雙曲線與方程【知識梳理】1、雙曲線的定義(1)平面內(nèi)，到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2。(|FF\〉2a,a〉0)的點的軌跡稱為雙曲線，其中兩定點F1、F2稱為雙曲線的焦點，定長2a稱為雙曲線的實軸長，線段F/J的長稱為雙曲線的焦距.此定義為雙曲線的第一定義.【注】|伊勺1-1隼1|=2a=|隼|，此時P點軌跡為兩條射線.(2)平面內(nèi)，到定點的距離與到定直線的距離比為定值式e>1)的點的軌跡稱為雙曲線，其中定點稱為雙曲線的焦點，定直線稱為雙曲線的準線，定值e稱為雙曲線的離心率.此定義為雙曲線的第二定義.2、雙曲線的簡單性質(zhì)標準方程工-22=1(a,b>0)a2b222-x2=1(a,b>0)a2b2頂點坐標A(±a,0)B(0,±a)焦點坐標左焦點F(-c,0)，右焦點F(c,0)1 2上焦點f(0,c)，下焦點F2(0,-c)虛軸與虛軸實軸長2a、虛軸長2b實軸長2a、虛軸長2b有界性|x|>a2>a，對稱性關(guān)于x軸對稱，關(guān)于2軸對稱，同時也關(guān)于原點對稱.3、漸近線雙曲線工—22=1(a,b>0)的漸近線為三—22=0，即-土；=0，或y=±-x.a2b2 a2b2 ab a【注】①與雙曲線-2-22=1具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為三-22=入(入。0)；a2b2 a2b2②漸近線為y=±-x的雙曲線方程可以設(shè)為-2-22=入(入。0)；a a2b2③共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.共軛雙曲線具有相同的漸近線.④等軸雙曲線：實軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線.4、焦半徑雙曲線上任意一點P到雙曲線焦點F的距離稱為焦半徑.若P(-0,y0)為雙曲線02-y=1(a,b>0)上的任意一點，F(xiàn)(-c,0)，F(xiàn)(c,0)為雙曲線的左、右焦點，則IPF1=ex+a，IPF1=ex-a，其中e=-.

1 2 10 20 a5、通徑過雙曲線x2-22=1(a,b>0)焦點F作垂直于虛軸的直線，交雙曲線于A、B兩點，稱線段AB為雙曲線的通徑,a2b2且|AB|=當word教育資料

6、焦點三角形P為雙曲線宗-y=1(a,b>0)上的任意一點，勺(-c,0),FJc,0)為雙曲線的左右焦點，稱APF1F2為雙曲線的焦點A三角形.若"一，則焦點三角形的面積為：saf,P「b2cota-7、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b(虛半軸長).8、雙曲線二-y2=1(a,b>0)的焦點三角形的內(nèi)心的軌跡為％=土a(y豐0)a2b29、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線l:Ax+By+C=0，雙曲線r：工—y2=1(a,b>0)，貝Ua2b2l與r相交Oa2A2—b2B2>C2;l與r相切oa2A2—b2B2=C2;l與r相離oa2A2—b2B2<C2.10、平行于(不重合)漸近線的直線與雙曲線只有一個交點【注】過平面內(nèi)一定點作直線與雙曲線只有一個交點，這樣的直線可以為4條、3條、2條，或者0條.11、焦點三角形角平分線的性質(zhì)點P(x,y)是雙曲線02—y=1(a,b>0)上的動點，F(xiàn)f2是雙曲線的焦點，M是/勺pf2的角平分線上一點，且uuuururnrFM-MP=0,則O>M\=a即動點M的點的軌跡為x2+y2=auuuururnrFM-MP=0,則O>M\=a12、雙曲線上任意兩點的坐標性質(zhì)則二X2—X2A(、,y1),B(x2,y2)為雙曲線干—y-=1(a,b>0)上的任意兩點，且|x則二X2—X2【推廣1】直線I過雙曲線a一皆二1(a，b>0)的中心,與雙曲線交于A(x1，y)B(x2,y2)兩點,P為雙曲線上的任意一點則k意一點則kAPkBP=b（kP5kBP均存在）【推廣2】設(shè)直線l：y=kx+m(m豐0)交雙曲線三—y2=1(a,b>0)于C、D兩點，交直線l：y=kx于點E.若E1 1 a2b2 2 2b2為CD的中點，則勺k2=b-.13、中點弦的斜率直線l過M(x,y)(y中0)與雙曲線上—y2=1(a,b>0)交于A,B兩點，且|am|=|bm|,則直線l的斜率k=一.000 a2b2 ABa2y014、點P(x,y)(x>0,y>0)是雙曲線三—y2=1(a,b>0)上的動點，過P作實軸的平行線，交漸近線于M,N兩a2b2點，則pM||PN|=定值a2.15、點P(x,y)(x>0,y>0)是雙曲線三—y2=1(a,b>0)上的動點，過P作漸近線的平行線，交漸近線于M,N兩a2b2word教育資料0 ab點則S=定值—TOC\o"1-5"\h\z，）JYOMPN 21【典型例題】例1、雙曲線的漸近線方程為X土2y=0，焦距為10，這雙曲線的方程為.x2 y2【變式1】若曲線口+「：=1表示雙曲線，則k的取值范圍是 .4十k1—kx2y2【變式2】雙曲線彳-三=1的兩條漸近線的夾角為4 8x2 y2 x2 y2【變式3】已知橢圓而十茄二1和雙曲線而一亞二1有公共的焦點,那么雙曲線的漸近線方程為一【變式3】【變式4】若橢圓三十或=1(m>n>0)和雙曲線上-二=1(a>0,b>0)有相同焦點F、F，P為兩曲線的一個交mn ab 1 2點，則PfJ」pf2I=.【變式5]如果函數(shù)y=X-2的圖像與曲線C:X2十入y2=4恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)