1=41,,v=7±V4i=7±V412X2 4三、解答題(2014秋?通山縣期中)用公式法解方程：2x2-4x=5.解：原方程可化為：2x2-4x-5=0,\*a=2,b=-4,c=-5,.??b2-4ac=(-4)2-4X2X(-5)=56>0,解：這里a=2,b=-2\：￡,c=-5,?:△=8+40=48,.(2013春?石景山區(qū)期末)用公式法解方程：x(x+2/l)=4.解：整理得：x2+2.;lx-4=0,△=b2-4ac=(2/3)2-4X1X(-4)=28,-273+V2Sx= ,(2015?梅州)已知關(guān)于x的方程x2+2x+a-2=0.(1)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根.解(1)：b2-4ac=(-2)2-4X1X(a-2)=12-4a>0,解得：a<3.??.a的取值范圍是a<3；

(2)設(shè)方程的另一根為x1,由根與系數(shù)的關(guān)系得:‘1+勺二-21］二L2，"二-1解得：二.則a的值是-1,該方程的另一根為-3.(2015?咸寧)已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.(1)證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根.解(1)△=(m+2)2-8m=m2-4m+4=(m-2)2,???不論m為何值時(shí)，(m-2)2三0,.?.△三0,???方程總有實(shí)數(shù)根;(2)解方程得，x=/2±(m-(2)解方程得，x=/2±(m-2)2mT，x2=1,???方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，；.m=1或2,m=2不合題意，/.m=1.(2015?昆山市一模)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若x0x2是原方程的兩根，且|%-%|=26，求m的值.解(1)'.,△=(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4>0,???無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)Vx1,x2是原方程的兩根，/.x1+x2=-m-3,x/2=m+1,?,|x1-x2|=2A/2,；.(x-x)2=8,12/.(x+x)2-4xx=8,1 2 12/(-m-3)2-4(m+1)=8,/m1=1,m2=-3.(2015?南充一模)已知關(guān)于x的一元二次方程kx2-2(k-1)x+k-2=0(kW0)(1)小明考查后說(shuō),它總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)小華補(bǔ)充說(shuō)，其中一個(gè)根與k