激光鉆孔

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2/26/20231激光激光是一種單頻率或多頻率的光波，利用高能量的激光束進(jìn)行切割，焊接和鉆孔等加工，是近年來發(fā)展起來的一項新技術(shù)，有廣泛的應(yīng)用，本講建立激光鉆孔的數(shù)學(xué)模型，用它探討激光鉆孔的速度問題2/26/20232一、物理模型

鉆孔原理激光鉆孔的原理是將高能量的激光束照射在加工物體上，物體被照射部分溫度上升，當(dāng)溫度達(dá)到熔點(diǎn)時起先熔化，同時吸取熔化潛熱，被熔化的物質(zhì)在激光束照射下接著受熱，溫度進(jìn)一步上升，當(dāng)液體達(dá)到汽化溫度時，起先汽化，同時吸取汽化潛熱，汽化物不斷揮發(fā)，在物體上不斷留下深孔，完成鉆孔的過程。2/26/20233變量及其說明W——激光束的能量A——物體受激光照射的表面積W/A——通常稱為能量密度(一般可達(dá)100kW/)我們將假設(shè)垂直于激光束的邊界熱傳導(dǎo)可以忽視，從而建立一維模型，我們還假設(shè)物體表面對激光束的反射和熔化后物體的流淌都可忽視。2/26/20234設(shè)物體的初始溫度為T=0,單位物質(zhì)從0℃起先升溫，直到汽化所需熱量包括以下幾個部分：從零度到熔點(diǎn)吸取熱量,其中c為該材料的比熱;熔化潛熱；從熔化到氣化點(diǎn)吸取熱量；氣化潛熱所需的總熱量為。(1.1)2/26/20235對很多物質(zhì)，特殊是金屬，約為0.02到0.06之間。因此熔化潛熱可以忽視，單位物質(zhì)從零度到氣化所須要的總熱量化為：(1.2)這意味著熔化過程可以忽視。2/26/20236二、數(shù)學(xué)模型取物體表面上的一點(diǎn)為原點(diǎn)，z軸為垂直與物體表面并指向物體內(nèi)部的坐標(biāo)軸，用t表示時間，s(t)表示時刻t孔的深度。（參見下面一頁的圖片）由于忽視了熔化過程，可以認(rèn)為物質(zhì)被激光束從零度加熱至氣化點(diǎn)，在吸取氣化潛熱的過程中揮發(fā)，形成所須要的孔，由于剛起先鉆孔時，激光束將物體表層加熱至氣化點(diǎn)須要一段時間。2/26/202372/26/20238在這段時間內(nèi)，物質(zhì)不會氣化揮發(fā)，物體上的孔尚未形成，我們稱這段時間為預(yù)熱時間，稱激光鉆孔的這一階段為預(yù)熱過程。又由于忽視了熱量向孔的四周的擴(kuò)散，在鉆孔過程中只需考察激光束作用范圍內(nèi)的物質(zhì)，即以激光束照射的表面為底面，向z方向延長的正圓柱體。在時刻t，這一圓柱體的隨意截面上的溫度可視為相同的。有關(guān)激光鉆孔的直觀描述，參見動畫。2/26/20239設(shè)時刻t上述圓柱體在深度為z處(尚未氣化的部分)的截面上的溫度為。在圓柱內(nèi)尚未氣化的部分，激光束供應(yīng)的熱量按一般的熱傳導(dǎo)規(guī)律向深度方向傳播?，F(xiàn)考察隨意孔未到達(dá)的深度z，即。取一高為微小量的界于的圓柱體，考察在時間的熱量平衡。依據(jù)富里埃傳熱定律，單位時間內(nèi)通過垂直于溫度梯度的單位面積流入的熱量于該處的溫度外法向?qū)?shù)成正比，比例系數(shù)k稱為熱傳導(dǎo)系數(shù)。因此從圓柱上底面流入圓柱內(nèi)的熱量為2/26/202310(2.1)從圓柱下底面流入圓柱的熱量為(2.2)傳入的熱量使圓柱體內(nèi)的溫度從上升至。溫度上升所需的熱量為(2.3)2/26/202311其中為加工物體的密度，c為該物體的比熱，由于熱平衡規(guī)律，從外部通過頂、底面?zhèn)魅氲臒崃?，?yīng)等于導(dǎo)致這段圓柱體溫度上升所需的熱量，即(2.4)引入，(2.5)2/26/202312在(2.4)式兩端同時除以，令，，整理可得

