PAGE122023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸近線的條數(shù)為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答案】：【解析】：，所以為垂直的，所以為水平的，沒(méi)有斜漸近線故兩條選〔2〕設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：【解析】：所以〔3〕設(shè)函數(shù)連續(xù)，那么二次積分=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：由解得的下界為，由解得的上界為.故排除答案〔C〕〔D〕.將極坐標(biāo)系下的二重積分化為型區(qū)域的二重積分得到被積函數(shù)為，應(yīng)選〔B〕.〔4〕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，條件收斂，那么范圍為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔D〕【解析】：考察的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)收斂和條件收斂的定義及常見(jiàn)的級(jí)數(shù)的收斂性結(jié)論.絕對(duì)收斂可知；條件收斂可知，故答案為〔D〕〔5〕設(shè)其中為任意常數(shù)，那么以下向量組線性相關(guān)的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔C〕【解析】：由于，可知線性相關(guān)。應(yīng)選〔C〕〔6〕設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：，那么，故應(yīng)選〔B〕?！?〕設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間上的均勻分布，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔D〕【解析】：由題意得，，其中表示單位圓在第一象限的局部，被積函數(shù)是，故根據(jù)二重積分的幾何意義，知，應(yīng)選〔D〕.〔8〕設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，那么統(tǒng)計(jì)量的分布〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：從形式上，該統(tǒng)計(jì)量只能服從分布。應(yīng)選。具體證明如下：，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，與均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨(dú)立，可知。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.〔9〕________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚?====所以=〔10〕設(shè)函數(shù)，求________。【答案】：【解析】：由的表達(dá)式可知，可知〔11〕函數(shù)滿足，那么【答案】：【解析】：由題意可知分子應(yīng)為分母的高階無(wú)窮小，即，所以，，故〔12〕由曲線和直線及在第一象限中所圍圖形的面積為？【答案】：【解析】：被積函數(shù)為1的二重積分來(lái)求，所以〔13〕設(shè)為3階矩陣，,為的伴隨矩陣，假設(shè)交換的第一行與第二行得到矩陣,那么________?！敬鸢浮浚?27【解析】：由于，故，所以，.〔14〕設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,那么________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河蓷l件概率的定義，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕計(jì)算【解析】：〔16〕〔此題總分值10分〕計(jì)算二重積分，其中D為由曲線與所圍區(qū)域。yO1x【解析】：由題意知，區(qū)域，yO1x〔17〕〔此題總分值10分〕某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的產(chǎn)品，投入的固定本錢(qián)為10000〔萬(wàn)元〕，設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x〔件〕和〔y件〕，且固定兩種產(chǎn)品的邊際本錢(qián)分別為〔萬(wàn)元/件〕與〔萬(wàn)元/件〕。1〕求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總本錢(qián)函數(shù)(萬(wàn)元)2〕當(dāng)總產(chǎn)量為50件時(shí)，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時(shí)可以使總本錢(qián)最小？求最小的本錢(qián)。3〕求總產(chǎn)量為50件時(shí)且總本錢(qián)最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際本錢(qián)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。【解析】：1〕設(shè)本錢(qián)函數(shù)為，由題意有：，對(duì)x積分得，，再對(duì)y求導(dǎo)有，，再對(duì)y積分有，所以，又，故，所以2〕假設(shè)，那么，代入到本錢(qián)函數(shù)中，有所以，令，得，這時(shí)總本錢(qián)最小3〕總產(chǎn)量為50件且總本錢(qián)最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際本錢(qián)為，表示在要求總產(chǎn)量為50件時(shí)，在甲產(chǎn)品為24件，這時(shí)要改變一個(gè)單位的產(chǎn)量，本錢(qián)會(huì)發(fā)生32萬(wàn)元的改變?！?8〕〔此題總分值10分〕證明：【解析】：令，可得當(dāng)時(shí)，有，，所以，故，而，即得所以。當(dāng)，有，，所以，故，即得可知，〔19〕〔此題總分值10分〕函數(shù)滿足方程及1〕求表達(dá)式2〕求曲線的拐點(diǎn)【解析】：1〕特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。故2〕曲線方程為，那么，令得。為了說(shuō)明是唯一的解，我們來(lái)討論在和時(shí)的符號(hào)。當(dāng)時(shí)，，可知；當(dāng)時(shí)，，可知?？芍俏ㄒ坏慕?。同時(shí)，由上述討論可知曲線在左右兩邊的凹凸性相反，可知點(diǎn)是曲線唯一的拐點(diǎn)?！?0〕〔此題總分值10分〕設(shè)，〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕線性方程組有無(wú)窮多解，求，并求的通解。【解析】：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕可知當(dāng)要使得原線性方程組有無(wú)窮多解，那么有及，可知。此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形得可知導(dǎo)出組的根底解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為線性方程組存在2個(gè)不同的解，有.即：，得或-1.當(dāng)時(shí),，顯然不符，故.〔21〕〔此題總分值10分〕三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，，且二次型。1〕求2〕求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫(xiě)出正交變換過(guò)程。【解析】：1〕由可得，2〕那么矩陣解得矩陣的特征值為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：將單位化可得：，，〔22〕〔此題總分值10分〕隨機(jī)變量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：〔1〕；〔2〕與.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12