數(shù)模培訓(xùn)內(nèi)容第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日內(nèi)容一、牛頓第二定律二、什么是數(shù)學(xué)模型三、怎么建立數(shù)學(xué)模型四、一些常見的數(shù)學(xué)模型第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日牛頓第二定律一滑塊于力的作用下在光滑水平面做勻加速運動。數(shù)學(xué)公式的描述這一物理現(xiàn)象：F=kma其中k是比例系數(shù)，令k=1,于是得到：F=ma其中m是滑塊的質(zhì)量，a是滑塊的加速度，F(xiàn)是滑塊所受的水平力。第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日牛頓第二定律其中F=m*a就是用來描述物體在受力情況下的運動狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型！經(jīng)過實驗數(shù)據(jù)的檢驗，該數(shù)學(xué)模型能夠很好的描述物體的運動。第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日什么是數(shù)學(xué)模型？定義：根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及實踐經(jīng)驗，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法。用以描述和研究客觀現(xiàn)象的運動規(guī)律。數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。具體來說，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。（百度百科）第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日怎么建立數(shù)學(xué)模型模型準(zhǔn)備了解背景，明確目的，搜集材料模型假設(shè)合理簡化，語言精確不同的簡化方法會做出不同的假設(shè)，不同的假設(shè)又會構(gòu)建不同的模型要點：要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，綜合自己所學(xué)的各門科的知識，判別主次第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日模型構(gòu)成根據(jù)所做的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量之間的（不）等式關(guān)系或者其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，加以創(chuàng)新結(jié)構(gòu)簡單，合理創(chuàng)新模型求解算法創(chuàng)新，利用軟件第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日模型分析穩(wěn)定性分析、誤差分析、對比分析、敏感性分析好的模型分析也是你整篇論文的亮點模型檢驗實際對比，成敗關(guān)鍵把模型求解得出來的結(jié)果和結(jié)論與實際現(xiàn)象和數(shù)據(jù)對比，如果相差不大，則說明模型建立的較為成功或者很成功，否則就要檢查模型假設(shè)，重新建立新的模型第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日一些常見的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型微分方程模型預(yù)測模型（灰色預(yù)測）第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)規(guī)劃模型屬于優(yōu)化類模型，建立優(yōu)化模型要確定優(yōu)化的目標(biāo)和尋求的決策。優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表示為：數(shù)學(xué)規(guī)劃模型實際中的優(yōu)化問題通常有多個決策變量，用n維向量表示，可行域比較復(fù)雜，常用一組不等式（也可以使有等式）來界定，成為約束條件。一般的，這類模型可以表述成如下形式第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日例：一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1，A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在甲類設(shè)備上用12小時加工成3公斤A1，或者在乙類設(shè)備上用8小時加工成4公斤A2。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的A1，A2全部能售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元?，F(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動時間為480小時，并且甲類設(shè)備每天至多能加工1000公斤A1，乙類設(shè)備的加工能力沒有限制。試為該廠制定一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大。第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日決策變量：設(shè)每天用x1桶牛奶生產(chǎn)A1,用x2桶牛奶生產(chǎn)A2.目標(biāo)函數(shù)：這個優(yōu)化問題的目標(biāo)是使每天獲利最大，設(shè)獲利為z元。由題目的條件得：約束條件：原料供應(yīng)生產(chǎn)A1,A2的原料（牛奶）總量不得超過每天的供應(yīng)，即勞動時間生產(chǎn)A1，A2的總加工時間不得超過每天正式工人總的勞動時間，即第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

設(shè)備時間A1的產(chǎn)量不得超過甲類設(shè)備每天的加工能力，即非負(fù)約束x1,x2均不能為負(fù)值，綜上可得，最終的模型第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日對于該模型的求解，大家都學(xué)過圖解法，但是這里建議利用LONGO編程求解第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日微分方程模型以其中典型的房室模型為例。藥物進(jìn)入機(jī)體后，在隨血液輸運到各個器官和組織的過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外。藥物在血液中的濃度，即單位體積血液（毫升）中藥物含量（毫克或微克），稱為血藥濃度，隨著時間和空間而變化。血藥濃度的大小直接影響到藥物的療效，濃度太低不能達(dá)到預(yù)期的效果，濃度太高又可能導(dǎo)致藥物中毒，副作用太強(qiáng)或者造成浪費。試建立合適的數(shù)學(xué)模型來描述血藥濃度的變化。第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日模型假設(shè)1、將集體分為中心室（Ⅰ室，包括心、肺、腎等器官)和周邊室（Ⅱ室,包括四肢肌肉組織），兩個室的容積（即血液體積或藥物分布容積）在過程中保持不變。2、藥物從一室向另一室的轉(zhuǎn)移速率，及向體外的排除速率，與該室的血藥濃度成正比。3、只有中心室與體外有藥物交換，即藥物從體外進(jìn)入中心室，最后又從中心室派出體外。與轉(zhuǎn)移和派出的數(shù)量相比，藥物的吸收可以忽略。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日房室模型的圖形中心室周邊室給藥排除第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日模型符號和分別表示第i室的血藥濃度、藥量和容積；是兩室之間藥物轉(zhuǎn)移速率系數(shù)；是給藥速率，由具體藥方式和劑量確定，這里不加以深入是藥物從Ⅰ室向體外排除的速率系數(shù)；第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日模型建立根據(jù)假設(shè)條件和圖示可以寫出兩個房室中藥量滿足的微分方程：兩個房室中的血藥濃度和房室容積存在在下面的關(guān)系：將（2）帶入（1）式可得第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日關(guān)于此模型的求解，建議大家使用MATLAB軟件編程利用ode類（ode45)函數(shù)求解。第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日預(yù)測模型灰色預(yù)測中的GM（1,1）模型本次只粗略講解灰色模型中的GM（1,1)預(yù)測模型建立的方法，給大家以啟發(fā)，希望大家能在課余時間加以深入學(xué)習(xí)第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日設(shè)已知參考數(shù)據(jù)列（即用來做預(yù)測的數(shù)據(jù)）為做一次累加，生成數(shù)列其中：求均值數(shù)列第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日則得到新的序列定義GM(1,1)的灰微分方程模型為即將k視為連續(xù)變化量t，可以得到相應(yīng)的白微分方程第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日