(2.6)換言之，在z—t平面的區(qū)域溫度函數(shù)滿足一維熱傳導(dǎo)方程(2.6)。參見,圖3。2/26/2023132/26/202314s(t)表示時刻t孔的深度，z=s(t)稱為氣化曲線，這條曲線是區(qū)域Ⅰ的上邊界。但這條曲線事先并不知道，所以它是問題的“不定邊界”。在此邊界上，溫度函數(shù)應(yīng)滿足確定的邊界條件。首先在z=s(t)處，物體氣化揮發(fā)，溫度應(yīng)達(dá)到氣化點(diǎn)，因此有(2.7)稱為氣化條件再考慮時段的氣化過程，在此時段激光束產(chǎn)生的熱量是：2/26/202315同時，深度從s(t)至一段柱體氣化揮發(fā)需吸取氣化潛熱為：又由富里埃傳熱定律，這段時間傳到物體內(nèi)部的熱量為，由熱平衡，應(yīng)有

(2.8)將上式兩邊同除以，然后令并稍加整理，可得在氣化曲線上應(yīng)滿足的熱平衡方程：2/26/202316

(2.9)在預(yù)熱的過程中，激光產(chǎn)生的熱量全部傳導(dǎo)到物質(zhì)中去，因而，設(shè)預(yù)熱時間為，當(dāng)時，有

(2.10)另外，孔的深度相對于整個物體的尺寸而言是比較小的，離孔很遠(yuǎn)處的物質(zhì)可認(rèn)為保持初始的溫度，因而有，當(dāng)時，2/26/202317綜合以上所述，激光鉆孔的數(shù)學(xué)模型是求和滿足2/26/202318

(2.12)

這是一個熱傳導(dǎo)方程的邊值問題。但是問題的邊界z=s(t)事先是未知的，需在求解過程中和方程的未知函數(shù)一起解出，所以邊值問題(2.12)稱為不定邊界（或自由邊界）問題，在這個問題中雖然微分方程是線性的，由于不定邊界的存在，問題的求解較為困難。2/26/202319三、鉆孔的極限速度

我們首先探討較為簡潔的情形——蒸發(fā)起支配作用時鉆孔的極限速度。在這種狀況下，假設(shè)熱傳導(dǎo)過程可以忽視，激光產(chǎn)生的熱量全部用來使一部分物質(zhì)加熱氣化。此時，不定邊界上的熱平衡方程變成：(3.1)其中表示時段激光束產(chǎn)生的熱量，而上式右端表示在這段時間氣化的物質(zhì)所需的熱量。2/26/202320(3.1)式可化為其中。由于在一般狀況下成立我們稱由(3.2)式定義的v為鉆孔的極限速度。在蒸發(fā)起支配作用的狀況下，沒有預(yù)熱過程，所以，積分(3.2)式得(3.3)2/26/202321這是原問題(2.12)的不定邊界的一種近似。既然不定邊界可用(3.3)式表示，即孔的深度按常速度v發(fā)展，人們自然會考慮是否也存在一種溫度分布按常速度v向z方向移動的近似解。若固定t，T(z,t)是z—T平面上的一條曲線，稱為溫度剖面曲線。上述問題就可以更精確的提為：是否存在溫度剖面曲線以速度v方向平移的解？假如這樣的解存在，就稱為溫度波解，其形式應(yīng)為(3.4)2/26/202322將這樣形式的解代入方程(2.6)，應(yīng)滿足(3.5)解得(3.6)其中，,為待定常數(shù)。由不定邊界條件(2.7)和無窮遠(yuǎn)邊界條件(2.11)，易得(3.7)(3.8)利用(3.7)和(3.8)確定(3.6)中的常數(shù)，得2/26/202323(3.9)從而溫度波解為(3.10)我們用溫度波解來估計忽視熱傳導(dǎo)帶來誤差。對溫度波解(3.11)其中(3.12)稱為特征長度，計算在單位時間內(nèi)熱傳導(dǎo)所需的熱量和氣化蒸發(fā)所需的熱量之比2/26/202324

