《解直角三形》全章復(fù)與鞏固（提）

知識(shí)講解【習(xí)標(biāo)1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能正確應(yīng)用sinA、cosAtanA、表直角三角形中兩邊的；記憶30°45°、60°正弦、余弦正切和余切的三角函數(shù)值，并能由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角的度數(shù)2.能夠正確地使用計(jì)算器，由已銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳；3.理解直角三角形中邊與邊的關(guān)，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三形的兩個(gè)銳角互余、直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)4.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想；5.通過(guò)解直角三角形的學(xué)習(xí)，體數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作.【識(shí)絡(luò)【點(diǎn)理要一直三形性（）直三角形的兩個(gè)銳角互.（）直三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平（勾股定理）如果直角三角形的兩直角邊分別為，b斜邊長(zhǎng)為，么

22

.（）直三角形斜邊上的中線等于斜邊的一.要二銳三函正弦、弦正、切定如右圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C=90如果銳角A確：(1)∠的邊與斜邊的比值是A的弦，記作sinA＝(2)∠的邊與斜邊的比值是A的弦，記作cosA＝(3)∠的邊與鄰邊的比值是A的切，記作tanA＝

∠的邊斜邊∠的邊斜邊∠的邊∠的邊

(4)∠的邊與對(duì)邊的比值是A的切，記作cotA＝要詮：

∠的邊∠的邊(1)正弦、余弦、正切、余切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú).(2)sinA、cosA、、cotA是一整體符號(hào)，即表示A四個(gè)三角函數(shù)值，書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略符“∠”，但不能寫(xiě)成sin·A，對(duì)用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫(xiě)成sin∠BAC，而不能寫(xiě)出sinBAC.(3)sinA表(sinA)，不能寫(xiě)成.(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成銳角三函的義

等銳角∠的弦、余弦、正切、余切都叫做A銳角三角函.要詮：1.函數(shù)的取值范圍對(duì)于銳角的每個(gè)確定的值有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)以sinA是A的函.同樣、tanA、cotA也∠的函數(shù)，其A是變量sinA、cosAtanA、分是對(duì)應(yīng)的函數(shù).中自變量∠A的取范圍是0°＜∠A＜90，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，＜cosA＜，＞，＞0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠∠B=90，那么：sinA=cosB；cosA=sinBtanA=cotB,cotA=tanB.同角三角函數(shù)關(guān)系：sinA＋A=1sincosA1,tanAcotA3.30°、°、°的三角函數(shù)值∠sinAcosAtanAcotA

30°45°60°11在直角三角形中，如果一個(gè)角等于°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一.30°、°、60°角的三角函數(shù)和解含30、°角的直角三角形、含45°角的直角三角形為章的重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工.

要三解角角在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即A+B=90°；邊邊關(guān)系：勾股定理，即邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

；sin

a,cosA,cc

ab

,cot

basinB要詮：

b,cosB,cc

b,cota解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜；兩直角；(2)已知一條邊和一個(gè)銳(一直邊和一銳角和一銳兩情形的共同之處條此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．解角三角形的常見(jiàn)類型及解法：已知條件

解法步驟由

求∠，兩直角邊(a，b)

∠B=90°－∠，兩Rt△

邊

斜邊，一直角邊如c，

由求∠A，∠B=90°－∠，一邊一角

一直角邊和一銳角

銳角、鄰邊(如∠，銳角、對(duì)邊(如∠，

∠B=90°－∠，，∠B=90°－∠，，斜邊、銳角如c，A)

∠B=90°－∠，

，要四解角角的用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān).解這問(wèn)的般程(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題(3)根據(jù)直角三角(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角.(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的.常見(jiàn)應(yīng)問(wèn)類(1)仰角俯角：坡：；坡角(3)方向角：要詮：1．用解直角三角形的知識(shí)解決際問(wèn)題的基本方法是：把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)(解角三角)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的系轉(zhuǎn)化為圖形點(diǎn)線、角)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．借助生活常識(shí)以及課本中一些概如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角)的意義，也有助于把際

問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直三角形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)單：∵∴∵∴∵∴【型題類一銳三函1．在Rt△ABC中，∠C＝°，若將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，∠的切()．A．?dāng)U大2倍B．縮小2倍．?dāng)U大4倍．不變【思路點(diǎn)撥】銳角三角函數(shù)的值邊之間的比值，跟邊的長(zhǎng)短無(wú).【答案】D；【解析】根據(jù)

cot

A的臨邊對(duì)邊

A的臨邊知∠的值∠的小有關(guān)，與的比值有關(guān)．對(duì)邊當(dāng)各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，其

A的臨邊對(duì)邊

的比值不變．故選D.【總結(jié)升華】銳角三角函數(shù)的大只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú).舉反：【變】知，如圖，ABC中CEAB，BDAC，

DE2BC5

，求cosA及tanA．A

E

B【答案】易證點(diǎn)B、、、四共圓ADEABC，

cosA=

ADDE221,tanA=ABBC52121類二特角三函值2已a(bǔ)＝3且

c

則以abc為長(zhǎng)的三角形積等()A．．C．8．【思路點(diǎn)撥】利用非負(fù)數(shù)之和等0的性，求出b、的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三形是直角三角形，進(jìn)而求出三角形的面積．【答案】；0,【解析】根據(jù)題意知b2

