排列第六章排列與組合1.理解并掌握排列的概念.2.能應用排列知識解決簡單的實際問題.學習目標經(jīng)歷了六月高考的洗禮，考生們就可以填報自己理想的大學了.大學錄取的依據(jù)是根據(jù)考生的高考分數(shù)和填報的志愿.假設某生在第一志愿中選擇了導語三個喜歡的專業(yè)：電子商務、機械設計及自動化、臨床醫(yī)學，這三個專業(yè)在填報時填在前面和填在后面有區(qū)別嗎？隨堂演練課時對點練一、排列概念的理解二、畫樹狀圖寫排列三、簡單的排列問題內(nèi)容索引一、排列概念的理解問題

從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？提示

知識梳理1.排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照_____________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.根據(jù)排列的定義，兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素___________；(2)元素的排列

也相同.注意點：(1)要求m≤n.(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.一定的順序完全相同順序例1判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；解票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.(2)選2個小組分別去植樹和種菜；解植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；解(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；解每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(6)某班40名學生在假期相互通信.解A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題.反思感悟判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮(1)“取”檢驗取出的m個元素是否重復；(2)“排”檢驗取出的m個元素是否有順序性，其關鍵方法是，交換兩個位置看其結果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序.跟蹤訓練1

判斷下列問題是否是排列問題，并說明理由.(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結果有多少種不同的可能？解不是；(2)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結果有多少種不同的可能？解是；解第一問不是，第二問是.理由：由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法求結果時，與兩個元素的位置無關，但列除法算式時，兩個元素誰作除數(shù)，誰作被除數(shù)不一樣，此時與位置有關.選出3個座位與順序無關，“入座”問題同“排隊”，與順序有關，故選3個座位安排3位客人入座是排列問題.(3)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3位客人入座，又有多少種方法？二、畫樹狀圖寫排列例2

四個人A，B，C，D坐成一排照相有多少種坐法？解先安排A有4種坐法，安排B有3種坐法，安排C有2種坐法，安排D有1種坐法，由分步乘法計數(shù)原理得，有4×3×2×1＝24(種).畫出樹狀圖.由“樹狀圖”可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.反思感悟利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列.跟蹤訓練2

寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列.解由題意作樹狀圖，如圖.故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個.三、簡單的排列問題例3

用具體數(shù)字表示下列問題.(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，其商的個數(shù)；解從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個).(2)由0,1,2,3組成的能被5整除且沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；解因為組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個四位數(shù)的個位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個).(3)有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，其分配方案的個數(shù).解可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個)分配方案.反思感悟

要想正確地表示排列問題的排列個數(shù)，應弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個元素和n(m≤n)個不同的位置各是什么.跟蹤訓練3

(1)滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數(shù)為A.15

C.12

解析對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種).√(2)3盆不同品種的花排成一排，共有_____種不同的排法.解析共有3×2×1＝6(種)不同的排法.61.知識清單：(1)排列的定義：順序性.(2)“樹狀圖”法列舉排列.(3)排列的簡單應用.2.方法歸納：數(shù)形結合.3.常見誤區(qū)：排列的定義不明確.課堂小結隨堂演練1.(多選)下列問題中是排列問題的是A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動C.從a，b，c，d中選出3個字母D.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)1234√解析由排列的定義知AD是排列問題.√12342.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙√解析從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有如下6種站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.1234個學生在4本不同的參考書中各挑選1本，不同的選法數(shù)為A.343√解析3個學生在4本不同的參考書中各挑選一本，相當于從4個不同元素中選3個的排列，其選法種數(shù)為4×3×2＝24.12344.從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個數(shù)字構成無重復數(shù)字的三位數(shù)有_____個.24課時對點練基礎鞏固1234567891011121314151.(多選)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做以下數(shù)學運算，并分別計算它們的結果.在這些問題中，相應運算可以看作排列問題的有A.加法

B.減法

C.乘法

D.除法16√解析因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結果與兩數(shù)字位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關，故是排列問題，故選BD.√2.四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為A.612345678910111213141516√解析第一類，0在個位有2110,1210,1120，共3個；第二類，0在十位有2101,1201,1102，共3個；第三類，0在百位有2011,1021,1012，共3個，故由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為9.123456789101112131415163.某學習小組共5人，約定假期每兩人相互微信聊天，共需發(fā)起的聊天次數(shù)為A.20√解析由題意得共需發(fā)起的聊天次數(shù)為5×4＝20.12345678910111213141516√123456789101112131415165.從6本不同的書中選出2本送給兩名同學，每人一本的送法種數(shù)為A.6√解析相當于從6個不同元素中選2個進行排列，其送法有6×5＝30(種).123456789101112131415166.從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是A.9√123456789101112131415167.從a，b，c，d，e5個元素中每次取出3個元素，可組成___個以b為首的不同的排列，它們分別是__________________________________________________________.12解析畫出樹狀圖如圖.可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed123456789101112131415168.車展期間，某調(diào)研機構準備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，則不同的安排方法種數(shù)為______.60解析由題意可知，本題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有5×4×3＝60(種).123456789101112131415169.寫出下列問題的所有排列：(1)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票？解列出每一個起點和終點情況，如圖所示，共有12種機票.故符合題意的機票種類有北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種.12345678910111213141516(2)A，B，C，D四名同學排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少種不同的排列方法？解因為A不排第一，排第一位的情況有3類(可從B，C，D中任選一人排)，而此時兼顧分析B的排法，列樹狀圖如圖.所以符合題意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14種.1234567891011121314151610.用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個三位數(shù)，此時：(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個？解三位數(shù)的每位上數(shù)字均為1,2,3,4,5,6之一.第一步，得百位數(shù)字，有6種不同結果；第二步，得十位數(shù)字，有5種不同結果；第三步，得個位數(shù)字，有4種不同結果.故可得各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有6×5×4＝120(個).12345678910111213141516(2)可以排出多少個不同的三位數(shù)？解三位數(shù)，每位上數(shù)字均可從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中得一個，共有這樣的三位數(shù)有6×6×6＝216(個).綜合運用1234567891011121314151611.某段鐵路所有車站共發(fā)行132種普通車票，那么這段鐵路共有的車站數(shù)是A.8解析設車站數(shù)為n，則n(n－1)＝132，∴n＝12.√1234567891011121314151612.由1,2,3,4這四個數(shù)字組成的首位數(shù)字是1，且恰有三個相同數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為A.9√解析本題要求首位數(shù)字是1，且恰有三個相同的數(shù)字，用樹狀圖表示為由此可知共有12個符合題意的四位數(shù).1234567891011121314151613.A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排頭，共有_____種不同站法.解析作出樹狀圖如下：18共有18種不同的站法.1234567891011121314151614.現(xiàn)從8名學生干部中選出3名同學分別參加全校“資源”“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是________.336解析從8名學生干部中選出3名同學排列的種數(shù)為8×7