(3.13)

其中

(3,14)表示單位質(zhì)量的物質(zhì)從零度達(dá)到氣化點(diǎn)所需的熱量與氣化潛熱之比。對常見的物質(zhì),一般界于0.06到0.25之間，是一個小量。

2/26/202325據(jù)(3.13)式.(3.15)因此可以作為忽視熱傳導(dǎo)的誤差的一種估計。2/26/202326四、攝動解將原問題(2.12)關(guān)于小參數(shù)作漸近綻開，可求得它的另一種近似解——攝動解。為此，現(xiàn)簡潔的介紹漸近綻開和攝動解的概念。1、漸近綻開和攝動解考察一個的函數(shù)序列，若對一切當(dāng)時，成立(4.1)2/26/202327就稱是的一個漸近序列。若對含參數(shù)的函數(shù)和漸近序列，當(dāng)時(4.2)對成立，則稱(4.3)是當(dāng)時關(guān)于序列直到N項的漸近綻開式，其中稱為綻開系數(shù)。若，通常用記號(4.4)2/26/202328不難將上述概念推廣到多自變量函數(shù)的情形。對含有參數(shù)的微分方程的定解問題，蔣未知函數(shù)關(guān)于某漸近序列作漸近綻開，并將綻開式代入微分方程和定解條件，比較漸近序列各項的系數(shù)，可得各綻開系數(shù)應(yīng)滿足的微分方程的定解問題。一般說來，所得的定解問題比較簡潔，求解可的未知函數(shù)漸近綻開式的各項系數(shù)，從而確定未知函數(shù)的漸近綻開式。通常，取未知函數(shù)的前幾項作為原問題的近似解。2/26/2023292、無量綱化無量綱化是一種應(yīng)用數(shù)學(xué)的常用技巧，可以簡化問題并更清晰的看出問題對小參數(shù)的依靠關(guān)系。引入新的變量,,,(4.5)其中，v和l定義如前。在新的變量下，熱傳導(dǎo)方程(2.6)化為(4.6)不定邊界方程化為(4.7)2/26/202330

不定邊界上的氣化條件化為，(4.8)而其上的熱平衡方程(2.9)化為(4.9)留意到，可得2/26/202331而

，

熱平衡方程(4.9)記為

(4.10)即.(4.11)初始條件和無窮遠(yuǎn)條件分別化為：

(4.12),當(dāng).(4.13)預(yù)熱邊界，成為

2/26/202332，，(4.14)其上的熱平衡方程(2.10)化為(4.15)綜合上述各式，在新變量下，激光鉆孔的數(shù)學(xué)模型成為：求和，滿足2/26/202333(4.16)

2/26/2023343.攝動解

漸近綻開取時的漸近序列，分別將和作漸近綻開(4.17)(4.18)將(4.17)代入熱傳導(dǎo)方程，比較的零次和一次項系數(shù)，分別得到：（4.19）2/26/202335

(4.20)

將(4.17)和(4.18)代入(4.16)的不定邊界條件中，得

(4.21)

(4.22)

從而得知在不定邊界上應(yīng)有

(4.23)

(4.24)

2/26/202336由(4.16)的初始條件，易知

：.(4.25)而從無窮遠(yuǎn)條件可得

(當(dāng)時).

(4.26)

通過計算可以說明，預(yù)熱時間

(見習(xí)題2)，故應(yīng)有

(4.27)我們主要的目的在于求出較長時間后鉆孔的速度。現(xiàn)設(shè)法求出精度為的近似解,即求2/26/202337由(2.24)式，只需求出和,立刻得到，不必再求。從(4.23)的其次式及(4.27)立刻可得(4.28)也就是說，忽視了的同階和高階量之后，不定邊界為.(4.29)所以應(yīng)是下述問題的解：2/26/202338

(4.30)

(4.30)是區(qū)域Ⅱ(參見圖4)上初、邊值條件的熱傳導(dǎo)方程的定解問題，

2/26/202339

圖42/26/202340求解對方程(4.30)，用延拓方法可以將它化為熱傳導(dǎo)方程的初值問題，得到其解。首先，令（4.31）明顯在滿足熱傳導(dǎo)方程，且在時取零值。然后對關(guān)于邊界作變形奇延拓，延拓至上半平