解得c5.所以a＝，＝，＝，

22

，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且＝90°，所以

S

12

ab

．【總結(jié)升華】本題考察非負(fù)數(shù)的質(zhì)，勾股定理的逆定.舉反：【變】算：【答案】原式

=

3323

32類三解角角3連港）如圖，eq\o\ac(△,在)ABC中∠C=150，tanB=．（1）求BC的；（2）利用此圖形求的（確到0.1，參考數(shù)據(jù)：

=1.4

=1.7

=2.2）【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)A作⊥，交BC的長(zhǎng)線于點(diǎn)，含°的角三角形性質(zhì)得由三角函數(shù)求出

，在eq\o\ac(△,Rt)中由三角函數(shù)求出BD=16即可得出結(jié)果；

（2在BC邊上取一點(diǎn)使連AM求出∠AMC=∠MAC=15=tan∠可得出結(jié)果．【答案與解析】解）A作AD⊥BC，交BC的長(zhǎng)線于點(diǎn)D如圖示：

即在eq\o\ac(△,Rt)ADC中，∵∠C=150，∴∠ACD=30，∴AD=，CD=ACcos30×

=2

，在eq\o\ac(△,Rt)中tanB=

=

=，∴BD=16，∴BC=BD﹣﹣2；（2）在BC邊取一點(diǎn)M，使得，接AM如圖2所：∵∠ACB=150，∴∠AMC=MAC=15，∠AMD===

≈≈0.27≈0.3【總結(jié)升華】本題考查了銳角三函數(shù)、含的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．類型四、銳角三角函數(shù)與其它知識(shí)的綜合4．如圖所示，直角ABC中，C＝90AB＝

5

sinB＝

55

，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)PD∥，PD交AC于D，連接AP，求AC，BC的；(2)設(shè)PC的為x，AD的為y求間的函數(shù)關(guān)系式．【思路點(diǎn)撥】

(1)在Rt△ABC中，AB＝

5

，sinB＝

55

，易得AC＝，由勾股定理求BC(2)由PD∥可得【答案與解析】

PCCD1，從而求出CD，ADxBC2(1)在Rt△中由

，＝25得AC＝2，勾股定理得BC4(2)∵PD∥，△ABC∽△，∴

AC1BCPC

．∵PC＝，

DC

11x則AD2即y=

2-

12

x

.【總結(jié)升華】本題綜合考察了解角三角形和相似三角形的知.舉反：【變圖P是矩ABCD的AD邊一動(dòng)點(diǎn)于點(diǎn)EBD于F，AD．求的值．【答案】如圖，sin∠

PEPFsin∠PAPD

由矩形ABCD知∠1=∠2，則PE=PAsin∠，∠2,sin1=

CD=AC5

，所以PE+PF=PAsin∠1+PDsin2=（PA+PDsin1=類五三函與際題

3124=55．如圖，某廣場(chǎng)一燈柱被一鋼纜固CD與面成夾，且CB=5米（1）求鋼纜CD的度確到米（2）若米，燈的頂端E距A處1.6米且EAB=120，燈的頂端距離地面多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan40，，cos40=）

【答案與解析】解）eq\o\ac(△,)BCD中

，∴

；（2在eq\o\ac(△,)BCD中，，=4.2過(guò)作AB的線，垂足為F，在eq\o\ac(△,)，AE=1.6∠EAF=180﹣120，∴米答：鋼纜CD的度為6.7米燈的頂端距地面7米【總結(jié)升華】構(gòu)造直角三角形，實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn).舉反：【變】亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹(shù)夏洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差。如圖，他利用測(cè)角儀站在C處測(cè)得∠ACB＝68°，再沿方走到達(dá)處測(cè)得∠ADC＝34°，求落差A(yù)B。(測(cè)角儀高度忽略計(jì)，結(jié)果精確到1m)【答案】解：∵∠ACB，，∠ACB是△ACD外角，∴∠CAD＝∠ACB－∠D＝68°－34°＝34°∴∠CAD＝∠D，

222∴AC＝＝，222在Rt△ABC中，AB＝AC×sin68°≈74(m).答：落差A(yù)B為74m.6．如圖所示，港口B位港口O正方向120km處小島位港口北西的向．一艘游船從港口O出發(fā)沿OA方（北偏西30以vkm/h的度駛離港口同一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東的向以的度駛向小島C，在小島用加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給游船送去．（1）快艇從港口B小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h，求v的值及相遇處與港口O的離．【答案與解析】解）∠°，COB=30，∴∠BCO=90．在eq\o\ac(△,Rt)BCO中∵OB=120∴BC=OB=60∴快艇從港口B到小島C的時(shí)間為60（小時(shí)（2）過(guò)作CDOA，垂足為D，設(shè)相會(huì)處為點(diǎn)E．則OC=OB?cos30

，CD=OC=30

，?°，∴﹣3v∵CE=60+DE，∴（30）+﹣3v），∴或40∴當(dāng)時(shí)，OE=3，當(dāng)時(shí)，OE=3．【總結(jié)升華】此題考查了解直角角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，理解向角的定義，得出BCO=90是題的關(guān)鍵.舉反：【變】海濱浴場(chǎng)東西走向的海岸線可近似看作直線l(如)．救生員甲在A處瞭望臺(tái)上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有發(fā)出求救信號(hào)．他立即沿方向直前往救援，同時(shí)通知正在海線上巡邏的救生員乙